海倫公式：從三角形到四邊形

人教版數(shù)學(xué)教材八（下）“閱讀與思考”《海倫-秦九韶公式》：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、 b、c，記p=

[12]（a+b+c），那么三角形的面積為

S=[p（p-a）（p-b）（p-c）]。" "①

這是古希臘幾何學(xué)家海倫給出的三角形面積公式，在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為“海倫公式”。我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶也曾給出一個(gè)三角形的面積公式為

S=[14a2b2-a2+b2-c222]。②

兩個(gè)公式形式不同，但有共同點(diǎn)，都是用三邊表示面積。教材對(duì)公式②進(jìn)行多次因式分解，最終推出公式①。所以，我們也把公式①稱(chēng)為“海倫-秦九韶公式”。

讀完這篇材料，我有一個(gè)想法，三角形面積的海倫公式確實(shí)非常整齊，那么四邊形也有類(lèi)似的面積公式嗎？

根據(jù)公式①的形式，我猜想：S=[p（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]（猜想1），其中p=[12]（a+b+c+d）。很快我就發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，假設(shè)三角形的邊長(zhǎng)單位是米，面積單位應(yīng)該是平方米，而通過(guò)猜想1計(jì)算的單位不是平方米。因此，猜想1不對(duì)。于是我便有了猜想2：

S=[（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]。 ③

這次應(yīng)該是對(duì)的，當(dāng)四邊形的一邊長(zhǎng)d逐漸變小，最終變成0時(shí)，四邊形就變成了三角形，公式③和公式①保持一致。比如，邊長(zhǎng)為3和4的矩形面積為12，用公式③計(jì)算：p=7，S=[（7-3）（7-3）（7-4）（7-4）]=4×3=12，猜對(duì)了。

矩形太特殊，如果是任意的四邊形呢？我從等邊三角形ABC出發(fā)，先構(gòu)造一個(gè)凹四邊形ABCD，其中點(diǎn)D是△ABC的中心，如圖1。

設(shè)AB=2，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則DE⊥AB，容易計(jì)算CE=[3]，BD=2DE=[233]，3S△ABD=S△ABC=[3]，S凹ABCD=[23]S△ABC=[233]；用公式③計(jì)算：p=AB+AD=2+[233]，S凹ABCD=[433]。很詫異，兩種方法計(jì)算的結(jié)果不一樣，問(wèn)題出在哪里呢？

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩次計(jì)算結(jié)果相差[233]，所以，如果把△ACD沿著AC翻折成△ACF，得到凸四邊形ABCF，如圖2，這個(gè)時(shí)候S凸ABCF=[433]。是不是公式③不適用于凹四邊形，只適用于凸四邊形呢？

我們把△ABC沿著AC翻折成△ACG，得到凸四邊形ABCG，如圖2，這個(gè)凸四邊形是菱形，菱形的面積S=2S△ABC=2[3]。用公式③計(jì)算：p=4，S=4。

兩次結(jié)果還是不一樣，是不是公式③只適用于部分凸四邊形呢？到底這一部分凸四邊形有什么特殊性質(zhì)呢？是不是也有一部分凹四邊形也適用于公式③呢？我百思不得其解，只好請(qǐng)教數(shù)學(xué)老師了。老師說(shuō)，公式③適用于圓內(nèi)接四邊形，圓的內(nèi)容可以先自學(xué)。

“圓內(nèi)接四邊形面積公式”，正是我猜想的公式③，也叫海倫公式，但證明的方法用到了三角函數(shù)和余弦定理。我想，能不能用三角形面積的海倫公式推導(dǎo)圓內(nèi)接四邊形面積公式呢？

于是，我很自然地想到連接BD，把四邊形分成兩個(gè)三角形，如圖3，這樣就可以用海倫公式把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的和。但很快就遇到一個(gè)問(wèn)題，如何求BD呢？

換個(gè)思路。假設(shè)BA和CD不平行，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，這樣四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的差。試了試，計(jì)算異常復(fù)雜，困難重重，此路好像行不通。

我探究這一通，只是起源于一個(gè)想法，結(jié)果一路坎坷，最終也沒(méi)能證明猜想的結(jié)論。雖然我認(rèn)為我的思路可行，但是行不通，是我知識(shí)和能力有限呢，還是確實(shí)行不通？不過(guò)，這些都不影響我繼續(xù)探究下去的決心。

教師點(diǎn)評(píng)

在學(xué)生心目中，老師解題一做就對(duì)。但事實(shí)上，解題就是不斷試錯(cuò)的過(guò)程，這個(gè)探尋和嘗試的過(guò)程非常重要。就像本文小作者的探究過(guò)程一樣，看似一無(wú)所獲，但已收獲滿(mǎn)滿(mǎn)。

（指導(dǎo)教師：史占增）