一道立體幾何高考題的分析及教學(xué)啟示

摘 要：2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第12題創(chuàng)設(shè)“將幾何體放入正方體容器”的情境，考查了立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯推理基本能力，落實(shí)了基礎(chǔ)性；將截面作為連接平面幾何和立體幾何的橋梁，體現(xiàn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的綜合性；用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，展現(xiàn)了應(yīng)用性；設(shè)問(wèn)新穎，強(qiáng)調(diào)以探究性思維解題，突出了創(chuàng)新性。由此得到教學(xué)啟示：重視立體幾何“基本圖形”的教學(xué)，落實(shí)“立體幾何初步”的單元整體教學(xué)，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“幾何本質(zhì)”的教學(xué)，實(shí)施激活幾何思維的探究性教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；高考試題；“四翼”要求

2019年，教育部考試中心發(fā)布了“一核四層四翼”中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，為科學(xué)構(gòu)建中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系提出了明確目標(biāo)和基本原則。［1］數(shù)學(xué)作為高考必考科目，考查過(guò)程中應(yīng)體現(xiàn)“四翼”，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的要求。［2］立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)客觀題與主觀題中均有考查。正方體是立體幾何中簡(jiǎn)單而重要的幾何體，高考數(shù)學(xué)題多次以正方體為載體命制。［3］2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第12題再次借助正方體，創(chuàng)設(shè)“將幾何體放入正方體容器”的情境，高度契合“四翼”要求，從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性四個(gè)維度回答了“怎么考”的問(wèn)題。本文以此題為例，從“四翼”視角剖析高考立體幾何題的命題導(dǎo)向，并探討其對(duì)高中立體幾何教學(xué)的啟示。

一、 試題及解答

該題是試卷選擇題的壓軸題，為多選題。題目及解答如下：

下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）

A. 直徑為0.99m的球體

B. 所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C. 底面直徑為0.01m、高為1.8m的圓柱體

D. 底面直徑為1.2m、高為0.01m的圓柱體

棱長(zhǎng)為1m的正方體內(nèi)切球的直徑為1m，1gt;0.99，所以A正確。棱長(zhǎng)為1m的正方體最大能放入棱長(zhǎng)為2m的正四面體，2gt;1.4，所以B正確。棱長(zhǎng)為1m的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3m，3lt;1.8，所以C不正確。對(duì)于D選項(xiàng)，正方體截面為正六邊形時(shí)，有最大內(nèi)切圓，如圖1，此時(shí)內(nèi)切圓半徑為2/2×3/2=6/4≈0.612，0.612×2gt;1.2，因此直徑為1.2m的圓可以放入棱長(zhǎng)為1m的正方體容器中；假設(shè)底面直徑為1.2m的圓柱體放入正方體容器中，剛好與正方體上下底面相切，其橫截面如圖2，此時(shí)圓柱體高的一半為FO=3/2-0.6×2≈0.018gt;0.01，因此底面直徑為1.2m、高為0.01m的圓柱體可以放入棱長(zhǎng)為1m的正方體容器中，即D正確。綜上，答案為A、B、D。

二、 “四翼”分析

（一） 基礎(chǔ)性——考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力

基礎(chǔ)性的基本內(nèi)涵包括基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本能力、基本態(tài)度和價(jià)值觀。［4］

上述試題的基礎(chǔ)性，首先體現(xiàn)在A選項(xiàng)來(lái)源于教材中的練習(xí)題。人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積”練習(xí)第3題：將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體塊磨制成一個(gè)球體零件，求可能制作的最大零件體積。這一練習(xí)題的解決也要用到（蘊(yùn)含著）“正方體的內(nèi)切球（即正方體內(nèi)最大的球）直徑等于正方體的棱長(zhǎng)”的立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)。

邏輯思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科具有基礎(chǔ)性、可持續(xù)性的關(guān)鍵能力。［5］上述試題的基礎(chǔ)性，還體現(xiàn)在A、B、C選項(xiàng)僅需簡(jiǎn)單的邏輯推理，根據(jù)棱長(zhǎng)，就能判斷所給球體、四面體和圓柱體是否能夠放入正方體中。學(xué)生只要掌握了簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，具備立體幾何相關(guān)基本邏輯思維能力，就能夠拿到基礎(chǔ)分。

（二） 綜合性——考查整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)

增強(qiáng)命題內(nèi)容綜合性，要求學(xué)生注重認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)、功能和相互作用，分析理解事物變化發(fā)展的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生從整體上分析各種現(xiàn)象背后的本質(zhì)和規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生形成更加全面、完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。［6］

上述試題的A、B、C選項(xiàng)考查了正方體與球體、四面體、圓柱體的關(guān)系，并且，難度最大的D選項(xiàng)涉及了平面幾何與立體幾何的融合：學(xué)生不僅要綜合考慮幾何組合體在空間中整體的位置關(guān)系，還要結(jié)合生活實(shí)際剖析圓柱體放入正方體后的截面圖，通過(guò)截面分析幾何體之間局部的位置關(guān)系，來(lái)解決問(wèn)題。

作為對(duì)比，2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第9題如下：

已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則（ ）

A. 直線BC1與DA1所成的角為90°

B. 直線BC1與CA1所成的角為90°

C. 直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D. 直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

此題也是以正方體為載體考查空間中線線、線面之間位置關(guān)系的多選題，但僅涉及異面直線所成角以及線面所成角。即此題屬于立體幾何基本圖形位置關(guān)系的考查，但考查的范圍較小，綜合性較弱。

相比之下，2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第12題的綜合性有所提升，重點(diǎn)考查了立體幾何相關(guān)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的綜合性。立體幾何主干知識(shí)包括基本立體圖形與基本圖形位置關(guān)系［7］，上述試題在這兩個(gè)部分均有涉獵。只有熟知基本立體圖形，如正方體、球體、四面體、圓柱體的結(jié)構(gòu)，才能在頭腦中想象、作出立體幾何組合體的直觀圖。學(xué)生不僅要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)掌握透徹，還需要充分意識(shí)到立體幾何主干知識(shí)之間的聯(lián)系，形成概念網(wǎng)絡(luò)。

（三） 應(yīng)用性——關(guān)注生活中的立體幾何

應(yīng)用性要求學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析研究。［8］

上述試題從生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)每一位學(xué)生都遇到過(guò)的“將一個(gè)物體放入容器內(nèi)”的情境，要求學(xué)生充分利用掌握的立體幾何知識(shí)作出解釋?zhuān)‘?dāng)運(yùn)用作圖、推理、計(jì)算等數(shù)學(xué)方法解決“能不能放得下？何時(shí)放得下？”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用立體幾何知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

以往同樣考查正方體截面的試題大多局限在數(shù)學(xué)情境內(nèi)，主要以數(shù)學(xué)語(yǔ)言設(shè)問(wèn)。［9］例如2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第12題：

已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）

A. 33/4 B. 23/3

C. 32/4 D.3/2

此題作為試卷單選題的壓軸題，更多地承擔(dān)著“選拔”的功能。動(dòng)截面位置的尋找、形狀的判斷、最大截面位置的猜想、最大面積的求解這四大難點(diǎn)會(huì)難倒很多學(xué)生——經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算和推理可以證明，當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，不僅與每條棱所成的角都相等，而且面積最大，選項(xiàng)A正確。［10］同時(shí)，此題純數(shù)學(xué)的問(wèn)題情境顯得有些乏味，難以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

相比之下，2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第12題的設(shè)問(wèn)從生活中來(lái)，充分展現(xiàn)了立體幾何的應(yīng)用價(jià)值。選項(xiàng)設(shè)置中存在具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，學(xué)生需要在符合生活實(shí)際的情況下，對(duì)立體幾何問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋碚鞣治?，在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步理解各種幾何體之間、立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，思考立體幾何知識(shí)和現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。

（四） 創(chuàng)新性——考查探究性思維

創(chuàng)新性要求試題有新穎的呈現(xiàn)和設(shè)問(wèn)方式，引導(dǎo)學(xué)生在情境中主動(dòng)思考，完成開(kāi)放、探究性任務(wù)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新規(guī)律、新結(jié)論。［11］創(chuàng)新性考查要求的核心在于通過(guò)命題創(chuàng)新，增強(qiáng)試題的探究性，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。［12］

上述試題的D選項(xiàng)在2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第12題的基礎(chǔ)上（都考查了正方體的最大截面）深挖了一層，通過(guò)創(chuàng)新性命制，增強(qiáng)了試題的探究性。一方面，不僅探討正方體截面的形狀，而且延伸出截面內(nèi)接圓的性質(zhì)（截面的面積最大時(shí)，內(nèi)接圓的面積也最大）。另一方面，不僅以生活實(shí)踐情境為背景，要求學(xué)生正確表征已知條件，自行擬定解決方案，而且在判斷A、B、C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納經(jīng)驗(yàn)，對(duì)D選項(xiàng)的正確性進(jìn)行猜想和檢驗(yàn)（論證）。

實(shí)際上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”）附錄2中的案例11［13］就是與正方體截面相關(guān)的探究活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)探究性思維的培養(yǎng)。其核心問(wèn)題是：用一個(gè)平面截正方體，截面形狀將會(huì)是什么樣的？由此，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步按照邊數(shù)分類(lèi)，提出具體問(wèn)題，研究截面形狀。如：（1） 如果截面是三角形，可以截出幾類(lèi)不同的三角形？為什么？（2） 如果截面是四邊形，可以截出幾類(lèi)不同的四邊形？為什么？（3） 還能截出哪些多邊形？……學(xué)生如果在課堂上經(jīng)歷過(guò)“正方體截面”的探究活動(dòng)，就會(huì)積累截面圖形的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，也就可以運(yùn)用類(lèi)似的探究性思維，深入挖掘上述試題D選項(xiàng)的已知條件，轉(zhuǎn)化出一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后運(yùn)用基本圖形的知識(shí)解決。

此外，上述試題沒(méi)有通過(guò)復(fù)雜的向量計(jì)算或幾何推理來(lái)提升題目難度，因?yàn)樵诟呖加邢薜臅r(shí)間內(nèi)，學(xué)生難以對(duì)選擇題進(jìn)行復(fù)雜而嚴(yán)密的論證?！耙灰紤]C、D選項(xiàng)中的0.01m？何時(shí)考慮？運(yùn)用極限法將其考慮為無(wú)限??？還是按照0.01進(jìn)行計(jì)算？”需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)，創(chuàng)造性地?cái)M定自己認(rèn)為最適合的解題方案。這樣的開(kāi)放性也很好地體現(xiàn)了對(duì)探究性思維的考查。

總之，上述試題考查了立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯推理基本能力，落實(shí)了基礎(chǔ)性；將截面作為連接平面幾何和立體幾何的橋梁，體現(xiàn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的綜合性；用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，展現(xiàn)了應(yīng)用性；設(shè)問(wèn)新穎，強(qiáng)調(diào)以探究性思維解題，突出了創(chuàng)新性。

三、 教學(xué)啟示

（一） 基礎(chǔ)性：重視立體幾何“基本圖形”的教學(xué)

上述試題的A、B、C選項(xiàng)涉及幾何體組合的結(jié)構(gòu)特征，包含正方體、正四面體、球體、圓柱體，是對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的考查。如果學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的認(rèn)識(shí)不充分，對(duì)幾何體組合的位置關(guān)系不熟悉，則很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的想象和作圖，導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷。

在立體幾何“基本圖形”的教學(xué)中，教師特別要重視“正方體”的教學(xué)。正方體是空間圖形中特殊且具有豐富內(nèi)涵的幾何體［14］，可以分解出多種柱體、錐體、臺(tái)體等，能夠讓學(xué)生充分感受到不同類(lèi)型幾何體之間的關(guān)系。

例如，教學(xué)中可以讓學(xué)生求棱長(zhǎng)為1的正四面體的體積。學(xué)生解決此題的常規(guī)思路是直接套用三棱錐的體積公式。但是，教師評(píng)講時(shí)可以增加將正四面體補(bǔ)全為正方體的方法：如圖3所示，通過(guò)VA-BCD=V正方體-4VA-GCD求解。讓學(xué)生意識(shí)到正四面體可以補(bǔ)全為正方體，割補(bǔ)法在立體幾何中同樣適用。

（二） 綜合性：落實(shí)“立體幾何初步”的單元整體教學(xué)

上述試題涉及幾何體的組合、正方體的截面等問(wèn)題，遵循教材“立體幾何初步”部分“整體→局部”的研究路徑［15］：從現(xiàn)實(shí)世界出發(fā)，抽象出各類(lèi)幾何體，先學(xué)習(xí)各類(lèi)幾何體的特征，再進(jìn)一步抽象出組成空間圖形的基本元素——點(diǎn)、線、面，最后研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

因此，教師在教學(xué)中，也要重視幾何體相關(guān)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，帶領(lǐng)學(xué)生在充分認(rèn)識(shí)幾何體的特征后，充分辨析平面圖形與空間圖形的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生多角度理解立體幾何主干知識(shí)（核心概念），以落實(shí)“立體幾何初步”的單元整體教學(xué)。

例如，折疊是從平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)化手段，教學(xué)中可以出示如下題目：

如下頁(yè)圖4所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED、△BEF、△CDF分別沿DE、EF、DF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′。

（1） 求證A′D⊥EF；

（2） 求三棱錐A′-DEF的體積。

然后，針對(duì)不同的學(xué)生，采用不同的教學(xué)方式：針對(duì)空間想象能力較弱的學(xué)生，鼓勵(lì)他們用手邊的正方形草稿紙，按題目所說(shuō)動(dòng)手折疊，經(jīng)歷“正方形→三棱錐”的過(guò)程；針對(duì)空間想象能力較強(qiáng)的學(xué)生，只展示平面圖形，讓他們想象折疊后的立體圖形，并畫(huà)出三棱錐的草圖。由此，不同的學(xué)生都能夠體驗(yàn)平面幾何和立體幾何的區(qū)別與聯(lián)系，從而增強(qiáng)對(duì)“點(diǎn)—線—面—體”的綜合把握，完善整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

（三） 應(yīng)用性：增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“幾何本質(zhì)”的教學(xué)

上述試題不僅是教材習(xí)題、課標(biāo)案例和以往試題的變化與融合，更緊密地聯(lián)系了生活實(shí)際。因此，教師在教學(xué)中，可以考慮融入數(shù)學(xué)情境外的現(xiàn)實(shí)情境以及社會(huì)生產(chǎn)生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探索其中的幾何本質(zhì)。

例如，建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)是利用榫頭和卯眼的形狀、大小和位置，使兩個(gè)構(gòu)件緊密地連接在一起。其本質(zhì)是幾何體的分解與組合?；谶@一現(xiàn)實(shí)事物，可以編制如下情境問(wèn)題：

榫卯結(jié)構(gòu)是中國(guó)古代建筑、家具及其他木制品中常用的一種連接方式。它是一種凹凸結(jié)合的結(jié)構(gòu)，通過(guò)凸出的部分（榫頭）和凹進(jìn)的部位（卯眼）相互咬合，從而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)木構(gòu)件的連接。圖5中榫卯結(jié)構(gòu)的三個(gè)部分A、B、C均由6cm×2cm×2cm的木質(zhì)長(zhǎng)方體改造而成。

（1） 若B部分的卯眼在中間，且尺寸為

2cm×0.5cm，C部分的榫頭長(zhǎng)為1cm，請(qǐng)畫(huà)出C部分的三視圖。

（2） 榫卯結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是靈活性和適應(yīng)性。通過(guò)調(diào)整榫頭和卯眼的形狀

、大小和位置，可以實(shí)現(xiàn)各種不同的連接方式，滿(mǎn)足各種不同的設(shè)計(jì)需求。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)連接處榫頭及卯眼的尺寸并標(biāo)注在圖中，使三者恰好能凹凸連接。（注意：為了榫卯結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，木塊最薄處不得少于0.3cm）

問(wèn)題（1）中已設(shè)置好B部分卯眼的尺寸，學(xué)生在讀題后應(yīng)意識(shí)到該卯眼尺寸與C部分榫頭的尺寸相同，從而快速得到C部分的三視圖。問(wèn)題（2）的答案是開(kāi)放的，因此可以采用小組合作的方式解決問(wèn)題，讓學(xué)生不僅發(fā)揮主動(dòng)性給出自己的設(shè)計(jì)方案，而且根據(jù)限定條件判斷同伴設(shè)計(jì)方案的合理性。在此過(guò)程中，學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識(shí)到空間幾何體的組合與變換，感受立體幾何在生活中的應(yīng)用。

（四） 創(chuàng)新性：實(shí)施激活幾何思維的探究性教學(xué)

上述試題并非常規(guī)的立體幾何設(shè)問(wèn)方式，需要學(xué)生將已知條件轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)開(kāi)放性的探索，完成結(jié)論的猜想與檢驗(yàn)。因此，教師在立體幾何教學(xué)中，也要設(shè)計(jì)具有開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題或任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生充分展開(kāi)探究，從而激活幾何思維。

例如課標(biāo)附錄2中的“正方體截面”探究活動(dòng)，其關(guān)鍵問(wèn)題有三：（1） 截面存在哪些形狀？（2） 如何對(duì)截面的所有形狀分類(lèi)？（3） 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明？前兩個(gè)問(wèn)題指向猜想（發(fā)現(xiàn)“是什么”），后一個(gè)問(wèn)題指向檢驗(yàn)（說(shuō)明“為什么”）。對(duì)于前兩個(gè)問(wèn)題，有些教師直接讓學(xué)生觀看教師操作幾何畫(huà)板，然后進(jìn)行猜測(cè)。［16］筆者認(rèn)為，利用幾何畫(huà)板操作確實(shí)便捷、高效，但是，教師演示更多的是一種講授，主導(dǎo)性過(guò)強(qiáng)，沒(méi)有讓學(xué)生（按自己的想法）充分展開(kāi)探究，主體性不足。因此，應(yīng)該借助實(shí)物學(xué)具，給學(xué)生更充分的探究空間。

對(duì)于問(wèn)題（1），如果讓學(xué)生切割正方體橡膠或海綿模型，則因?yàn)椴僮骶哂胁豢赡嫘?，需要?zhǔn)備很多模型，效率較低。對(duì)此，可以小組為單位，發(fā)放如圖6所示的正方體透明盒子，讓學(xué)生往盒內(nèi)注水，將“正方體有多少種截面？”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“水面可以變?yōu)槟男┬螤?？”的?wèn)題。由于不同小組注水的量不同，旋轉(zhuǎn)盒子的角度不同，會(huì)得到不同的答案。教師收集所有小組的答案，若仍有截面形狀被遺漏，可通過(guò)幾何畫(huà)板演示來(lái)補(bǔ)充。

對(duì)于問(wèn)題（2），有些學(xué)生會(huì)根據(jù)自己得到截面形狀的順序展示；有些學(xué)生會(huì)按邊數(shù)來(lái)分類(lèi)，得到三角形、四邊形等；另一些學(xué)生可能作出更細(xì)致的分類(lèi)，得到三角形中還有特殊的等邊三角形等，四邊形中還有特殊的正方形、矩形、平行四邊形、梯形……對(duì)學(xué)生不同的、有理由的結(jié)論與分類(lèi)，教師應(yīng)當(dāng)給予肯定，因?yàn)檫@些都是學(xué)生（對(duì)有一定開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題）的探究成果。在此基礎(chǔ)上，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么水面形狀沒(méi)有直角三角形？水面形狀中的四邊形有什么特征？水面形狀可能是五邊形、六邊形或其他多邊形嗎？幫助學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，水面形狀不僅沒(méi)有直角三角形，而且沒(méi)有鈍角三角形；水面形狀中的四邊形至少有一組對(duì)邊平行……由此，學(xué)生不僅能分析、解決問(wèn)題，還能夠發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，從而自然過(guò)渡到問(wèn)題（3），思考“為什么會(huì)這樣”。

參考文獻(xiàn)：

［1］［11］教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［S］.北京：人民教育出版社，2019：6-7，32.

［2］［6］［8］于涵，任子朝，陳昂，等.新高考數(shù)學(xué)科考核目標(biāo)與考查要求研究［J］.課程·教材·教法，2018（6）：21-26，21-26，21-26.

［3］周鴻高.充分運(yùn)用正方體模型，優(yōu)解高考立體幾何題［J］.高中數(shù)理化，2023（9/10）：92-95.

［4］翟嘉祺，任子朝，趙軒.高考深化基礎(chǔ)性考查研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（31）：4-7+12.

［5］［12］劉胡良，宋寶和.高考數(shù)學(xué)“四翼”考查要求的實(shí)現(xiàn)途徑探析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（4）：26-30，26-30.

［7］章建躍.在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（2）：11-15+48.

［9］［14］周順鈿.正方體模型的開(kāi)發(fā)和利用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（8）：35-41，35-41.

［10］江灼豪.正方體截面面積最大值問(wèn)題——2018年高考全國(guó)Ⅰ卷第12題的難點(diǎn)與解法［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2020（3/4）：103-106.

［13］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：123-125.

［15］李海東.基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（1）：8-11.

［16］任偉芳.探究度：教學(xué)設(shè)計(jì)中一個(gè)重要課題——以“正方體截面的探究”為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（9）：46-52.

*本文系湖南省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)基金一般項(xiàng)目“中學(xué)教師數(shù)學(xué)英才教育觀研究”（編號(hào)：21YBA039）的階段性研究成果。謝圣英為本文通訊作者。