特殊平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

基本模型

模型1：兩點(diǎn)之間，線段最短.

條件：點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線l同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).

問(wèn)題：求PA + PB的最小值.

解題步驟：1.對(duì)稱，作兩點(diǎn)中任意一定點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；2.連接，連接對(duì)稱點(diǎn)和另一定點(diǎn)，則與直線l的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)P的位置，如圖1，線段A'B的長(zhǎng)度即為PA + PB的最小值.

證明：當(dāng)點(diǎn)P在其他任意位置時(shí)（如P'位置），P'A + P'B = P'A' + P'B gt; PA + PB = PA' + PB = A'B.

依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.

模型2：垂線段最短.

條件：點(diǎn)A是直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).

問(wèn)題：求AP的最小值.

解題步驟：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足所在的點(diǎn)的位置即為動(dòng)點(diǎn)P的位置，此時(shí)線段AP的長(zhǎng)度即為AP的最小值.

依據(jù)：垂線段最短.

變式應(yīng)用

例1 如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE + PC的最小值.

解法1：取定點(diǎn)C或定點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，要充分注意到BD所在直線就是正方形的對(duì)稱軸，所以無(wú)論點(diǎn)C還是點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)一定還在正方形上，如圖4，因?yàn)镻A = PC，所以點(diǎn)A就是點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)，PE + PC = PA + PE，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)A，P，E共線時(shí)，如圖5，PE + PC = PA + PE = AE，即AE的長(zhǎng)就是PE + PC的最小值.

根據(jù)邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，可得BE = 1，則AE = [AB2+BE2=22+12=5]，所以PE + PC的最小值是[5].

解法2：如圖6，取點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E'（E'為邊AB的中點(diǎn)），CE'的長(zhǎng)即為PE + PC的最小值. （請(qǐng)同學(xué)們將解題步驟補(bǔ)充完整.）

反思：在菱形和正方形中，對(duì)角線所在的直線是對(duì)稱軸.在尋找對(duì)稱點(diǎn)的時(shí)候，借用這個(gè)對(duì)稱軸，可以更簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題.

例2 如圖7，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC = 6，BD = 8，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，連接EF，求EF的最小值.

解析：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線AC⊥BD，PE⊥OB，PF⊥OC，所以四邊形OEPF是矩形. 連接OP，如圖8、圖9，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得到EF = OP，求EF的最小值，也就是求OP的最小值.而點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O是BC所在直線外一定點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)OP⊥BC時(shí)，如圖10，OP的長(zhǎng)度最小.

因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線AC = 6，BD = 8，所以O(shè)B = 4，OC = 3，可得菱形的邊長(zhǎng)BC = [OB2+OC2=42+32=5].根據(jù)△OBC的面積 = [12OB×OC=12BC×OP]，可得OP = [OB×OCBC=3×45=2.4]，所以EF的最小值為2.4.

反思：矩形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊相等，平行四邊形的對(duì)角線互相平分，等等，這些相等的線段為等量代換提供了條件.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：8分鐘

在矩形ABCD中，AD = 4，∠ABD = 30°，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，D重合），則AE + [12]BE的最小值為 . （答案見(jiàn)第27頁(yè)）

（作者單位：開(kāi)原市民主教育集團(tuán)里仁學(xué)校）

答案速遞

第33頁(yè)：6（提示：以BD為一邊，在AB的異側(cè)作∠PBD = ∠ABD = 30°，過(guò)點(diǎn)E作BP的垂線，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)AH⊥BP時(shí)，AE + [12]BE的值最小.）