深度學習理念下的幾何定理教學設(shè)計與思考

［摘 要］深度學習是一種基于理解的學習，它著眼于學習者高階思維的發(fā)展。定理是幾何中的重要板塊，幾何定理教學是學生形成演繹推理能力的重要途徑。文章以“邊邊角”為例探討深度學習理念下的幾何定理教學設(shè)計。

［關(guān)鍵詞］深度學習理念；幾何定理教學；邊邊角

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）20-0004-03

一、深度學習的定義

郭元祥教授認為，深度學習是學生在教師引導下，對知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)進行逐層深化的學習和對學習過程的深刻參與和投入［1］。馮銳、楊紅美等人認為，深度學習強調(diào)知識的主動理解而非被動記憶，強調(diào)對知識的批判性思考而非一味地接受，強調(diào)新舊知識之間的關(guān)聯(lián)而非孤立存在，強調(diào)知識的遷移應(yīng)用［2］。何玲與黎加厚認為，深度學習是指學習者在理解的基礎(chǔ)上，批判性地學習新思想和新知識，將它們與原有的認知結(jié)構(gòu)相融合，同時在眾多思想間建立聯(lián)系，將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策并解決問題的學習［3］。簡而言之，深度學習是一種強調(diào)學生主體性，讓學生主動探究，深度加工不同信息的學習方式，它不僅關(guān)注知識的獲取，更注重知識的應(yīng)用和遷移。

二、“邊邊角”在全等判定定理學習中的價值

全等判定定理作為基本的事實性定理，不僅是學生思維的起點，更是使學生掌握分類思想、特殊化思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想的關(guān)鍵章節(jié)，同時也是學生合情推理能力和演繹推理能力同步發(fā)展的重要基礎(chǔ)。

對于全等判定定理學習中的“兩邊一角”情況，當角為兩條邊的夾角時，可通過尺規(guī)作圖，并應(yīng)用定義說明三角形全等。而對于角是一邊的對角這一情況，教材通過木棍操作舉出反例，說明滿足邊邊角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。在學習了“HL”判定定理后，學生會對之前關(guān)于“兩邊一角”（SSA）是否能判定三角形全等的理解產(chǎn)生認知沖突。這時需要我們重新審視這個“SSA”，讓學生深入學習“不一定全等”的本質(zhì)，思考什么時候滿足“SSA”的兩個三角形會全等，“HL”對兩個三角形全等的判定又起著什么樣的作用。教師應(yīng)帶領(lǐng)學生研究這些問題，從而達到讓學生深度學習的目的。

三、深度學習理念下的“探究‘邊邊角’在任何條件下證明三角形全等”教學設(shè)計

（一）問題引入，引發(fā)認知沖突，建構(gòu)新知

問題1：三角形全等的定義是什么？

問題2：通過前面的學習，你們知道證明兩個三角形全等的判定定理有哪些嗎？

問題3：一個銳角三角形和一個鈍角三角形是否全等？

師生一起歸納總結(jié)三角形全等的定義及判定定理，并指出：不同類型的三角形不全等。

問題4：課本第39頁（人教版八年級上冊）通過木棍移動抽象出幾何圖形，如圖1所示，B、C、D都在同一直線上，且[AC=AD]。[△ABC]和[△ABD]是否能夠全等？為什么？

追問1：滿足“邊邊角”的兩個三角形一定不全等嗎？

追問2：[∠ACB]與[∠ADB]的數(shù)量關(guān)系如何？[∠ACB]與[∠ADB]滿足什么數(shù)量關(guān)系時[AC]與[AD]會重合？重合又能說明什么？

師生共同歸納“SSA”反例中不全等的兩個三角形是不同類三角形，總結(jié)滿足“SSA”的兩個三角形不是一定不全等而是不一定全等，“HL”是其中一種全等特例。

設(shè)計意圖：通過問題串，引發(fā)認知沖突，產(chǎn)生理解；引導學生作圖，通過作圖，加深學生對“HL”基本模型的印象。

（二）合作探究，主動理解，逐步深化

問題5：除“HL”這種情況表明滿足“SSA”的三角形全等外，是否還存在其他情況使得兩個三角形全等呢？可以從哪些方向來探究滿足“SSA”的兩個三角形全等？

師生活動：學生小組合作探究，由全等三角形必須是同類三角形，可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三類。教師引導學生觀察如圖2所示的相等角的類型，引導學生進一步分類。

設(shè)計意圖：從直角三角形這一特殊圖形到一般三角形，培養(yǎng)學生從特殊到一般的思想；使學生通過合作探究產(chǎn)生不同類別的補充，培養(yǎng)學生的分類思想。

問題6：在前面學習的5個判定定理中，是按照什么方法進行探究的呢？整個探究過程我們首先要做什么？

設(shè)計意圖：引導學生類比，幫助學生尋找探究方法和步驟；讓學生學會用已學知識作為學習新知的前提，學以致用，進行遷移。

問題7：已知[△ABC]，請根據(jù)分類作出[△DEF]，使[DE=AB]，[EF=BC]，[∠A=∠D]，猜想你所作的三角形是否全等，并用三角形全等判定定理驗證你的猜想。

1.兩個三角形均為銳角三角形的情況

此時作圖如圖3所示，圖形唯一且經(jīng)過裁剪后發(fā)現(xiàn)重合，由此猜想這兩個圖形全等。

驗證如下：

已知，如圖4所示的銳角[△ABC]和銳角[△DEF]中，[AB=DE]，[BC=EF]，[∠A=∠D]，求證：[△ABC ]≌[△DEF]。

證明：如圖4，過點[B]作[BM⊥AC]交[AC]于點[M]，過點[E]作[EN⊥DF]交[DF]于點[N]，先通過“AAS”證[△ABM ]≌[△DEN]得[BM=EN]，再通過“HL”證[Rt△BCM ]≌[Rt△EFN]得[∠C=∠F]，最后通過“AAS”證得[△ABC ]≌[△DEF]。

2.兩個三角形為直角三角形的情況

（1）相等的角為銳角（如圖5、圖6）

此時作圖唯一且可重合即全等，仔細觀察所畫圖形可以發(fā)現(xiàn)有四個已知條件，即兩角兩邊。圖5利用“AAS”或“HL”定理即可判定全等，圖6利用“AAS”或“ASA”或“HL”定理即可判定全等。

（2）相等的角為直角（如圖7）

圖7就是我們學過的滿足“HL”的三角形全等。

3.兩個三角形為鈍角三角形的情況

（1）相等的角為銳角（如圖8-1、圖8-2）

此時作圖如圖8-1和圖8-2所示，發(fā)現(xiàn)作圖不唯一，有兩種情況。將圖8-2分成兩種圖形得到圖9-1和圖9-2。猜想圖8-1與圖9-1全等，圖8-1與圖9-2明顯不全等。

（2）相等的角為鈍角（如圖10）

此時作圖唯一也重合即全等。

對于上述兩種猜想，全等情況驗證的輔助線如下：圖8-1與圖9-1輔助線作好如圖11，圖10輔助線作好如圖12。

兩個證明過程同銳角三角形一樣，都是經(jīng)過“AAS”和“HL”以及“AAS”三次全等證明得到的。

設(shè)計意圖：通過小組合作，補充所有情況；通過作圖加強幾何直觀，體會每種情況是在作圖前提下得到的，給出探究幾何問題的有效方法——作圖；通過作圖培養(yǎng)學生的合情推理能力和邏輯推理能力。

（三）歸納總結(jié)，提高解決問題的能力

問題8：在對滿足“SSA”證全等的這幾種情況進行驗證的過程中，你有何感悟？

師生活動：學生小組交流發(fā)現(xiàn)證明方法基本一樣，而且都是作高線作為輔助線，師生共同歸納總結(jié)結(jié)論。

結(jié)論1：滿足“SSA”的情況，可通過作垂直構(gòu)造直角三角形，轉(zhuǎn)換成直角三角形進行證明。

問題9：在本節(jié)的任務(wù)探究過程中，你還能得到什么結(jié)論？

結(jié)論2：兩個三角形為銳角三角形或者直角三角形時滿足“SSA”必然全等。

結(jié)論3：兩個三角形為鈍角三角形時，滿足“SSA”且相等邊所對角為鈍角的必然全等。

追問：通過直角三角形直角所對的邊相等，和鈍角三角形鈍角所對的邊相等的情況以及大邊對大角原理，思考這兩種類型還可以有什么樣的結(jié)論？

結(jié)論4：滿足“SSA”且最長邊或最大角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

設(shè)計意圖：通過問題8，讓學生理解作高是驗證“SSA”的關(guān)鍵，也讓學生知道核心圖是直角三角形，并再次感悟從特殊到一般再從一般到特殊的數(shù)學思想。問題9是本節(jié)探究的一個結(jié)果歸納，旨在培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力。

四、深度學習理念下幾何定理教學的思考

（一）培養(yǎng)作圖意識，加深對幾何定理的理解

圖形是探究幾何問題的有效載體，教師應(yīng)引導學生將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，化抽象為直觀，借助圖形合理猜想，培養(yǎng)學生的作圖意識和直觀想象素養(yǎng)；通過圖形加強學生對幾何定理條件與結(jié)論的區(qū)分，加深學生對幾何定理的理解。本課案例中，在論證前，教師引導學生類比前面所學的三角形全等判定定理先行作圖，培養(yǎng)學生的作圖意識，引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，使學生深刻理解幾何定理。

（二）教師著力引導，使學生實現(xiàn)深度學習

幾何定理教學中，教師若直接給出幾何定理，學生很難準確記憶與應(yīng)用。如何讓學生更好地理解幾何定理，實現(xiàn)深度學習呢？在幾何定理教學中，教師應(yīng)著力引導。教師可借助問題串引導學生進行知識學習，或結(jié)合生活情境引入幾何定理，使學生能自然而然地接受定理，對幾何定理進行初步理解。除要理解事實性定理外，還要深入理解幾何定理本身，對此教師應(yīng)引導學生自主探究，經(jīng)歷幾何定理的形成過程。在學習幾何定理之后，由于幾何定理之間的關(guān)聯(lián)性較強，學生對幾何定理產(chǎn)生認知沖突，這就需要讓學生二度消化，深度學習，加深對幾何定理的認識。教師甚至可以進行單元設(shè)計，使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，從而使學生實現(xiàn)深度學習。

（三）引導建立幾何基本模型，促進遷移應(yīng)用

基本圖形是解決幾何綜合問題的突破點，在復(fù)雜圖形中能抽取出熟悉的基本圖形，或通過作輔助線將新圖轉(zhuǎn)化為已學過的基本模型，并應(yīng)用相應(yīng)幾何定理解決問題，就可化繁為簡、化難為易。在幾何定理教學中，基本圖形的構(gòu)建往往有相似定理之“8”字型和“A”字型，轉(zhuǎn)化為“一線三等角”模型等。本課案例中，滿足“SSA”的基本圖形如圖1，可通過作輔助線轉(zhuǎn)化為我們已學過的“HL”基本模型，從而解決其論證問題。而此模型以及輔助線作法也為后續(xù)解決幾何分類問題和知識遷移問題做了鋪墊。

總之，在深度學習理念下的幾何定理教學中，教師應(yīng)引導學生自主探究，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生會分析、會作圖、會論證、會建構(gòu)模型、會歸納總結(jié)、會應(yīng)用。同時，又作用于新知識的學習，從而實現(xiàn)深度學習。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 郭元祥.深度學習：本質(zhì)與理念[J].新教師，2017（7）：11-14.

［2］" 曾明星，李桂平，周清平，等. 從MOOC到SPOC：一種深度學習模式建構(gòu)[J].中國電化教育，2015（11）：28-34，53.

［3］" 何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現(xiàn)代教學，2005（5）：29-30.

（責任編輯 黃春香）