探究“含參數”的二元一次方程組解的情況

走進二元一次方程組的神奇世界，不難發(fā)現：有些方程組解到最后，并不能得到x或y的值，會出現無數個解或者無解的情況。我不禁想到，在什么情況下才會出現這種情況呢？

首先，我們來看一個“含參數”的方程組（關于x和y的二元一次方程組）：

[x+y=7， ①ax+2y=c， ②]

因為這是一個“含參數”的方程組，關于解的情況，我們需要分類討論。

我們都知道，要想求出兩個未知數的值，就至少需要兩個等量關系。

在這個方程組中：

1.①式中x的系數與②式中x的系數的比值為[1a]；

2.①式中y的系數與②式中y的系數的比值為[12]；

3.等式右側常數的比值為[7c]。

我發(fā)現，如果兩個未知數的系數的比值與等式右側常數的比值相等，那么這個方程組有無數組解。

舉個例子：若a=2，c=14，則①式和②式，實際上只有一個等量關系，所以這個方程組有無數組解。

如果兩個未知數的系數的比值相等，但與等式右側常數的比值不相等，那么這個方程組無解。

再舉個例子，若a=2，c=7，由①×2，得2x+2y=14，14≠7，很明顯，這個方程組無解。

當然，如果這個二元一次方程組中兩個未知數的系數的比值不相等，這個方程組就一定有唯一解。

我總結了一下，在這個二元一次方程組中，方程組的解的情況如下表所示：

表1

[[1a]=[12]=[7c] 有無數組解 [1a]=[12]≠[7c] 無解 [1a]≠[12] 有唯一解 ]

我們再來看一道例題：

當k 時，關于x、y的方程組[（2k-1）x+2y=14，2kx-y=7]有唯一解？

有了上面表1中的結論，這道題很快就可以迎刃而解。

因為原方程組有唯一解，所以[2k2k-1]≠[-12]，化簡可得k≠[16]。

從一個問題出發(fā)，深入思考，得到一般的結論，再將結論應用到“同類”問題中，由此，我體會到了數學的妙不可言。

教師點評

顧芮之同學在求解“含參數”的二元一次方程組時，發(fā)現方程組的解的個數有變化，進一步思考并總結二元一次方程組的解的情況與參數之間的對應關系，并且將所發(fā)現的“結論”在“同類”問題中進行應用，值得學習。特別是，小作者竟然在一篇短文中為我們呈現了“研究特例→發(fā)現并歸納結論→初步運用”的數學研究方法，正如她文末所言，真是妙不可言。

（指導教師：崔建平）