淺論如何聚焦數(shù)學(xué)核心概念把握面積度量本質(zhì)

摘 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，聚焦核心概念的課堂教學(xué)有助于教師整體把握課程內(nèi)容，有助于學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。“度量”這一核心概念作為幾何學(xué)測(cè)量過(guò)程的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理推理、規(guī)范建模，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中豐富了對(duì)長(zhǎng)度、面積、體積概念的理解，培養(yǎng)了直觀想象、邏輯推理、模型思想等數(shù)學(xué)思想方法，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：面積度量；數(shù)學(xué)核心概念；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8918（2024）30-0079-04

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念的掌握正是學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的基石，基于核心概念的課堂教學(xué)有助于教師整體把握課程內(nèi)容，有助于學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，勾連新舊知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著深刻的意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域，長(zhǎng)度、面積、體積是最基本的度量幾何學(xué)概念，除了維度不同，其測(cè)量過(guò)程的本質(zhì)是一致的。

一、 把握核心概念，落地研究方向

“度量”這一核心概念表示先有“度”再去“量”，度作為幾何測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)，按照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量才叫度量。我們用尺子量長(zhǎng)度，用溫度計(jì)量溫度，用秤稱質(zhì)量，那面積該如何度量呢？與線段不同，線段只有一個(gè)方向，所以只要量出一個(gè)方向的長(zhǎng)度就能度量一條線段的長(zhǎng)度，而面積有兩個(gè)方向的維度，如何制訂標(biāo)準(zhǔn)并實(shí)現(xiàn)度量？日常生活中如何快速、高效地計(jì)算面積大小呢？文章從尋找度量工具、進(jìn)行合理推理、建立計(jì)算模型三個(gè)方向進(jìn)行了深入思考，從培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出發(fā)進(jìn)行研究，把數(shù)學(xué)思想方法滲透到日常教學(xué)中去。

二、 聚焦數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

（一）抓住本質(zhì)，直觀想象——確定面積單位作為度量工具

圖形的度量本質(zhì)上都是用度量單位1根據(jù)度量的法則去擺，線段的長(zhǎng)度我們通常用1mm、1cm、1dm……的單位長(zhǎng)度去測(cè)量，量出有多少個(gè)單位長(zhǎng)度，線段的長(zhǎng)度就是多少。面積度量是在長(zhǎng)度度量的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，對(duì)比長(zhǎng)度而言，面積概念更為抽象，所以突破長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)和寬的乘積之間關(guān)系就是教學(xué)中的難點(diǎn)，教師需要幫助學(xué)生通過(guò)度量本質(zhì)理解面積的意義，使其知其然更知其所以然。

1. 初步感受，理解概念

在蘇教版三年級(jí)下冊(cè)教材“長(zhǎng)方形和正方形的面積”一課中，教材的設(shè)計(jì)是直接讓學(xué)生用1平方厘米的正方形任意拼出3個(gè)不同的長(zhǎng)方形，并把拼出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬以及包含的小正方形的數(shù)量填入表格，引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)長(zhǎng)、寬的數(shù)量與小正方形的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及小正方形的個(gè)數(shù)與拼成的長(zhǎng)方形面積的關(guān)系。這樣的教學(xué)中，隱含著長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬有著不可分割的聯(lián)系，但是面的大小與長(zhǎng)度的長(zhǎng)短有何不同，如何幫助學(xué)生從形的角度打開對(duì)面積計(jì)算維度的思考，教材中并未提及，而是默認(rèn)學(xué)生對(duì)面積有了一定的認(rèn)識(shí)。

有需求才有學(xué)習(xí)，在教學(xué)過(guò)程中我們可以用一個(gè)“比眼力”的小游戲進(jìn)行突破，先讓學(xué)生通過(guò)視覺比較1cm和7cm兩條線段的長(zhǎng)度，再讓兩條線段向上運(yùn)動(dòng)起來(lái)，變成兩個(gè)長(zhǎng)方形，讓學(xué)生的思維從線的長(zhǎng)短轉(zhuǎn)移到面的大小，實(shí)現(xiàn)了從一維平面到二維空間的跨越，體驗(yàn)到面積的含義。在線段運(yùn)動(dòng)前抓住學(xué)生思維定式：1cm動(dòng)起來(lái)比7cm小，通過(guò)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，直觀顯示1cm線段變化后的圖形比7cm線段變化后的圖形更大，進(jìn)一步聚焦“大小”，讓學(xué)生體會(huì)到長(zhǎng)度我們只要看一個(gè)方向的變化，而面積要看兩個(gè)方向的變化，而這兩個(gè)方向的線段長(zhǎng)度分別是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬有關(guān)，突破了原教材中對(duì)“面積”這一概念的理解。（圖1）

2. 制訂標(biāo)準(zhǔn)，探究關(guān)系

在感受到長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)和寬的聯(lián)系后，再進(jìn)一步深入探究?jī)烧咧g究竟存在何種關(guān)系，與線段不同的是，線段可以通過(guò)尺的度量直接量出長(zhǎng)度，而長(zhǎng)方形如果通過(guò)尺子測(cè)量是無(wú)法測(cè)出面積的大小的，以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能通過(guò)長(zhǎng)度單位來(lái)測(cè)量面積大小，長(zhǎng)、寬都是用厘米作單位，所以我們可以用邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形去量，自然從厘米過(guò)渡到平方厘米，確定用面積單位度量面積。

與長(zhǎng)度的度量類似，面積也可以通過(guò)面積單位來(lái)度量。在研究長(zhǎng)方形面積時(shí)，學(xué)生提出了不同的方法：

生1：我是數(shù)出來(lái)的，直接數(shù)面積是1平方厘米的小正方形的個(gè)數(shù)，有幾個(gè)面積單位，長(zhǎng)方形的面積就是幾平方厘米。

生2：我是算出來(lái)的，用每排個(gè)數(shù)乘排數(shù)算出一共有幾個(gè)面積單位就是幾平方厘米更簡(jiǎn)單。

生3：我也是算出來(lái)的，用長(zhǎng)乘寬就是面積。

雖然方法不一，但是都找到了面積的大小。在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是我們進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究的基礎(chǔ)，學(xué)生在探究長(zhǎng)方形面積大小時(shí)無(wú)形中滲透了直觀想象的數(shù)學(xué)核心思想，認(rèn)識(shí)了數(shù)與形的密切聯(lián)系，增強(qiáng)了數(shù)與形相互表達(dá)的意識(shí)和能力，也為進(jìn)一步探究長(zhǎng)方形面積的計(jì)算提出了猜想。不管是數(shù)還是算，都把研究形轉(zhuǎn)移到了研究數(shù)，幫助學(xué)生更加深刻地去感受面積的本質(zhì)、理解面積計(jì)算公式的意義?？梢姅?shù)形關(guān)系密切，割裂開就不是完整的數(shù)學(xué)研究。

（二）尊重邏輯，進(jìn)行推理——探究長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)和寬乘積的淵源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式?！處熢诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論。發(fā)展合情推理能力；通過(guò)實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求?！遍L(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，是研究其他平面圖形面積公式的基礎(chǔ)，也是蘇教版教材中第一次出現(xiàn)邏輯推理，三年級(jí)的學(xué)生邏輯思維發(fā)展不太成熟，雖然給教學(xué)帶來(lái)了一定的難度，但通過(guò)教師的引導(dǎo)，也可以給學(xué)生開啟推理的新思路。

在日常教學(xué)中，有不少學(xué)生課前已經(jīng)可以熟練運(yùn)用長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式解決問(wèn)題了，所以課上的證明環(huán)節(jié)顯得倉(cāng)促而枯燥，不少學(xué)生都是根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)將下面的表格填寫完整，忽略了推理的過(guò)程，但這一環(huán)節(jié)恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的關(guān)鍵之處，教師要有效引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教學(xué)重點(diǎn)，通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證和推理驗(yàn)證的方式進(jìn)行證明，將目光聚焦到為何長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方形的面積之間存在乘法關(guān)系，而不僅僅是知道公式、會(huì)用公式。

在演繹推理時(shí)，由于對(duì)學(xué)生抽象思維能力的要求更高，所以教師可以降低難度，為學(xué)生提供充足的1平方厘米的面積單位對(duì)長(zhǎng)方形擺一擺、鋪一鋪，便于探究數(shù)據(jù)之間的關(guān)系?；顒?dòng)要求學(xué)生用1平方厘米的面積單位測(cè)量第一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，學(xué)生呈現(xiàn)如下資源（圖2），大部分學(xué)生是全部鋪滿，也有個(gè)別學(xué)生只鋪了一半。教師呈現(xiàn)資源引發(fā)學(xué)生思考，雖然沒有鋪滿，但是可以想象長(zhǎng)里有4個(gè)，所以每排有4個(gè)，寬里有3個(gè)，所以有這樣的3排，最后用4×3=12，面積就是12平方厘米。通過(guò)資源的呈現(xiàn)使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和每排個(gè)數(shù)進(jìn)行勾連，使長(zhǎng)方形的寬和排數(shù)進(jìn)行勾連，通過(guò)1平方厘米面積單位的個(gè)數(shù)來(lái)得出長(zhǎng)方形的面積，半鋪的方法直觀有效地幫助學(xué)生通過(guò)度量得到了長(zhǎng)方形的面積。

接著再出示第二個(gè)長(zhǎng)方形，鼓勵(lì)學(xué)生也通過(guò)想象得到長(zhǎng)方形面積，當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)半鋪后再呈現(xiàn)兩種資源（圖3），第④份作業(yè)甚至沒有實(shí)際去鋪，但可以想象，長(zhǎng)是5cm每排擺5個(gè)，寬是4cm有這樣的4排，5×4=20，面積就是20平方厘米。引導(dǎo)學(xué)生從全鋪到半鋪到想象不鋪，層層深入，將長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成每排的個(gè)數(shù)，將寬轉(zhuǎn)化成排數(shù)，通過(guò)每排的個(gè)數(shù)乘排數(shù)得到1平方厘米面積單位的個(gè)數(shù)，得到長(zhǎng)方形的面積。

此時(shí)教師順勢(shì)進(jìn)行抽象，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)想象，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，想象把小正方形擺上去，長(zhǎng)里每排擺（ ）個(gè)；寬是6厘米，寬里可以擺（ ）排，有（ ）個(gè)小正方形，面積就是（ ）平方厘米。如果長(zhǎng)是20厘米，擺（ ）個(gè)；寬是10厘米，擺（ ）排，面積就是（ ）平方厘米。通過(guò)想象，豐富學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)抽象思維的能力，抽象出每排的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的厘米數(shù)，排數(shù)就是長(zhǎng)方體的寬的厘米數(shù)，因?yàn)槊颗艂€(gè)數(shù)乘排數(shù)等于面積單位的個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積，所以長(zhǎng)乘寬等于長(zhǎng)方形的面積，使學(xué)生經(jīng)歷從用面積單位度量面積到用長(zhǎng)度單位計(jì)算面積的過(guò)程，最后抽象出乘法計(jì)算公式，滲透乘法與長(zhǎng)方形面積計(jì)算的關(guān)系。

再把這樣的推理方法趁熱打鐵運(yùn)用到正方形的面積計(jì)算公式的推理上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回顧正方形的特征，得到正方形四條邊長(zhǎng)度相等，那沿著兩條鄰邊可以擺出相同數(shù)量的1平方厘米的面積單位，所以只要用一條邊上擺的正方形個(gè)數(shù)乘它本身就等于擺滿這個(gè)正方形所需的1平方厘米的面積單位數(shù)，有幾個(gè)這樣的1平方厘米的面積單位，正方形的面積就是多少平方厘米。又因?yàn)?平方厘米的面積單位都是邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形，所以大正方形邊上能擺幾個(gè)1平方厘米的面積單位它的邊長(zhǎng)就是多少厘米，最后得出正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)。在這樣的推理過(guò)程中，學(xué)生也會(huì)逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考與合理推理的核心素養(yǎng)。

（三）觸類旁通，靈活建模——發(fā)現(xiàn)面積度量與乘法模型的聯(lián)動(dòng)

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量、關(guān)系和空間的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠幫助學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)產(chǎn)生勾連，進(jìn)而幫助學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，也就是我們常說(shuō)的知識(shí)的遷移。而數(shù)學(xué)模型的確立依托于建模的過(guò)程，對(duì)熟記長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，如何推導(dǎo)出這個(gè)公式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是更難理解也是更為重要的，建模的過(guò)程不完全依賴于教師的引導(dǎo)，而要學(xué)生在有了乘法意義理解和面積單位意識(shí)的基礎(chǔ)上不斷生成融合的。

面積是求一個(gè)平面的大小，可以用面積單位進(jìn)行測(cè)量，學(xué)生通過(guò)探索小正方形的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系得出了長(zhǎng)方形的面積公式，建立了模型S=a×b，由此推導(dǎo)出正方形的面積計(jì)算公式，將知識(shí)橫向進(jìn)行延展；教師可以利用幻燈片直觀演示點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的過(guò)程，通過(guò)視覺沖擊培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，而體積是求一個(gè)空間的大小，通過(guò)演示設(shè)疑，給學(xué)生思考的空間，引導(dǎo)學(xué)生把剛剛習(xí)得的平面面積和立體體積進(jìn)行類比，將知識(shí)縱向進(jìn)行深化。學(xué)生融匯模型思想可以給后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，建立的模型不僅能解決問(wèn)題，還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，再創(chuàng)造出新的知識(shí)點(diǎn)。

除了聯(lián)結(jié)小學(xué)階段幾何中形的變化，還能從數(shù)的角度對(duì)面積進(jìn)行剖析（圖4），聯(lián)系二年級(jí)“乘法的意義”一課，花片數(shù)量是每排朵數(shù)乘排數(shù)，而長(zhǎng)方形面積是每排面積單位個(gè)數(shù)乘面積單位的排數(shù)，也就是長(zhǎng)的長(zhǎng)度乘寬的長(zhǎng)度，讓學(xué)生感受到兩數(shù)相乘就是面積，聯(lián)想到三個(gè)數(shù)相乘就是體積，發(fā)掘了乘法的幾何直觀這一模型。

三、 聯(lián)結(jié)知識(shí)脈絡(luò)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)中理解概念之間的關(guān)系，就容易抓住概念的本質(zhì)，再輔以抽象的教學(xué)機(jī)制與充分的想象，就能從容地找到合適的教學(xué)策略?；貧w數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷總結(jié)反思，構(gòu)建框架，再反過(guò)來(lái)運(yùn)用我們梳理的方法結(jié)構(gòu)去解決更多的問(wèn)題，探索更多的謎題，學(xué)與用的過(guò)程不就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程嗎？文章指向的直觀想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，以及“度量”這一核心概念的把握并不是“長(zhǎng)方形和正方形的面積”一課的教學(xué)目標(biāo)，但是這些思想方法與概念本質(zhì)卻在行課過(guò)程中幫助學(xué)生理解面積的實(shí)質(zhì)，授人以魚，不如授人以漁，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)才是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重中之重。

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作者簡(jiǎn)介：張靖（1993～），女，漢族，江蘇常州人，常州市博愛小學(xué)，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念。