以字母推理發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理素養(yǎng)的策略探析

摘要：推理作為數(shù)學(xué)邏輯思維的基本形式，是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用字母式表示問題情境中蘊含的規(guī)律、通過字母式運算獲得一般性結(jié)論的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納與概括思維，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理素養(yǎng)。在小學(xué)階段，教師要培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理素養(yǎng)，解決學(xué)生在小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的代數(shù)思維發(fā)展斷裂的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)邏輯思維；核心素養(yǎng)；字母式運算；代數(shù)推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）提出，“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力?！逼渲?，“符號意識、推理能力和模型思想”都被列為重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的推理通常與數(shù)和運算相關(guān)，包括對數(shù)字與計算進(jìn)行總結(jié)，將所得結(jié)論用有意義的符號進(jìn)行表達(dá)并加以探索驗證。小學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)推理具體可表現(xiàn)為對數(shù)的屬性、符號意義、運算規(guī)律等的發(fā)現(xiàn)和概括，如奇數(shù)、偶數(shù)的特點，和的奇偶性規(guī)律等。經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)較復(fù)雜規(guī)律并嘗試用字母表示規(guī)律、推理一般性結(jié)論的過程，有助于學(xué)生從代數(shù)視角看問題，把握問題結(jié)構(gòu)以及蘊含規(guī)律，將規(guī)律一般化，培養(yǎng)概括歸納與代數(shù)推理能力。下面，筆者以“用字母式推理一般性結(jié)論”教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，解決學(xué)生在小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的代數(shù)思維發(fā)展斷裂的現(xiàn)象。

一、用字母表示一類數(shù)，喚醒代數(shù)推理意識

代數(shù)思維是對數(shù)量關(guān)系、規(guī)律的符號化運算，其運算具有結(jié)構(gòu)化、去情境化、一般化、形式化的特點。發(fā)展代數(shù)思維并非單純地局限在“用字母表示數(shù)量關(guān)系”這部分內(nèi)容，而是貫穿小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。新課標(biāo)在修訂中非常重視代數(shù)領(lǐng)域的關(guān)鍵特征——關(guān)系思維，特別增加了新的主題——“數(shù)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向以關(guān)系、表示關(guān)系的方法和涉及這些表示的操作為中心。例如，在激發(fā)學(xué)生潛在的推理意識方面，設(shè)計了用字母表示一類數(shù)的活動，喚醒了學(xué)生從字母表示具體數(shù)量走向用字母表示一類數(shù)的代數(shù)思維。

（一）課前游戲，喚醒推理意識

游戲?qū)耄荷险n之前我們先玩一個小游戲。教師引導(dǎo)學(xué)生拿出兩張小紙片，其中一張紙片上寫一個偶數(shù)，另一張紙片上寫一個奇數(shù)。提示：兩只手分別握一張紙，不要讓別人看到你寫的數(shù)，請你把左手里的數(shù)乘2、右手里的數(shù)乘3，記住兩個積相加的和。

學(xué)生左手里的數(shù)乘2，結(jié)果永遠(yuǎn)是偶數(shù)，此時，和的奇偶性由右手的積決定。之所以設(shè)計這樣的游戲，旨在讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)充滿著推理，溫習(xí)和的奇偶性規(guī)律，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（二）情境導(dǎo)入，喚醒早期代數(shù)思維

情境導(dǎo)入：數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，這堂課，我們借助形來研究數(shù)。

教師出示一組圖形：

師：從這組圖形中你看到了哪些數(shù)？任意一個自然數(shù)可以怎么表示呢？

借助方塊圖表示數(shù)量，直觀形象，有利于幫助學(xué)生從具體走向抽象。學(xué)生借助方塊圖，很容易抽象出自然數(shù)可以用一個字母n來表示，為后面用字母表示奇數(shù)和偶數(shù)以及任意有特征的數(shù)提供了思維的支撐。

二、用字母式推理一般性結(jié)論，培養(yǎng)代數(shù)推理能力

抽象、推理和建模是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與推理能力是教師關(guān)注的問題。代數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要載體，隨著代數(shù)學(xué)習(xí)研究的不斷深入，教師對小學(xué)生代數(shù)能力的內(nèi)涵理解發(fā)生了轉(zhuǎn)變，意識到僅僅會用方程解決問題并不代表具有高水平的代數(shù)思維，“一般化”和“符號化”才是代數(shù)思維的核心，而這些思維體現(xiàn)在代數(shù)推理的過程當(dāng)中。

代數(shù)推理是形式化與符號化的，演繹的推理證明對于小學(xué)生而言更是十分抽象，通過清晰簡潔的圖示表征，可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)推理過程外顯化。因此，在小學(xué)階段，教師應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓他們用自己的方式來表征和解決問題，包括使用畫圖和表格等非正式的表征方式。只有從真實的實物操作，抽象到數(shù)學(xué)圖式，最后到字母表征，才能完成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理。

（一）用字母式表示偶數(shù)

教師提示：從這些圖式中你能看到哪些數(shù)？任意一個偶數(shù)用字母怎么表示？

學(xué)生往往由用字母n表示自然數(shù)的經(jīng)驗，遷移到用字母m表示偶數(shù)。學(xué)生雖然已經(jīng)意識到要用不同的字母來區(qū)別于自然數(shù)的表達(dá)，但顯然這樣的表達(dá)不能直觀表示出偶數(shù)的特征。教師要根據(jù)方塊圖的直觀特征，引導(dǎo)學(xué)生用2n表示所有的偶數(shù)，讓學(xué)生初步感悟用字母表示數(shù)，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)的特征；偶數(shù)的特征是2的倍數(shù)，外顯的結(jié)構(gòu)是2 × □。

（二）用字母式表示奇數(shù)

師：這列數(shù)又有什么特征？用字母式如何表示出這列數(shù)的特征？

學(xué)生在用字母表示自然數(shù)以及偶數(shù)的基礎(chǔ)上，初步學(xué)會了抓住數(shù)的特征，用字母來表示。教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正確地表示出奇數(shù)的特征，把奇數(shù)和偶數(shù)的直觀圖示相對照，從而自然生發(fā)出用字母式2n + 1或者2n - 1表示奇數(shù)。

（三）用字母式表示任意有特征的數(shù)

觀察下列數(shù)列，用字母式表達(dá)。

3，6，9，12…… 字母式（ ）

1，4，7，10…… 字母式（ ）

設(shè)計用字母式表示3的倍數(shù)和被3除余1的兩列數(shù)，能幫助學(xué)生提高用字母式表示有特征的數(shù)的能力。題目沒有提供直觀圖示，學(xué)生自己可以畫方塊圖、想象方塊圖，呈現(xiàn)數(shù)的特征。特別是被3除余1的數(shù)，可以有兩種表示方法：3n + 1或者3n - 2。

（四）用字母式推理兩個偶數(shù)相加的和的一般性結(jié)論

師：任意選兩個偶數(shù)，求出它們的和，判斷和是奇數(shù)還是偶數(shù)，并通過列表或用字母式表示結(jié)論。

生：我通過列表發(fā)現(xiàn)，兩個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)，而且沒有找到反例（見表1）。

生：我用字母式相加的方法，2n + 2n = 4n，4是偶數(shù)，所以4n是偶數(shù)；

生：我用字母式來推理出任意兩個偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)，因為2n + 2m = 2（n + m）。

學(xué)生匯報后，教師組織比較有代表性的表達(dá)，其中用列舉的方法研究和的奇偶性，這種不完全歸納法對于發(fā)現(xiàn)規(guī)律起到很重要的作用。但是，如果僅僅停留在合情推理的階段，那么學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展不會走向深入，所以，在高年級引入演繹推理很有必要。用字母式進(jìn)行計算所獲得的結(jié)論，概括了所有的情形，數(shù)學(xué)上稱為一般性結(jié)論。教師要讓學(xué)生感悟字母式可以像數(shù)一樣進(jìn)行運算和推理，任意兩個偶數(shù)的和結(jié)果都能表達(dá)為2 × □的模型，所以和一定是偶數(shù)；要讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理走向演繹推理，提升思維的抽象水平。

三、推廣字母推理方法和策略，形成代數(shù)推理素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)化的過程中，學(xué)生經(jīng)歷“特例—猜想→歸納—猜想一般性結(jié)論→驗證或者證明一般性結(jié)論”的思維過程，可以獲得直接的經(jīng)驗和體驗，建立真正的數(shù)學(xué)理解。對數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，是學(xué)生通過符號運算和形式推理表達(dá)現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律的重要載體。

（一）用字母式推理任意兩個自然數(shù)相加的和的結(jié)論

師：剛才我們研究了兩個偶數(shù)的和，如果換成其他的任意自然數(shù)，又有什么結(jié)論？你會說明嗎？

探究活動：（ ）數(shù) + （ ）數(shù) = （ ）數(shù)，用字母式說明這個結(jié)論，把你的想法在組內(nèi)說一說。

基于學(xué)生用字母式推理兩個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)的經(jīng)驗，生發(fā)出奇數(shù)與奇數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)相加的和的規(guī)律推理，使學(xué)生在推理的過程中獲得推理經(jīng)驗，經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿炞C過程，提升抽象思維水平。

（二）用字母式推理任意連續(xù)奇數(shù)相加的和的結(jié)論

師：如果是更多的數(shù)相加呢？我們不妨回頭看看剛剛研究的奇數(shù)列，如果從1開始有n個奇數(shù)，那么最后一個奇數(shù)是（ ），這n個奇數(shù)的和是（ ），你會用字母式說明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

課堂將要結(jié)束時，教師設(shè)計了一道從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)相加的和的探索題目，讓學(xué)生經(jīng)歷“抓住數(shù)的特征，用字母式來表達(dá)，然后用字母式通過運算獲得一般性結(jié)論”的整個演繹推理的過程。這樣，學(xué)生在驗證中獲得驗證方法和策略，不斷提升思維的歸納和概括水平。

高級心理機能的發(fā)展需要依賴各種中介工具，如語言、數(shù)學(xué)符號、特定的行為模式等。因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就應(yīng)當(dāng)讓他們在豐富的活動中掌握方塊圖模型、字母算式模型等“心理中介工具”。這些工具能幫助學(xué)生更好地理解問題中隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系。為了幫助學(xué)生對代數(shù)推理的操作過程進(jìn)行記錄，筆者引入豐富的直觀圖示，以其作為“心理中介工具”，幫助學(xué)生在完成數(shù)學(xué)表征的過程中，感受字母表達(dá)的一般性以及通過字母的運算或推理得到結(jié)論的一般性，形成代數(shù)推理素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］吳立寶，劉穎超.從意識到能力：代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展的進(jìn)階理路［J］.課程·教材·教法，2023（4）.

［2］李樹臣，陳剛.加強代數(shù)推理能力訓(xùn)練不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)：“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)學(xué)推理問題例解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（4）.

（責(zé)任編輯：楊強）

作者簡介：宋泉妹，江蘇省啟東市蝶湖小學(xué)高級教師。

課題項目：本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第15期課題“基于新課標(biāo)的小學(xué)代數(shù)推理課程的開發(fā)與實踐研究”的階段性研究成果。課題編號：2023JY15-L154。