積累活動經(jīng)驗 培養(yǎng)核心素養(yǎng)

網(wǎng)格作圖是指借助網(wǎng)格中蘊含的數(shù)量關(guān)系（相等、倍分）與位置關(guān)系（平行、垂直），作出符合特定數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的圖形。網(wǎng)格是義務教育階段研究“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標”的重要工具，網(wǎng)格作圖對學生的二維空間觀念、模型建構(gòu)能力和幾何直觀要求比較高，能很好地落實《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。下面，筆者以2023年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九（上）期末試卷第23題的教學為例，談一談如何通過對網(wǎng)格作圖題多樣性解法的探究，著眼基礎(chǔ)，積累活動經(jīng)驗，形成知識、方法、經(jīng)驗的生長鏈，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在5×6的網(wǎng)格上，線段AB端點都是格點，畫出它的一個三等分點M。要求：1. 用兩種不同方法作圖；2. 畫圖工具僅限無刻度直尺。

二、教學分析

1. 尋找思路，轉(zhuǎn)化問題

本題中，三等分點M并不是圖中的格點，因此需要結(jié)合其他知識點尋找點M。學生根據(jù)所學知識，可由比例1[∶]3 ，想到“平行線分線段成比例”這一基本事實及其推論。角平分線定理和三角形的重心也涉及三等分點這一特殊數(shù)量關(guān)系，但由于角平分線定理在初中階段不常見，這里不再對其展開敘述。

2. 明確方向，構(gòu)圖突破

問題1 能否通過“X型相似”，構(gòu)造圖形，尋找點M呢？

如果可以通過構(gòu)造“X型相似”的基本圖形來解決，就需要作除已知線段AB外的一條線段CD，使兩條線段相交，并滿足AC∥BD且[ACBD]=[12]。如何確定C、D兩點呢？此時，可以引導學生利用網(wǎng)格，取格點C、D，如圖2，連接AC、BD，則BD∥AC，連接CD，交AB于點M，則點M即為所求。

在這一解題思路中，C、D是兩個不確定的點，可以看作兩個變化的量，因此，可以引導學生考慮控制變量，即先確定一個點C的位置，從而可根據(jù)“平行且滿足比例為1[∶]2的關(guān)系”確定點D的位置。理論上點C的位置有無數(shù)個，從而線段AC有無數(shù)種可能，由此也可得多種解法。

問題2 能通過構(gòu)造“A型相似”來解決嗎？

與“X型相似”類似，若要構(gòu)造“A型相似”，則需要構(gòu)造△ABC，再過AC邊的三等分點作BC的平行線，該線與AB交于點M，則點M即為所求，如圖3。解題的關(guān)鍵在于如何找AC的三等分點。還是引導學生考慮從特殊情況入手，如圖3，取AC=3，則格點D恰為AC的一個三等分點，連接BC，過點D作DM[∥]BC，交AB于點M，點M即為所求。在此基礎(chǔ)上，改變點C的位置，如圖4，從而將點D一般化。例如選擇點C1，如圖5，連接AC1、BC1，在△ACC1中，可得D1為AC1的三等分點，再作D1M∥BC1，交AB于點M，則點M即為所求。同理，可以選擇點C2、C3……

問題3 由三等分點可以想到重心的性質(zhì)，你能借助重心的性質(zhì)解決嗎？

如圖6，以點A為中點作線段CD，連接BD、BC，作BD的中線交AB于點M，則點M即為所求。由于三角形的重心分中線為1[∶]2兩個部分，所以可以引導學生考慮將線段AB和點M分別看作某個三角形的中線和重心，由此考慮以點A為中點作一條線段，構(gòu)造一個三角形，再找一條線段的中點，連接對應頂點后，與已知直線的交點即為三等分點。在此過程中，可以引導學生利用△DEB構(gòu)造中位線（如圖6），也可以借助網(wǎng)格，構(gòu)造以BD為對角線的矩形DPBQ，找BD的中點（如圖7）。

在網(wǎng)格中作出線段的n（n≥3）等分點或?qū)⒁阎€段分成m[∶]n（m、n為正整數(shù)）的兩部分，皆可以運用相似的方法，利用“平行+線段”成比例，借助網(wǎng)格的特殊性構(gòu)造“X型相似”或“A型相似”來完成。如果尺規(guī)作圖要求作n等分點或分線段成比例，思路也大致相同，用圓規(guī)作等長線段和等角，構(gòu)造出平行后，也就有了相似。

三、教學反思

1. 研讀課標，解析核心素養(yǎng)的主旨性

新課標將數(shù)學核心素養(yǎng)表述為“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。本題教學過程更多體現(xiàn)了推理能力、模型觀念和幾何直觀的培養(yǎng)。幾何能力核心素養(yǎng)體現(xiàn)在“根據(jù)語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質(zhì)”。學生通過“X型相似”或“A型相似”模型，將抽象的數(shù)學問題直觀化、具體化，同時在作圖過程中，通過計算，分析數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系。教師在平時教學時要著力幫助學生有效積累活動經(jīng)驗，通過新授課、試題講評課、復習課、綜合與實踐的教學，引導學生經(jīng)歷觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等數(shù)學學習過程，形成分析與解決問題的一般路徑：特殊化→一般化→逆向思考→延伸發(fā)散，再通過轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想，獲得解決問題的一般策略和經(jīng)驗。

2. 立足教材，體現(xiàn)教學評一致性

新課標對數(shù)學教材素材選取的要求如下：為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。關(guān)于平行線分線段成比例的教學，教師一般可以設置如下操作活動：（1）在練習本上，先畫3條互相平行的直線l1、l2、l3，再任意畫2條直線a、b，使a、b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和D、E、F。（2）度量所畫圖中AB、BC、DE、EF的長度，計算對應線段的比值。（3）你有什么發(fā)現(xiàn)？請與同學交流。（4）在練習本上，畫4條、5條……互相平行的直線，重復上面的過程，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？該活動設置的意圖，一方面是創(chuàng)設有效情境，讓學生用數(shù)學的眼光去觀察，將生活事物數(shù)學化；另一方面是從特殊到一般，引導學生用數(shù)學的思維去思考，形成探究數(shù)學問題的數(shù)學思維。新課標指出，堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導向。以核心素養(yǎng)為導向的命題，要關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)。開展有效體現(xiàn)教學評一致性的教學活動，需要教師立足教材，設計活動，將數(shù)學本質(zhì)、通性通法貫穿整個教學過程：展現(xiàn)“知識背景→知識形成→揭示聯(lián)系”過程；運用數(shù)學知識解決問題，適當體現(xiàn)“問題情境→建立模型→求解驗證”過程，幫助學生有效理解知識與方法，積累活動經(jīng)驗，提高“四能”。本節(jié)課的題干中，命題者從三個角度對學生的學習過程進行考查和評價：一是考查學生對教材中定理的掌握程度和逆向使用的能力，即由“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”抽象出“A型相似”和“X型相似”；二是考查學生在課堂的學習過程是否真正經(jīng)歷“知識背景→知識形成→揭示聯(lián)系”的過程；三是考查學生在課堂學習的過程中是否有效理解了知識與方法，是否積累了活動經(jīng)驗，這也促進教師主動改變教學策略，主動開展素養(yǎng)導向的教學，真正體現(xiàn)“以學生為主體，讓學習真實地在課堂發(fā)生”。

（作者單位：江蘇省南京求真中學）