如何下滑時間更短？

摘 要：本文先就一道模擬題給出了解答，基于該題題設(shè)的情境提出了更一般化的問題，并分別從幾何和積分兩個角度定量地對問題作出了解答，得出物體在自身重力作用下沿14光滑圓弧下滑的時間小于其沿直線下滑時間的結(jié)論。文章最后簡單介紹了最速降線，并通過實驗給出了物體沿不同軌道下滑時間長短關(guān)系的一般規(guī)律。希望能為此類問題的解答提供思路。

關(guān)鍵詞： 光滑圓弧；切向加速度；速度；下滑時間；Tracker

1 試題再現(xiàn)

如圖1所示，甲、乙中半徑為R的圓弧均與水平面相切，對應(yīng)的圓心角θ均很小（小于5°，圖中沒有按比例畫出），圓弧光滑，水平面粗糙且均勻。在圖1甲中，質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點）放在頂端由靜止開始沿圓弧自由滑下，在水平面上滑行了s的距離后停下。在圖1乙中，同樣的物體從靜止開始沿固定光滑板滑下，不考慮拐角處機械能的損失，物體在水平面上同樣滑行了s的距離后停下。甲、乙中物體的初始高度相同，均為h，則（" ）。

A. 甲、乙中水平面與物體間的動摩擦因數(shù)相同，且均為μ＝hs

B. 甲、乙中物體下滑的過程中重力做功的平均功率相同

C. 從開始下滑到停止的過程中，圖1甲中重力的沖量比圖1乙中的小

D. 從開始下滑到停止的過程中，圖1甲中除重力外的其他力的合力對物體做的功比圖1乙中的多

2 試題解答與問題提出

本題是2023屆湖南師大附中高三第二次月考卷的選擇壓軸題，參考答案為A、C選項。

2.1 試題解答

本題的A、D選項較易判斷，甲、乙兩情境中物體在下滑過程中均只有重力做功，在水平面上滑行過程中均只有摩擦力做功， 由于全過程中支持力的方向始終與速度的方向垂直，所以支持力不做功。由動能定理有mgh-μmgs＝0，可得μ＝hs。除重力外的其他力的合力對物體做的功即摩擦力對物體做的功，顯然是一樣大的。

B、C選項中的平均功率和沖量均與物體運動的時間有關(guān)。由于物體剛運動到水平面時的速度相同，由運動學公式Δv＝aΔt可知，兩情境中物體在水平面上的滑行時間相等，故關(guān)鍵在于比較物體下滑過程的時間長短。由題可知圓弧所對的圓心角θ很小，可認為兩情境中物體下滑的路程一樣長，但與圖1乙相比，圖1甲中物體在開始下滑的前一段時間內(nèi)，由于獲得較大的切向加速度，下滑過程的平均速率較大，所以甲中物體下滑的時間更短一些，由P＝mght下滑和I＝mg（t下滑＋t水平），可知C選項正確。

2.2 問題提出

不難看出，本題的出題者在題干中告知θ很小的用意在于讓學生根據(jù)極限思想判斷出兩情境中物體下滑的路程長短一致。同時又要考慮甲中物體的切向加速度剛開始時大于乙中物體的加速度，所以甲中物體由于先獲得較大速度而下滑時間更短。

那么，若圓弧所對的圓心角θ取一般值，即不能認為兩情境中物體下滑路程相等時，物體的下滑時間又該如何比較？很多學生會認為，由于物體沿圓弧下滑與沿直線下滑的初末速率分別相等，但因沿圓弧下滑的路程更長，所以沿圓弧下滑的時間也更長。這一判斷是否正確呢？我們可嘗試定性地畫出兩情境中物體下滑過程的速率—時間圖像（如圖2所示）。圖中曲線Ⅰ、Ⅱ分別表示物體沿圓弧下滑和沿直線下滑的速率—時間圖像，二者與橫軸圍成的面積分別為S1、S2。在曲線運動中，速率—時間圖像與t軸所圍面積表示物體的路程（軌跡長度），因此S1與S2的比值等于圓弧長度與其所對弦長之比。故欲比較t1與t2的大小關(guān)系，關(guān)鍵在于如何求出S1（含t1的表達式），即找出曲線Ⅰ的函數(shù)關(guān)系，而這一關(guān)系卻是比較復(fù)雜的。［1］因此該問題還需要進一步探究。

3 問題解決

為定量地比較兩情境中物體下滑時間的長短，本文分別從初等幾何和微積分兩個角度入手給出解答。 為便于問題研究，設(shè)圓弧所對的圓心角θ為90°，半徑為R，圓弧最低點B的切線水平?？梢暈橘|(zhì)點的物體在重力作用下沿光滑圓弧由頂端A下滑至底端B的時間記為t1，沿圓弧所對弦的光滑直線下滑至底端B的時間記為t2。

3.1 用幾何方法求解

作出線段AB所在的等時圓，具體作法為（如圖3所示）：先過A點作圓弧的切線AD，再過圓弧的圓心O作AB的垂線，垂線與AD的交點即為等時圓的圓心O′（圖中未畫出），最后以O(shè)′ 為圓心，O′A為半徑作出等時圓。易證等時圓的半徑與圓弧半徑R相等，根據(jù)等時圓模型可知，物體從A點沿直線下滑至B點與從A點做自由落體運動至D點所用時間相等（讀者可自行證明）。所以可將問題轉(zhuǎn)化為比較物體沿圓弧下滑的時間與沿線段AD做自由落體運動的時間。

再作相關(guān)輔助線，在物體沿圓弧下滑過程中任取一段極小圓弧Δs，其所對的圓心角大小為2Δθ，過C點作圓弧Δs的圓周角Δθ，與AD交于E、F兩點，作EG⊥CF。由于Δθ極小，可認為EG亦垂直于CE，所以∠FEG＝θ，由幾何關(guān)系可得h＝AE＝2R tanθ，CE＝2Rcosθ，由極限思想可得EG＝CEΔθ＝2RcosθΔθ，所以線段AD上的線元Δh＝EF＝EG

cosθ＝2Rcos2θΔθ，且Δh與Δs是一一對應(yīng)的。

在圓弧軌道上，由幾何關(guān)系可得Δs＝2RΔθ，物體運動Δs的速率v＝2gR sin2θ ，故物體運動Δs的時間

Δt1＝Δsv＝Rg sinθcosθ ·Δθ。

物體沿AD做自由落體運動時，由功能關(guān)系得

vE＝2g·2Rtanθ ，故物體經(jīng)過EF的時間

Δt2＝ΔhvE＝Rg sinθcosθ ·Δθcosθ。

則Δt1Δt2＝cosθ＜1，θ∈0，π4，即Δt1＜Δt2，累加后t1＝Δt1，t2＝Δt2 ，即得到t1＜t2。

該方法巧用等時圓模型，［2］但其中處處滲透著極限思想，作為教師，在教學中應(yīng)適當培養(yǎng)學生用極限思想解題的能力。

3.2 用積分法求解

如圖4所示，當物體沿圓弧AB下滑時，設(shè)下滑過程中的某一時刻其位置與圓心O的連線與水平方向的夾角為θ。

由機械能守恒定律有mgRsinθ＝12mv2，得v＝2gRsinθ ，物體下滑過程中的切向加速度aτ＝

gcosθ，根據(jù)aτ＝dvdt得

dt＝dvaτ＝2Rg1cosθdsinθ ＝R2g1sinθ dθ。

以t＝0，θ＝0為初值條件對上式兩邊同時積分，可得

∫t10

dt＝∫π20R2g1sinθ dθ。

解得t1＝R2g∫π201sinθ dθ，式中∫π201sinθ dθ的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，但可利用計算機軟件進行數(shù)值計算。筆者用Maple軟件計算得到∫π201sinθ dθ≈2.62206，則t1＝

2.62206R2g≈1.8541Rg。

當物體沿直線AB下滑時，其加速度a＝gcos45°，AB＝2R，由2R＝12gcos45°·t22得t2＝2Rg。

所以t1＜t2，這與用幾何方法得到的結(jié)論是一致的。

不難看出，用積分法求解相比幾何法的過程更簡潔，但其中涉及高等數(shù)學的知識，且依賴計算機軟件的輔助計算，所以作為教師，應(yīng)充分適應(yīng)當下的信息化環(huán)境，多掌握并利用各種軟件輔助教學。

4 拓展與總結(jié)

上文通過兩種定量的方法得到了物體在自身重力作用下沿14光滑圓弧下滑的時間小于沿直線下滑時間的結(jié)論。那么物體沿圓弧軌道下滑的時間是否是從A點到B點的最短時間呢？事實并非如此，物體沿著什么樣的曲線下滑所需時間最短，這是物理學發(fā)展史上著名的最速降線問題。最速降線是圓環(huán)在直線上無滑動摩擦滾動時，圓環(huán)上某一定點所形成的軌跡，因此最速降線也被稱為擺線或旋輪線。［3］顧名思義，物體沿著最速降線從A點下滑到B點，所需的時間是最短的。最速降線還有許多有趣的性質(zhì)與應(yīng)用，例如等時性和應(yīng)用于古代建筑屋頂設(shè)計等。［4］

最后，通過實驗并利用Tracker軟件追蹤物體的運動情況得到了實驗的一般規(guī)律。如圖5所示，A、B是空間中存在高度差且不在同一豎直線上的兩定點，l1、l2、l3、l4是從A點到B點的不同軌道，其中l(wèi)1為直線，l2為圓弧， l3為最速降線，l4為AOB區(qū)域內(nèi)任意一條只有一個凹側(cè)的曲線。

將一質(zhì)點從A點由靜止釋放（下滑過程中不考慮摩擦力），則質(zhì)點沿l3從A點下滑到B點用時最短，沿l1下滑用時最長，沿l2、l4下滑用時介于二者之間。即沿曲線下滑所用的時間均小于沿直線AB下滑所用的時間，并且該曲線與最速降線擬合程度越高，用時越短。

參考文獻

［1］崔延鋒.再談速度何處最大［J］.物理教師，2019，40（4）：64-65．

［2］王進峰.“等時圓”的一般規(guī)律［J］.物理教學，2022，44（4）：52-53．

［3］程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程 力學篇 第2版［M］.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2013：69-71．

［4］鄭琦.最速降線及其等時性［J］.物理與工程，2019，29（6）：45-46，51．