巧構(gòu)等邊三角形和全等三角形解題

【摘要】數(shù)學(xué)知識之間存在明確的延伸、拓展關(guān)系.解決與三角形有關(guān)的問題時，應(yīng)善用三角形中的特殊圖形等邊三角形和全等三角形.本文結(jié)合求證三角形內(nèi)線段相等、求三角形內(nèi)角度數(shù)兩個例題，對等邊三角形、全等三角形關(guān)系的正確應(yīng)用進行了展示，目的在于使學(xué)生認識到特殊圖形的應(yīng)用價值.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；等邊三角形；全等三角形

等邊三角形是幾何圖形中比較特殊的一種，不僅有三條相等的邊和三個均為60°的內(nèi)角，而且是正多邊形中邊數(shù)最少的圖形^[1].在解決幾何問題時，能夠構(gòu)建等邊三角形，往往就意味著找到了解決問題的辦法.全等三角形是較為特殊的幾何圖形關(guān)系，兩個全等的三角形不僅邊相等、角相等，而且一些難解的問題可以通過構(gòu)建全等三角形來間接解決，實現(xiàn)化難為易^[2].

1 證三角形內(nèi)線段相等

證明題讓很多學(xué)生感到困難，因為此類問題往往需要學(xué)生自己搭建已知和未知條件之間的證明橋梁，這是很多學(xué)生的弱點所在.證明三角形內(nèi)線段相等，最常見的方法是構(gòu)建全等三角形關(guān)系，利用角邊角、邊角邊的全等三角形構(gòu)建方法來證明所要證明相等的線段所在的三角形全等即可.

例1 △ABC是一個等邊三角形，點D是邊BC上的任意一點.已知∠ADE=60°，邊DE與△ABC的外角平分線相交于點E，如圖1所示.求證AD=DE.

思考過程 已知△ABC是一個等邊三角形，所以過點D作邊AB的平行線與邊AC相交于點K，可以得到新的等邊△KDC，得到∠KDC=60°的新已知條件.又因為已知條件∠ADE=60°，所以∠ADK=∠EDC.又因為△KDC是等邊三角形，所以只需要再證明△ADK和△EDC中有一個相鄰的角或邊相等，就能夠構(gòu)建全等三角形關(guān)系，從而證明AD=DE.

證明 過點D作邊AB的平行線與邊AC相交于點K，得到新的等邊三角形△KDC，∠KDC=60°，DK=DC.

因為∠ADE=∠ADK+∠KDE=60°，

又因為∠KDC=∠EDC+∠KDE=60°，

所以∠ADK=∠EDC.

又因為AB∥DK，

所以∠AKD=120°

因為CE是△ABC的外角平分線，所以∠ECD=120°

根據(jù)角邊角相等可構(gòu)建△ADK≌△EDC，即可證明AD=DE.

評注 為了證明三角形內(nèi)線段相等，去證明線段所在的兩個三角形全等，是比較常見也比較容易想到的解題途徑.所以解決此題的關(guān)鍵在于作輔助線DK，構(gòu)建新的等邊△KDC，使構(gòu)建全等三角形關(guān)系的角問題、邊問題迎刃而解.

2 求三角形內(nèi)角度數(shù)

求三角形內(nèi)角度數(shù)的題目，往往讓很多學(xué)生感覺找不到已知條件和所求問題之間的關(guān)系，因此手足無措.當(dāng)遇到此類問題時，學(xué)生可考慮構(gòu)建等邊三角形和全等三角形，利用等邊三角形的三條邊相等、三個內(nèi)角相等的關(guān)系轉(zhuǎn)化已知條件，利用全等三角形在原本看似無關(guān)的幾何關(guān)系之中構(gòu)建條件，從而順利解題.

例2 △ABC是一個等腰三角形，邊AB與AC相等，頂角∠BAC為100°的鈍角.現(xiàn)延長邊AC至點M處，使邊AM的長度與邊CB相等.連接點B和點M，如圖2所示.求∠CBM的大小.

思考過程 根據(jù)已知條件“△ABC是一個等腰三角形，邊AB與AC相等，頂角∠BAC為100°的鈍角”可以得到隱藏已知條件，即△ABC的兩個底角∠ABC=∠ACB=40°.如果在△ABC的一條腰的基礎(chǔ)上構(gòu)建一個等邊三角形，可以得到一個頂角為100°.一邊與△ABC的腰相等的三角形.只要新構(gòu)建的三角形能夠利用已知條件“邊AM的長度與邊CB相等”證明新三角形與△BAM之間是全等三角形關(guān)系，就能夠為求得內(nèi)角度數(shù)搭建解題階梯.

解 設(shè)△ACN是等邊三角形，

則有AB=AC=AN=CN，∠ACN=∠CAN=60°，

∠NCB=100°，∠BAN=160°，∠ABN=∠ANB=10°.

因為∠ABC=40°，∠ABN=10°，

所以∠NBC=30°.

因為AB=CN，∠BAM=∠BCN=100°，和已知條件“邊AM的長度與邊CB相等”，根據(jù)邊角邊相等的三角形全等的原則，可以得到△BAM ≌ △NCB.

所以可以得到∠BMA=∠CBN=30°.

在△BAM中，已知∠BMA=30°，∠BAM=100°，

則可得到∠MBA=50°.

又因為∠ABN=10°，∠NBC=30°，

所以∠CBM=10°.

評注 構(gòu)建等邊三角形，構(gòu)造全等三角形，是順利解決三角形內(nèi)角度數(shù)問題的常用解題方法，其價值在于在已知條件和未知條件之間構(gòu)造通往解題的途徑，充分利用已經(jīng)掌握的三角形相關(guān)知識.有的學(xué)生懷疑如果構(gòu)建了等邊三角形、證明了全等關(guān)系，依然不能找到已知條件與未知條件之間的關(guān)系，不就浪費了寶貴的解題時間嗎.確實存在這樣的可能性，但實踐和嘗試是解決幾何問題的重要手段，構(gòu)造等邊三角形后作全輔助線可幫助學(xué)生盡快找到隱藏關(guān)系，搭建解題路徑.

3 結(jié)語

三角形內(nèi)的線段相等問題、求內(nèi)角問題都可轉(zhuǎn)化為構(gòu)建全等三角形關(guān)系問題，而構(gòu)建全等三角形可充分利用等邊三角形特殊的邊角關(guān)系，來降低輔助線、輔助圖形構(gòu)建的難度^[3].所以，在三角形為背景的幾何問題中，應(yīng)善用等邊三角形和全等三角形.從三角形出發(fā)，正方形、圓形等幾何問題背景中同樣可以善用等邊三角形和全等三角形來構(gòu)建相等關(guān)系，構(gòu)建特殊的邊角關(guān)系，尋找解題的路徑.只不過在正方形、圓形等幾何問題背景中，學(xué)生需要將全等三角形、等邊三角形性質(zhì)與正方形或圓形性質(zhì)相結(jié)合，實現(xiàn)高效解題.

參考文獻：

[1]羅麗.巧用初中所學(xué)知識，妙解初中數(shù)學(xué)問題[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版下旬），2021（08）：39.

[2]吳國慶.巧構(gòu)等邊三角形解題[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2021（Z1）：50.

[3]陳璽，張曉東.巧用“目標(biāo)三角形法”構(gòu)造全等——例談構(gòu)造全等三角形的一般策略[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（03）：36-38.