利用GeoGebra軟件輔助理解關(guān)聯(lián)速度模型

摘 要：在高中物理教學(xué)中，“關(guān)聯(lián)速度模型”是教學(xué)難點和易錯點，其復(fù)雜抽象的關(guān)聯(lián)運動情境更適合用動態(tài)化教學(xué)軟件展示，從而更好地幫助學(xué)生理解運動的合成與分解規(guī)律。本文借助GeoGebra軟件構(gòu)建動態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，可以定量化、動態(tài)化、可視化地展示關(guān)聯(lián)速度模型中的物體運動和速度的合成與分解關(guān)系，幫助學(xué)生深刻理解運動的合成與分解原理，有效地突破教學(xué)難點。

關(guān)鍵詞：中學(xué)物理；運動的合成與分解；可視化教學(xué)

針對“運動的合成與分解”一節(jié)，《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求：“體會將復(fù)雜運動分解為簡單運動的物理思想?！薄瓣P(guān)聯(lián)速度模型”作為運動的合成與分解的典型應(yīng)用，是高中物理教學(xué)中的難點，也是高考的熱點問題。［1］關(guān)聯(lián)速度模型就是將兩個物體通過不可變形的輕繩、輕桿或直接接觸發(fā)生聯(lián)系，求兩物體速度之間的關(guān)系。兩物體的速度通常不同，但存在某種聯(lián)系，這就是關(guān)聯(lián)速度。［2］關(guān)聯(lián)速度分析的關(guān)鍵在于分清物體之間的速度關(guān)系，找出合運動和分運動。合運動是由各分運動共同產(chǎn)生的總運動效果，合運動與各分運動的總運動效果可以相互替代。［3］傳統(tǒng)教學(xué)中常用的板書很難直觀地展示關(guān)聯(lián)速度模型中的動態(tài)速度關(guān)系，更難使學(xué)生構(gòu)建出真實的物體運動圖像。若能把物體運動時的速度情況動態(tài)化地演示出來，則能夠很好地幫助學(xué)生理解這一物理規(guī)律。GeoGebra軟件是一款數(shù)形結(jié)合軟件，能夠?qū)ξ锢磉^程、物理模型進(jìn)行模擬，將抽象的物理運動情境定量化、可視化、動態(tài)化。［4］本文借助GeoGebra軟件構(gòu)建動態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，展示物體在運動過程中的“關(guān)聯(lián)速度”問題和速度變化關(guān)系，定量、直觀地顯示合速度與分速度之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解該類問題，建立正確的運動觀，有效解決教學(xué)難點。

1 關(guān)聯(lián)速度模型總述

常見的關(guān)聯(lián)速度模型有繩模型和桿模型，如圖1所示。圖1（a）是繩模型，A端繩子通過定滑輪拉動B端小船，使小船靠岸；（b）是繩模型，A端車通過定滑輪拉動B端車；（c）是繩模型，A端重物通過定滑輪拉動套在豎直細(xì)桿上B端的圓環(huán)；（d）是桿模型，輕桿兩端分別沿豎直墻面與水平地面滑動。在這類問題中，繩和桿不可變形，摩擦力不計，繩和桿的質(zhì)量不計。常常已知A端物體的速度vA，求解B端物體的速度vB，α是vA的方向與繩或桿的夾角，θ是vB的方向與繩或桿的夾角（均選取銳角）。

以圖1（a）繩模型的常規(guī)教學(xué)為例，在岸上以速度vA勻速拉繩子，使小船沿水平面向岸邊靠攏，求B端繩子與水平方向成θ角時，船的速度vB的大小。由于繩子不可伸縮，因此沿繩子方向的速度大小處處相等，即為關(guān)聯(lián)速度v關(guān)。繩子A端的運動是合運動，實際效果是A端沿著繩子運動，其方向即是合速度方向，則v關(guān)＝v繩＝vA。

B端小船的運動是合運動，實際效果有兩個，一個是B端沿繩子的運動，另一個是B端繞定滑輪的轉(zhuǎn)動。因此，將B端小船速度vB分解為沿繩方向的速度v繩（與vB的夾角為θ）和垂直于繩方向、繞定滑輪轉(zhuǎn)動的速度v轉(zhuǎn)，如圖2（a）所示。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，v關(guān)＝v繩＝vBcosθ，因此vB＝v繩cosθ＝vAcosθ。

學(xué)生在解這類問題時的易錯點如下：①錯誤地判斷合運動和分運動。認(rèn)為繩子的運動是合運動，B端小船的運動是繩子運動的一個分運動，將v繩按如圖2（b）所示分解，錯誤地得到vB＝v繩cosθ＝vAcosθ。②不能根據(jù)合運動的實際效果分解合速度。［5］有的學(xué)生雖然能判斷出B端小船的運動為合運動，但在進(jìn)行速度的分解時，將其分解為沿繩的方向和垂直于船運動的方向的兩個速度，如圖2（c）所示。③受生活經(jīng)驗的影響。學(xué)生容易認(rèn)為施力物體的運動速度vA應(yīng)該大于受力物體vB，［6］即vAgt;vB。

為了避免學(xué)生分析問題時思路不清晰而導(dǎo)致解題錯誤，根據(jù)關(guān)聯(lián)速度模型的特點，可將關(guān)聯(lián)速度模型解題分為以下幾個步驟：①確定繩子末端A、B點的合速度（實際速度）的方向，物體實際的運動方向就是合運動的方向，即合速度的方向，即A、B點的合速度分別為vA、vB。②根據(jù)合運動的兩個實際效果分解合速度，一個沿繩方向即v關(guān)，另一個垂直于繩方向。③利用平行四邊形定則作出A、B兩端各自速度的矢量圖并得到合速度與分速度的關(guān)系，v關(guān)＝vAcosα、v關(guān)＝vBcosθ。④根據(jù)關(guān)聯(lián)速度大小相等，最后確定兩個物體的速度大小關(guān)系，vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ。

按照上述步驟分析圖1（b）模型。①繩子末端A、B的合速度均沿水平方向。②將A、B端的合速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的分速度。③A端有v關(guān)＝v繩＝vAcosα，B端有v關(guān)＝v繩＝vBcosθ。

④vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ。同理，圖1中（c）（d）模型也能根據(jù)上述步驟正確求解。

利用上述解題步驟雖然能夠簡單、快速地求解關(guān)聯(lián)運動的速度，但有些學(xué)生空間思維能力較弱，難以理解動態(tài)的運動情景，容易機械記憶這種類型題目的解法。因此，為了讓學(xué)生更深入理解速度的合成與分解原理，可以使用GeoGebra軟件為學(xué)生展示動態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，使其可以定量化地觀察到關(guān)聯(lián)速度模型中速度的變化情況。

2 利用GeoGebra軟件構(gòu)建關(guān)聯(lián)速度模型

以圖1模型中兩端A、B點分別作為研究點，根據(jù)v關(guān)在GeoGebra軟件中構(gòu)建圖1的關(guān)聯(lián)速度動態(tài)模型。

首先，創(chuàng)建A點速度vA，vA與繩或桿的初始夾角ω1，B點速度vB，vB與繩或桿的初始夾角ω2，時間t，角度隨時間變化量δ1、δ2的滑動條。

其次，繪制A點的運動及其速度向量：A點位置為（vAt，3），選擇“旋轉(zhuǎn)”工具構(gòu)建vA與繩或桿的夾角α＝ω1-δ1，選擇“圓和向量”工具構(gòu)建A點速度向量vA、分速度向量v關(guān)＝vAcosα、v＝vAsinα。

最后，繪制B點的運動及其速度向量：選擇“旋轉(zhuǎn)”工具構(gòu)建vB與繩或桿的夾角θ＝ω2＋δ2，根據(jù)vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ，B點位置為（vBt，3），選擇“圓和向量”工具構(gòu)建B點速度向量vB、分速度向量v關(guān)＝vBcosθ、v＝vBsinθ。

A點是主動端，B點由于A端的牽連而運動。從合運動和分運動的概念來看，關(guān)聯(lián)物體發(fā)生運動的過程中，與連接物相連接的兩端物體的運動都是合運動，而連接物的運動是分運動，故此時A、B點的運動即為合運動，速度即為物體的速度vA、vB。繩或桿上任意點沿繩或桿方向的速度大小相同，沿著繩或桿的速度就是關(guān)聯(lián)速度v關(guān)。

3 關(guān)聯(lián)速度模型動態(tài)教學(xué)展示

GeoGebra軟件能夠通過調(diào)節(jié)參數(shù)展示不同情況下物理量的動態(tài)變化過程。啟動動畫，可以清晰地看到運動過程中v關(guān)及A、B點的速度vA、vB的大小、方向變化情況。

調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動條，令ω1＝0°、δ1＝0°，使vA的方向與繩平行，ω2、δ2為任意值，得到圖1

（a）的動態(tài)模型，如圖3所示。啟動動畫，可以看到

B點運動的過程中［如圖3（b）（c）（d）所示］，A、B點沿繩的分速度即關(guān)聯(lián)速度v關(guān)始終相等，且等于A點速度，即v關(guān)＝vA。隨著θ增大，vB也在不斷增大；同時還可以看到B點垂直于繩的分速度在不斷增大。暫停動畫，學(xué)生可以觀察到任意時刻小船的速度、角度大小等物理量。例如，某時刻vA＝2m/s，θ＝45°時，如圖3（c）所示，v關(guān)＝2m/s，vB＝2.83m/s。另外，還可以改變A端速度，讓學(xué)生體會不同vA下小船的運動情況。

調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動條，使這五個參數(shù)均大于零，得到圖1（b）的動態(tài)模型，如圖4所示。可以觀察到在運動過程中［如圖4（b）（c）（d）所示］，α不斷減小，v關(guān)隨α的減小而增大，θ、vB也在不斷增大。

在圖1（b）模型中，θ角的取值為0°lt;θlt;90°。當(dāng)θ＝0°時，如圖5所示，也可以應(yīng)用GeoGebra建立模型。調(diào)節(jié)參數(shù)，展示物體運動時速度的動態(tài)變化情況。調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動條，令ω2＝0°、δ2＝0°，使vB的方向與繩平行，ω1、δ1為任意值，如圖6所示。從動態(tài)圖中可以看到，在運動的過程中，θ始終是0°，A、B端v關(guān)大小始終相等，vB的值即為v關(guān)的大小。隨著α不斷減小，v關(guān)、vB在不斷增大。通過觀察動態(tài)圖，能夠看到vB的速度就是沿繩方向的速度，即為v關(guān)，加深了學(xué)生對關(guān)聯(lián)速度模型中合速度分解方法的理解。

利用GeoGebra軟件展示物體運動速度的動態(tài)、可視化關(guān)聯(lián)速度模型，學(xué)生能夠直接觀察到兩個物體運動時A、B端速度矢量發(fā)生的變化，［7］建立起物理動態(tài)圖像。結(jié)合教師的講解，學(xué)生可以更加深度的思考，從而真正理解關(guān)聯(lián)速度模型的解題方法。

4 結(jié)語

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用為高中物理教學(xué)帶來了很多便利，許多重要但不容易講透的物理規(guī)律可以通過現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)行可視化展示，從而糾正學(xué)生之前錯誤的觀念，幫助學(xué)生在頭腦中構(gòu)建出物體真實的運動圖像。［8］通過定量化、動態(tài)化地展示關(guān)聯(lián)物體運動過程中的v關(guān)、vA、vB等物理量的大小及方向變化情況，使學(xué)生能夠理解物體實際的運動是合運動，沿繩或桿的運動是分運動，并且沿繩或桿的速度大小相等，從而正確判斷合運動和分運動。利用動態(tài)圖突破了學(xué)生的認(rèn)知難點，［9］使學(xué)生能夠懂得按照物體實際運動情況分解合速度，將合速度分解為沿繩或桿方向和垂直于繩或桿的方向上。另外，還能使學(xué)生體會到一些直觀上較難想象的關(guān)系，如在運動的過程中，vB的速度可以大于vA，即受牽連物體的運動速度是可以大于主動施力物體的。

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