基于改進(jìn)的最優(yōu)分割法的不同論域?qū)ρ雌诜制谟绊懷芯?/h1>
2019-04-14 07:28:26許鈺沐牛秀嶺
水力發(fā)電 2019年11期
許鈺沐，牛秀嶺
(1.山西冶金巖土工程勘察有限公司，山西 太原 030024；2.山西水務(wù)交口供水開發(fā)建設(shè)管理有限公司，山西 太原 030024)
0 引 言
科學(xué)合理的汛期分期對于流域的防洪減災(zāi)及水資源合理利用與保護具有十分重要的意義[1]。不同年份降雨量在不同時間段變化較大，汛期在不同年份都具有隨機性、模糊性等變化規(guī)律[2]。目前，針對這些特點，現(xiàn)行的分期方法中僅Fisher分割法既能處理多指標(biāo)的聚類問題，又能同時考慮樣本時序性，在汛期分期中應(yīng)用廣泛[3-4]。但Fisher分割法在處理多指標(biāo)聚類問題時缺乏對指標(biāo)權(quán)重的考慮，即便唐莉等人將主成分分析法(PCA，principal component analysis)[5]與Fisher最優(yōu)分割法結(jié)合，稱之為PCA-Fisher最優(yōu)分割，對水庫進(jìn)行汛期分期，克服了Fisher最優(yōu)分割法視各指標(biāo)等權(quán)重的不足[5]，但以往人們在運用Fisher分割法汛期分期時，存在人為確定汛期研究域與汛期分期的研究論域的問題，對于汛期的界定及汛期分期基本時間單元的選取都帶有強烈的主觀性與不確定性[6-7]。為此，本文以張家莊水庫為例，首先定量確定汛期研究域，再分別以旬與候為研究論域，采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法，對水庫進(jìn)行汛期分期。
1 方法理論
1.1 Fisher最優(yōu)分割法
Fisher最優(yōu)分割法是將樣本分成若干類，對一列有序樣本進(jìn)行分割，其分割原則是各類間的差異最大，各類內(nèi)部的差異最小。具體分割步驟如下：
(1)樣本數(shù)據(jù)處理。設(shè)n個有序樣本，各有m項評價指標(biāo)，xij即為第i個樣本的第j個指標(biāo)特征值，構(gòu)造指標(biāo)特征值矩陣X，對各指標(biāo)無量綱化，得標(biāo)準(zhǔn)矩陣X′。即
xij′=xij/xmaxj
(1)
式中，xmaxj為第j個指標(biāo)中的最大值，xij′是無量綱化后的值。
(2)定義類直徑。設(shè)某類Gij={yi,yi+1,…,yj}j>i)的樣本離差平方和為其直徑D(i，j)V，即
(2)
(4)最優(yōu)解的確定。Fisher最優(yōu)分割法具有如下遞推定理
(3)
(4)
當(dāng)分k類時，找ik分割點使得式(4)的值最小，即F(n，k)=F(ik-1，k-1)+D(ik，n)；從而求出第k類。然后再求ik-1分割點，使F(ik-1，k-1)=F(ik-1-1，k-2)+D(ik-1，n)，以此類推得出所有分割點求出最優(yōu)解。
(5)最優(yōu)分類數(shù)的確定。F(n，k)～k曲線的轉(zhuǎn)折處的k值即為最優(yōu)分類數(shù)；或當(dāng)β(k)較大時則表示分k類較優(yōu),β(k)=|F(n,k)-F(n,k-1)|,一般以β(k)最大值時對應(yīng)k值為最優(yōu)分類數(shù)目。
1.2 均值變點分析
王賀佳等提出可以采用均值變點分析將尋找非汛期與汛期轉(zhuǎn)化為尋找降雨-徑流相關(guān)系數(shù)強度的變點[6]。均值變點分析的步驟如下：
對于有序相關(guān)系數(shù)數(shù)列{λθ}(θ=1，2，…，12)，以λt為端點將{λθ}劃分為兩列：λ1，λ2，…，λt和λt，λt+1，…，λ12，其中λt=max(λ1，λ2，…，λ12)。
假定{λθ}在第θ個月與第θ+1個月處斷開，則可計算統(tǒng)計量Dt和D，即
(5)
(6)
β=D-Dt
(7)
式中，最大β對應(yīng)的第θ個月為變點，從而可以求出汛期開始的月。
同理，對有序數(shù)列λt，λt+1，…，λ12進(jìn)行上述演算，也就可以得到汛期結(jié)束的月。根據(jù)汛期開始與結(jié)束的月，可以對汛期與非汛期進(jìn)行劃分。
2 實例分析
張家莊水庫位于山西省孝義市城西2.5 km的孝河上，是一座綜合利用的中型水庫，兼有防洪、農(nóng)業(yè)灌溉、生態(tài)供水等綜合效益。
2.1 研究期確定
本文以張家莊水庫1994年～2014年共21 a的月降雨-徑流資料為基礎(chǔ)，得到了月降雨P(guān)和徑流R的平均相關(guān)系數(shù)矩陣X=[0.02 0.24 0.22 0.39 0.64 0.72 0.73 0.67 0.75 0.50 0.29 0.01]T，可得最大相關(guān)系數(shù)為0.75；以0.75為端點，可將月降雨P(guān)和徑流R的平均相關(guān)系數(shù)矩陣劃分兩列，即1月到9月和9月到12月兩列，分別使用式(5)～(7)對兩列相關(guān)系數(shù)矩陣計算β。結(jié)果見圖1及圖2。由圖1、2可知，第1變點為第4個月，第2個變點為10月，即4月到10月為張家莊水庫汛期。
圖1 β隨 θ變化第1變點
圖2 β隨 θ變化第2變點
2.2 基于旬的汛期分期
2.2.1樣本指標(biāo)選取及指標(biāo)權(quán)重計算
表3 以旬為基本單元的F(n,k)計算結(jié)果
以4月～10月為汛期研究域，可將整個汛期研究時段劃分為21個旬。以張家莊水庫1962年～2014年共53 a的逐日降雨資料為基礎(chǔ)，選取表1中能反映張家莊水庫流域范圍內(nèi)暴雨洪水特征的4個指標(biāo)作為研究對象。運用SPSS軟件對標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析[8]，可得表1及表2。
表1 成分矩陣(成分1)
表2 解釋的總方差 %
由表2可知，主成分1特征累積方差貢獻(xiàn)率≥80%。因此，其能夠反映各指標(biāo)的大部分信息。
各指標(biāo)的權(quán)重ω=(0.745，0.188，0.035，0.032)。
2.2.2分期計算
由于各指標(biāo)間的單位不同，首先要將各指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。再利用上面求得各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，對無量綱化的結(jié)果求加權(quán)平均值。最后計算得出初始分類樣本Y=[0.18 0.22 0.26 0.21 0.35 0.40 0.38 0.61 0.71 1.27 0.94 1.18 1.17 1.16 1.08 0.92 0.76 0.68 0.54 0.36 0.25]T；再計算各截斷樣本的目標(biāo)函數(shù)F(n，k)值，計算結(jié)果見表3。
繪制目標(biāo)函數(shù)F(n，k)～k、β(k)～k曲線如圖3所示。從圖3可以看出，在k=3處F(n，k)～k曲線最陡并出現(xiàn)拐彎，且β(k)～k曲線，k=3時，取值最大。所以可確最優(yōu)定分類數(shù)k=3。從表4可以得出{1，2，3，4，5，6，7，8}、{9，10，11，12，13，14}和{15，16，17，18}3類。即，4月1日到6月20日為前汛期，6月21日到8月20日為主汛期，8月21日到10月30日為后汛期。
圖3 以旬為論域的F(n，k)～k和 β(k)～k曲線
表4 以候為基本單元的F(n，k)計算結(jié)果
2.3 基于候的汛期分期
2.3.1樣本指標(biāo)選取及指標(biāo)權(quán)重計算
以4月～10月為汛期研究域，可將整個研究時段劃分為42個候。資料指標(biāo)選取同上。運用SPSS軟件對標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析[9]，得到各指標(biāo)的權(quán)重ω=(ω1，ω2，ω3，ω4)=(0.865，0.073， 0.056， 0.005)。
2.3.2分期計算
以候為論域，對各樣本指標(biāo)無量綱化后，得出初始分類樣本向量為：Y=[0.10 0.16 0.16 0.19 0.21 0.14 0.18 0.15 0.24 0.23 0.31 0.23 0.28 0.23 0.38 0.33 0.34 0.58 0.86 0.69 0.52 0.59 0.52 1.00 0.90 0.43 0.84 0.50 0.54 0.76 0.53 0.52 0.41 0.47 0.39 0.51 0.33 0.31 0.28 0.18 0.20 0.14]T。
再計算各截斷樣本的目標(biāo)函數(shù)F(n，k)值，計算結(jié)果見表4。
圖4 以候為論域的F(n，k)～k和 β(k)～k曲線
繪制目標(biāo)函數(shù)F(n，k)～k、β(k)～k曲線(見圖4)。由表4可得{1～17}、{18～29}和{30～42}3類，即4月1日到6月15日為前汛期，6月16日到8月31日為主汛期，9月1日到10月30日為后汛期。
3 結(jié)果與分析
張家莊水庫現(xiàn)行的汛期研究域為6月～9月，而采用均值變點得到張家莊水庫汛期研究域為4月～10月。其中，4月、5月和10月雖然不是北方地區(qū)公認(rèn)的入汛期；但張家莊的降雨數(shù)據(jù)顯示，4月份降雨總量于1994年首次超過7月，1994年后4月份降水總量頻繁偏大。在1963年與1980年5月降水總量為全年最大值，其余年內(nèi)有時5月比6月的降雨量還要多。研究期內(nèi)多年10月與9月的降雨量相當(dāng)，因此考慮氣候變化和極端天氣這兩個因素，將4月、5月和10月劃分到汛期里是合理的。
以旬與候為基本的研究論域分別對張家莊主汛期進(jìn)行劃分，得到主汛期時間段差異較大，以候為基本的時間單元，得到張家莊水庫主汛期較以旬為基本時間單元長15 d，表現(xiàn)為主汛期提前到來且推后結(jié)束。究其原因，以候為基本的時間單元，汛期分期更為精細(xì)，樣本間差異更為微小。在采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法進(jìn)行汛期分期時，主汛期的時間跨度會變大，實際中主汛期變長有助于流域的防洪減災(zāi)，更有利于保障下游城鎮(zhèn)居民的安全。因此，在進(jìn)行流域汛期分期時，需要對比不同研究論域的汛期分期結(jié)果，盡可能地進(jìn)行科學(xué)合理的汛期分期，以保障下游人民生產(chǎn)及生活安全。
4 結(jié)論與建議
(1)采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法可考慮各類指標(biāo)權(quán)重，有效進(jìn)行汛期分期。
(2)4月、5月和10月雖然不是北方地區(qū)公認(rèn)的入汛期，但采用均值變點分析將4月、5月和10月納入張家莊水庫汛期合理。在不同流域?qū)τ谘雌谘芯坑虻拇_定需要客觀的分析降雨-徑流的相關(guān)性，充分考慮氣候變化和極端天氣這兩個因素。
(3)以旬與候為基本的研究論域分別對張家莊主汛期進(jìn)行劃分，得到主汛期時間段差異較大，研究論域越小，樣本間差異更為微小，汛期分期更為精細(xì)。在進(jìn)行流域汛期分期時，需要對比不同研究論域的汛期分期結(jié)果，盡可能的科學(xué)合理的進(jìn)行汛期分期。
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許鈺沐，牛秀嶺
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科學(xué)合理的汛期分期對于流域的防洪減災(zāi)及水資源合理利用與保護具有十分重要的意義[1]。不同年份降雨量在不同時間段變化較大，汛期在不同年份都具有隨機性、模糊性等變化規(guī)律[2]。目前，針對這些特點，現(xiàn)行的分期方法中僅Fisher分割法既能處理多指標(biāo)的聚類問題，又能同時考慮樣本時序性，在汛期分期中應(yīng)用廣泛[3-4]。但Fisher分割法在處理多指標(biāo)聚類問題時缺乏對指標(biāo)權(quán)重的考慮，即便唐莉等人將主成分分析法(PCA，principal component analysis)[5]與Fisher最優(yōu)分割法結(jié)合，稱之為PCA-Fisher最優(yōu)分割，對水庫進(jìn)行汛期分期，克服了Fisher最優(yōu)分割法視各指標(biāo)等權(quán)重的不足[5]，但以往人們在運用Fisher分割法汛期分期時，存在人為確定汛期研究域與汛期分期的研究論域的問題，對于汛期的界定及汛期分期基本時間單元的選取都帶有強烈的主觀性與不確定性[6-7]。為此，本文以張家莊水庫為例，首先定量確定汛期研究域，再分別以旬與候為研究論域，采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法，對水庫進(jìn)行汛期分期。
1 方法理論
1.1 Fisher最優(yōu)分割法
Fisher最優(yōu)分割法是將樣本分成若干類，對一列有序樣本進(jìn)行分割，其分割原則是各類間的差異最大，各類內(nèi)部的差異最小。具體分割步驟如下：
(1)樣本數(shù)據(jù)處理。設(shè)n個有序樣本，各有m項評價指標(biāo)，xij即為第i個樣本的第j個指標(biāo)特征值，構(gòu)造指標(biāo)特征值矩陣X，對各指標(biāo)無量綱化，得標(biāo)準(zhǔn)矩陣X′。即
xij′=xij/xmaxj
(1)
式中，xmaxj為第j個指標(biāo)中的最大值，xij′是無量綱化后的值。
(2)定義類直徑。設(shè)某類Gij={yi,yi+1,…,yj}j>i)的樣本離差平方和為其直徑D(i，j)V，即
(2)
(4)最優(yōu)解的確定。Fisher最優(yōu)分割法具有如下遞推定理
(3)
(4)
當(dāng)分k類時，找ik分割點使得式(4)的值最小，即F(n，k)=F(ik-1，k-1)+D(ik，n)；從而求出第k類。然后再求ik-1分割點，使F(ik-1，k-1)=F(ik-1-1，k-2)+D(ik-1，n)，以此類推得出所有分割點求出最優(yōu)解。
(5)最優(yōu)分類數(shù)的確定。F(n，k)～k曲線的轉(zhuǎn)折處的k值即為最優(yōu)分類數(shù)；或當(dāng)β(k)較大時則表示分k類較優(yōu),β(k)=|F(n,k)-F(n,k-1)|,一般以β(k)最大值時對應(yīng)k值為最優(yōu)分類數(shù)目。
1.2 均值變點分析
王賀佳等提出可以采用均值變點分析將尋找非汛期與汛期轉(zhuǎn)化為尋找降雨-徑流相關(guān)系數(shù)強度的變點[6]。均值變點分析的步驟如下：
對于有序相關(guān)系數(shù)數(shù)列{λθ}(θ=1，2，…，12)，以λt為端點將{λθ}劃分為兩列：λ1，λ2，…，λt和λt，λt+1，…，λ12，其中λt=max(λ1，λ2，…，λ12)。
假定{λθ}在第θ個月與第θ+1個月處斷開，則可計算統(tǒng)計量Dt和D，即
(5)
(6)
β=D-Dt
(7)
式中，最大β對應(yīng)的第θ個月為變點，從而可以求出汛期開始的月。
同理，對有序數(shù)列λt，λt+1，…，λ12進(jìn)行上述演算，也就可以得到汛期結(jié)束的月。根據(jù)汛期開始與結(jié)束的月，可以對汛期與非汛期進(jìn)行劃分。
2 實例分析
張家莊水庫位于山西省孝義市城西2.5 km的孝河上，是一座綜合利用的中型水庫，兼有防洪、農(nóng)業(yè)灌溉、生態(tài)供水等綜合效益。
2.1 研究期確定
本文以張家莊水庫1994年～2014年共21 a的月降雨-徑流資料為基礎(chǔ)，得到了月降雨P(guān)和徑流R的平均相關(guān)系數(shù)矩陣X=[0.02 0.24 0.22 0.39 0.64 0.72 0.73 0.67 0.75 0.50 0.29 0.01]T，可得最大相關(guān)系數(shù)為0.75；以0.75為端點，可將月降雨P(guān)和徑流R的平均相關(guān)系數(shù)矩陣劃分兩列，即1月到9月和9月到12月兩列，分別使用式(5)～(7)對兩列相關(guān)系數(shù)矩陣計算β。結(jié)果見圖1及圖2。由圖1、2可知，第1變點為第4個月，第2個變點為10月，即4月到10月為張家莊水庫汛期。
圖1 β隨 θ變化第1變點
圖2 β隨 θ變化第2變點
2.2 基于旬的汛期分期
2.2.1樣本指標(biāo)選取及指標(biāo)權(quán)重計算
表3 以旬為基本單元的F(n,k)計算結(jié)果
以4月～10月為汛期研究域，可將整個汛期研究時段劃分為21個旬。以張家莊水庫1962年～2014年共53 a的逐日降雨資料為基礎(chǔ)，選取表1中能反映張家莊水庫流域范圍內(nèi)暴雨洪水特征的4個指標(biāo)作為研究對象。運用SPSS軟件對標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析[8]，可得表1及表2。
表1 成分矩陣(成分1)
表2 解釋的總方差 %
由表2可知，主成分1特征累積方差貢獻(xiàn)率≥80%。因此，其能夠反映各指標(biāo)的大部分信息。
各指標(biāo)的權(quán)重ω=(0.745，0.188，0.035，0.032)。
2.2.2分期計算
由于各指標(biāo)間的單位不同，首先要將各指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。再利用上面求得各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，對無量綱化的結(jié)果求加權(quán)平均值。最后計算得出初始分類樣本Y=[0.18 0.22 0.26 0.21 0.35 0.40 0.38 0.61 0.71 1.27 0.94 1.18 1.17 1.16 1.08 0.92 0.76 0.68 0.54 0.36 0.25]T；再計算各截斷樣本的目標(biāo)函數(shù)F(n，k)值，計算結(jié)果見表3。
繪制目標(biāo)函數(shù)F(n，k)～k、β(k)～k曲線如圖3所示。從圖3可以看出，在k=3處F(n，k)～k曲線最陡并出現(xiàn)拐彎，且β(k)～k曲線，k=3時，取值最大。所以可確最優(yōu)定分類數(shù)k=3。從表4可以得出{1，2，3，4，5，6，7，8}、{9，10，11，12，13，14}和{15，16，17，18}3類。即，4月1日到6月20日為前汛期，6月21日到8月20日為主汛期，8月21日到10月30日為后汛期。
圖3 以旬為論域的F(n，k)～k和 β(k)～k曲線
表4 以候為基本單元的F(n，k)計算結(jié)果
2.3 基于候的汛期分期
2.3.1樣本指標(biāo)選取及指標(biāo)權(quán)重計算
以4月～10月為汛期研究域，可將整個研究時段劃分為42個候。資料指標(biāo)選取同上。運用SPSS軟件對標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析[9]，得到各指標(biāo)的權(quán)重ω=(ω1，ω2，ω3，ω4)=(0.865，0.073， 0.056， 0.005)。
2.3.2分期計算
以候為論域，對各樣本指標(biāo)無量綱化后，得出初始分類樣本向量為：Y=[0.10 0.16 0.16 0.19 0.21 0.14 0.18 0.15 0.24 0.23 0.31 0.23 0.28 0.23 0.38 0.33 0.34 0.58 0.86 0.69 0.52 0.59 0.52 1.00 0.90 0.43 0.84 0.50 0.54 0.76 0.53 0.52 0.41 0.47 0.39 0.51 0.33 0.31 0.28 0.18 0.20 0.14]T。
再計算各截斷樣本的目標(biāo)函數(shù)F(n，k)值，計算結(jié)果見表4。
圖4 以候為論域的F(n，k)～k和 β(k)～k曲線
繪制目標(biāo)函數(shù)F(n，k)～k、β(k)～k曲線(見圖4)。由表4可得{1～17}、{18～29}和{30～42}3類，即4月1日到6月15日為前汛期，6月16日到8月31日為主汛期，9月1日到10月30日為后汛期。
3 結(jié)果與分析
張家莊水庫現(xiàn)行的汛期研究域為6月～9月，而采用均值變點得到張家莊水庫汛期研究域為4月～10月。其中，4月、5月和10月雖然不是北方地區(qū)公認(rèn)的入汛期；但張家莊的降雨數(shù)據(jù)顯示，4月份降雨總量于1994年首次超過7月，1994年后4月份降水總量頻繁偏大。在1963年與1980年5月降水總量為全年最大值，其余年內(nèi)有時5月比6月的降雨量還要多。研究期內(nèi)多年10月與9月的降雨量相當(dāng)，因此考慮氣候變化和極端天氣這兩個因素，將4月、5月和10月劃分到汛期里是合理的。
以旬與候為基本的研究論域分別對張家莊主汛期進(jìn)行劃分，得到主汛期時間段差異較大，以候為基本的時間單元，得到張家莊水庫主汛期較以旬為基本時間單元長15 d，表現(xiàn)為主汛期提前到來且推后結(jié)束。究其原因，以候為基本的時間單元，汛期分期更為精細(xì)，樣本間差異更為微小。在采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法進(jìn)行汛期分期時，主汛期的時間跨度會變大，實際中主汛期變長有助于流域的防洪減災(zāi)，更有利于保障下游城鎮(zhèn)居民的安全。因此，在進(jìn)行流域汛期分期時，需要對比不同研究論域的汛期分期結(jié)果，盡可能地進(jìn)行科學(xué)合理的汛期分期，以保障下游人民生產(chǎn)及生活安全。
4 結(jié)論與建議
(1)采用PCA-Fisher最優(yōu)分割法可考慮各類指標(biāo)權(quán)重，有效進(jìn)行汛期分期。
(2)4月、5月和10月雖然不是北方地區(qū)公認(rèn)的入汛期，但采用均值變點分析將4月、5月和10月納入張家莊水庫汛期合理。在不同流域?qū)τ谘雌谘芯坑虻拇_定需要客觀的分析降雨-徑流的相關(guān)性，充分考慮氣候變化和極端天氣這兩個因素。
(3)以旬與候為基本的研究論域分別對張家莊主汛期進(jìn)行劃分，得到主汛期時間段差異較大，研究論域越小，樣本間差異更為微小，汛期分期更為精細(xì)。在進(jìn)行流域汛期分期時，需要對比不同研究論域的汛期分期結(jié)果，盡可能的科學(xué)合理的進(jìn)行汛期分期。
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