提煉基本圖形 深化知識(shí)運(yùn)用

學(xué)習(xí)平面幾何要養(yǎng)成總結(jié)提煉基本圖形的意識(shí)，形成一些基本圖形“范式”，掌握基本圖形的研究方法，為復(fù)雜圖形的研究奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。注重對(duì)基本圖形進(jìn)行提煉總結(jié)、概括積累，無論是對(duì)概念的深度理解，還是對(duì)提高問題解決能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有積極的意義。

平面幾何基本圖形的歸納概括可以依據(jù)不同的內(nèi)容主題進(jìn)行，也可以依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行，基本圖形的歸納梳理可以分為以下幾個(gè)步驟：1.了解基本條件；2.理解基本原理；3.掌握基本結(jié)論；4.探索模型變化；5.運(yùn)用模型解題。

一、關(guān)注趨勢，合理總結(jié)

圖形與幾何領(lǐng)域應(yīng)該總結(jié)哪些基本圖形？筆者認(rèn)為應(yīng)依據(jù)兩個(gè)準(zhǔn)則：一是初中階段甚至今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)頻次較多、應(yīng)用較為廣泛的基本圖形；二是基本圖形復(fù)雜程度適中，簡單的圖形無須再重復(fù)總結(jié)，過于復(fù)雜的圖形識(shí)別較困難，也無須概括為基本圖形。教師和學(xué)生都可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納總結(jié)，完善自己的“圖庫”。概括和積累的過程應(yīng)該參考兩項(xiàng)重要的材料：教材及中考真題。筆者總結(jié)的基本圖形如下。

1.基本圖形一：角平分線+平行線→等腰三角形（如圖1）

模型變化：①角平分線+等腰三角形→平行線；②等腰三角形+平行線→角平分線。

2.基本圖形二：“鉛筆型”（如圖2）

模型變化：當(dāng)P點(diǎn)位置發(fā)生變化時(shí)可變式為以下模型（如圖3、圖4）。

3.基本圖形三：兩直線平行，同位角的角平分線平行（如圖5）

模型變化：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行（如圖6）；兩直線平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直（如圖7）。

筆者以“平行+平分→等腰”這一基本圖形為例，對(duì)蘇科版七、八年級(jí)的教材做了簡單的梳理：

在近幾年的中考試卷中，具有開放性、探究性和創(chuàng)新性的平面幾何綜合性試題越來越多，其中的大部分試題都以教材中的一些基本圖形為載體，通過變式與拓展改編而來，而研讀教材有助于我們合理總結(jié)。

二、適度重復(fù)，把握變式

建立基本圖形模型、積累多種基本圖形的過程不是一個(gè)單純記憶的過程，能夠自主完整地證明是理解的前提。在復(fù)雜的情境中識(shí)別出基本圖形是關(guān)鍵，能識(shí)別出適當(dāng)變式后的基本圖形是重難點(diǎn)。根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線的規(guī)律，適當(dāng)?shù)闹貜?fù)不僅有利于準(zhǔn)確記憶，也有助于加深理解。因此，在教學(xué)過程中，教師不僅要花大量時(shí)間幫助學(xué)生概括和理解基本圖形，還應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷由圖形條件到結(jié)論產(chǎn)生的過程，并在后續(xù)練習(xí)過程中適度重復(fù)和變式運(yùn)用。

例如，在基本圖形一的教學(xué)過程中，當(dāng)師生完成了“角平分線+平行線→等腰三角形”的證明后，教師可以提問：當(dāng)我們調(diào)換了條件和結(jié)論的順序后，可以產(chǎn)生哪些命題呢？你猜測這些命題正確嗎？你可以嘗試說明原理嗎？在基本圖形二的教學(xué)過程中，學(xué)生完成第一個(gè)結(jié)論后，也可在教師的引導(dǎo)下自主完成點(diǎn)P在發(fā)生位置變化后的作圖、猜想、證明。

三、全面規(guī)劃，分點(diǎn)落實(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教學(xué)的目標(biāo)設(shè)定要體現(xiàn)整體性和階段性?；緢D形的積累不是一蹴而就的，其認(rèn)知?dú)v程一般都是由片面到全面，由簡單到復(fù)雜，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，由單一到組合的過程。教材中的基本圖形都是遵循“循序漸進(jìn)，螺旋上升”的規(guī)則設(shè)計(jì)與呈現(xiàn)的。教師應(yīng)通讀學(xué)段教材，整體把握基本圖形教學(xué)，在初中三年的學(xué)習(xí)中分步實(shí)施，從不同的角度，突破不同的重點(diǎn)，拓展學(xué)生理解的深度和廣度。

例如，在七（下）“平面圖形認(rèn)識(shí)（一）”中，側(cè)重利用基本圖形強(qiáng)化平行的判定及性質(zhì)；在八（上）“軸對(duì)稱圖形”這一章節(jié)中，側(cè)重通過基本圖形證明角和邊的等量關(guān)系，從而判定等腰三角形，同時(shí)也加入線段及角的計(jì)算；在八（下）“中心對(duì)稱圖形”中，側(cè)重利用基本圖形找到線段平行或相等的關(guān)系，進(jìn)而判定特殊的四邊形。同一種基本圖形在不同章節(jié)的考查重點(diǎn)不同。教師經(jīng)過上面梳理后，可以不斷進(jìn)階認(rèn)知，深化理解。

基本圖形是求解幾何問題的腳手架。而搭建哪些腳手架，怎樣搭建，在教學(xué)中，教師應(yīng)該有目的地根據(jù)實(shí)際情況確定教學(xué)目標(biāo)，控制題目數(shù)量，精心設(shè)計(jì)例、習(xí)題。筆者認(rèn)為，可以將中等難度但具有圖形關(guān)聯(lián)性的題目按照合理的順序整理成教學(xué)目標(biāo)下的系列練習(xí)，這是一種較為高效的復(fù)習(xí)方法。將經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行融會(huì)貫通，幫助學(xué)生找到解決問題的方法，但同時(shí)要注意對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，總結(jié)規(guī)律，形成模型。這樣可以使學(xué)生從題海中解脫出來，學(xué)得靈活，學(xué)得扎實(shí)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，真正達(dá)到減負(fù)增效的教學(xué)目標(biāo)。

（作者單位：江蘇省常州市北郊初級(jí)中學(xué)）