四邊形中已知動點求線段長度最值問題解答策略研究

王莉果

［摘 要］四邊形中已知動點求線段長度最值問題是各地中考和模擬考中熱門壓軸題的熱點問題，這類問題綜合性強，難度較大，常令學生望而生畏。目前部分教輔資料在介紹其解答過程時突然冒出幾條“輔助線”，省略了思維的生成過程，使得學生更加困惑。文章立足學生的學習難點，對近年來各地中考和模擬考中的四邊形中已知動點求線段長度最值問題進行深入探究，對“輔助線”的來龍去脈進行追本溯源，并歸納總結(jié)了幾種常見的解答策略，以供一線教師參考。

［關(guān)鍵詞］四邊形；已知動點；線段長度；最值問題

［中圖分類號］ ???G633.6??????? ［文獻標識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0021-04

因動點而產(chǎn)生的最值問題是初中數(shù)學的難點之一，也是中考經(jīng)常涉及的領(lǐng)域之一[1]，這類問題考查知識面廣、綜合性強、題型多、解法靈活，主要有線段最值問題、多邊形面積最值問題、多邊形周長最值問題、運動中的函數(shù)圖象最值問題四種考查類型。本文主要探討四邊形中已知動點求線段長度最值問題的解答策略。

策略一：利用對稱點模型求解

在直線[l]的同側(cè)有[A]、[B]兩點，若在直線[l]上找一點[P]，使[AP+BP]最小，則可以利用對稱點模型求解：如圖1，作點[A]關(guān)于直線[l]的對稱點[A]，連接[AB]，使[AB]與直線[l]相交，其交點[P]即為所求點。

［題1］（2019年陜西省中考數(shù)學副卷）如圖2，[O]為菱形[ABCD]的對稱中心，[AB=4]，[∠BAD=120°]。若點[E]、[F]分別在[AB]、[BC]邊上，連接[OE]、[OF]，則[OE+OF]的最小值為 ???????。

分析：由于兩動點[E]、[F]在[AC]同側(cè)，因此可以結(jié)合對稱性將[E]、[F]轉(zhuǎn)化為在[AC]兩側(cè)處理，然后利用對稱點模型求解。

解：如圖3，連接[AC]，作點[E]關(guān)于[AC]的對稱點[E]，連接[OE]，則[OE+OF=OE+OF≥E′F]，因為四邊形[ABCD]是邊長為4的菱形，且[∠BAD=120°]，所以易證[△ABC]為等邊三角形，且高為[23]，由“兩平行線間垂線段最短”可知[OE+OF]的最小值為[23]。

策略二：利用三角形兩邊之差的范圍求解

如圖4，在直線[l]的同側(cè)有[A]、[B]兩點，若在直線[l]上找一點[P]，使[AP-BP]最大，則可以利用三角形兩邊之差的性質(zhì)求解：當[P]、[A]、[B]三點不共線時，[AP-BP

[l]

［題2］（2019年陜西省中考數(shù)學）如圖6，在正方形[ABCD]中，[AB=8]，[AC]與[BD]交于點[O]，[N]是[AO]的中點，點[M]在[BC]邊上，且[BM=6]。[P]為對角線[BD]上一點，則[PM-PN]的最大值為 ???????。

分析：本題屬于典型的兩側(cè)差最大值問題，由于兩定點[M]、[N]在[BD]兩側(cè)，因此可以結(jié)合對稱性將[M]、[N]轉(zhuǎn)化為在[BD]同側(cè)處理。

解：如圖7，以[BD]為對稱軸作[N]的對稱點[N]，連接[MN′]并延長交[BD]于[P]，連[NP]，由軸對稱性質(zhì)可知[PN=PN]，[∴PM-PN=PM-PN≤MN]，當[P]、[M]、[N]三點共線時，取“[=]”號。

[∵]正方形的邊長為8，且[O]為[AC]中點，[∴AC=2AB=82]，[AO=OC=42]，又[∵N]為[OA]的中點，[∴ON=22]，[∴ON=CN][=22]，[∴AN=62]，[∵BM=6]，[∴CM=][2]，[∴][CMCB=CNCA=14]，故[△CMN ]∽[△CBA]，[∴MN=2]，即[PM-PN]的最大值為2。

策略三：利用特殊位置求解

當遇到難以解決的動點最值問題時，可從一般退到特殊，先將動點放在線段端點等特殊位置上，再通過對特殊位置的研究找到解題思路。

［題3］（2022年陜西省中考數(shù)學）如圖8，在菱形[ABCD]中，[AB=4]，[BD=7]。若[M]、[N]分別是邊[AD]、[BC]上的動點，且[AM=BN]，作[ME⊥] [BD]，[NF⊥BD]，垂足分別為[E]、[F]，則[ME+NF]的值為 ???????。

分析：可從特殊位置出發(fā)，當[M]與[D]重合時，由[AM=BN]可知[N]與[C]也重合，此時[ME=0]，[NF=CO=12AC]（[O]為[AC]與[BD]的交點），故[ME+NF]的值必定與線段[AC]有關(guān)，接下來只要驗證其一般性即可。注意到線段[ME]和[NF]在運動的過程中始終保持平行，而線段[AC]的長度為定值，且與[ME]和[NF]均平行，所以可以通過相似三角形中的邊長比例關(guān)系，將未知量[ME]和[NF]的值轉(zhuǎn)化為[AC]的關(guān)系式求解。

解：如圖9，連接[AC]交[BD]于[O]，[∵]四邊形[ABCD] 為菱形，∴[BD⊥AC]，[OB=OD=72]，[OA=OC]，由勾股定理可得[OA=AB2-OB2=42-722=152]，易證[△DEM]∽[△DOA]，[∴][MEOA=DMAD]，即[ME=4-AM4·OA]，同理得[NF=BN4·OC=AM4·OA]，∴[ME+NF=OA=152]。

策略四：利用面積法求解

面積法的應用常見于直角三角形斜邊上的單動點距離最小值問題，利用直角三角形面積的兩種求法可以確定動點位置。

［題4］（2022年包頭二模）如圖10，菱形[ABCD]的對角線[AC]、[BD]相交于點[O]，點[P]為[AB]邊上一動點（不與點[A]、[B]重合），[PE⊥OA]于點[E]，[PF⊥OB]于點[F]，若[AC=20]，[BD=10]，則[EF]的最小值為 ??????。

分析：本題根據(jù)圖形特征，易知四邊形[PEOF]為矩形，故求雙動點[E]、[F]距離的最小值可以轉(zhuǎn)化為求單動點[P]到定點[O]的最小值，顯然當[OP⊥AB]時，[OP]最小。

解：如圖11，連接[OP]，∵四邊形[ABCD]是菱形，∴[AC⊥BD]，[AO=12AC=10]，[BO=12BD=5]，∴[AB=102+52=55]，易證四邊形[PEOF]為矩形，∴[EF=OP]，又∵當[OP⊥AB]時，[OP]最小，此時[S△ABO=12AO·BO=12AB·OP]，∴[OP=25]，∴[EF]的最小值為[25]。

評注：本題還可以推廣為求[2PE+PF]的值，過程如下：[S△ABO=12AO·BO=25]，[S△ABO=S△APO+S△BPO=12AO·PE+12BO·PF=52（2PE+PF）]，∴[2PE+PF=10]。

策略五??? 利用條件中的不變量求解

對于平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何變換模型，我們可以尋找題目條件中的不變量，以“靜”制“動”，將與動點有關(guān)的線段最值問題轉(zhuǎn)化為與不變量有關(guān)的線段最值問題。值得注意的是，題目中不一定需要出現(xiàn)翻折、旋轉(zhuǎn)等字眼，例如軸對稱圖形也可以當成翻折變換處理。

［題5］（2023年蕪湖一模）如圖12，在正方形[ABCD]中，已知邊[AB=5]，點[E]是[BC]邊上一動點（點[E]不與[B]、[C]重合），連接[AE]，作點[B]關(guān)于直線[AE]的對稱點[F]，則線段[CF]的最小值為[（][）]。

A. 5???????? B. [52-5]??????? C. [522]???????? D. [52]

分析：本題中[B]、[F]關(guān)于直線[AE]對稱，可以將其當成[BA]或[BE]沿[EA]所在的直線進行翻折，得到[FA]或者[FE]，顯然[FA]為定值，故考慮將[CF]轉(zhuǎn)化為與[FA]有關(guān)的問題求解，即放到[△CFA]中進行處理，注意到[AC]亦為定值，故可以利用三角形的兩邊和差范圍求解。

解：如圖13，連接[AF]、[AC]，[∵]正方形[ABCD]的邊長為5，∴[AC=52]，∵[B]、[F]關(guān)于[AE]成軸對稱，∴[AE]垂直平分[BF]，∴[AB=AF=5]，∵[AF+CF≥AC]，[∴]當[C]、[F]、[A]在同一直線上時，[CF]的最小值為[AC-AF=52-5]，故選B。

策略六：利用隱圓求解

某些動點問題中會出現(xiàn)隱圓的條件，如對角互補的四邊形，直角三角形中的斜邊中線等，這時可以畫出隱圓，利用圓上一動點到圓外一定點的距離范圍求解。

設(shè)[A]是[⊙O]上一動點，[B]是[⊙O]外一定點，[⊙O]的半徑為[r]，[OB=d]。

（1）如圖14，當[O]、[A]、[B]三點不共線時，[OA+AB>OB=OA+AB]，[AB>AB]。

當[A]、[A]兩點重合時，顯然[AB=AB]，故當[O]、[A]、[B]三點共線（[A]在線段[OB]上）時，[AB]的最小值為[OB-OA=d-r]。

（2）如圖15，當[O]、[A]、[B]三點不共線時，[AB

［題6］（2022年安徽一模）如圖16，在邊長為2的菱形[ABCD]中，[∠A=60°]，點[M]是[AD]邊的中點，點[N]是[AB]邊上一動點，將[△AMN]沿[MN]所在的直線翻折得到[△A′MN]，連接[A′C]，則[A′C]長度的最小值是[（][）]。

A. [7]??????? ??B. [7-1]????????? C. [3]????????? D. 2

分析：本題中[MD=MA=MA]，故[AA][⊥AD]，即[A]在以[M]為圓心，[AD]為直徑的圓上運動，故當[M]、[A]、[C]三點共線（[A]在線段[MC]上）時，[A′C]的長度最小。

解：由分析易證，當[A′]在[MC]上時，[A′C]的長度最小。如圖17，過點[M]作[MF⊥] [DC]于點[F]，[∵]在邊長為2的菱形[ABCD]中，[∠A=60°]，[M]為[AD]中點，∴[2MD=AD=CD=2]，[∠FDM=60°]，∴[∠FMD=30°]，∴[FD=12MD=12]，∴[FM=DM·cos30°=32]，∴[MC=FM2+CF2=7]，[A′C≥MC-MA′=7-1]，故選[B]。

策略七：利用相似/全等三角形求解

如圖18，已知[ABAB=ACAC=k]，[∠BAC=∠B′AC′=α]，則當[k≠1]時，[△ABB]∽[△ACC]；當[k=1]時，[△ABB ]≌[△ACC]，[CC=BB]。

如圖19，已知[ABAB=ACAC=k]，[∠B′AC′=∠BAC=90°]，則[△ABB ]∽[△ACC]，[BB⊥CC]，[S四邊形BCBA′=12BC×BC]。

上述模型也被稱為“手拉手”相似或全等模型，其特點是“共頂點”“等頂角”“兩相似”或“兩全等”。其證明過程并不復雜，限于篇幅，這里不作證明。

［題7］（2023年成都模擬）如圖20，[△ABC ]∽[△ADE]，[∠BAC=∠DAE=90°]，[AB=5]，[AC=12]，[F]為[DE]中點，若點[D]在直線[BC]上運動，連接[CF]，則在點[D]運動過程中，線段[CF]的最小值為 ?????。

圖20

分析：本題[Rt△ABC]與[Rt△ADE]屬于“手拉手”相似模型，易得[△ABD] ∽[△ACE]，[∠ABD=∠ACE]，∴[∠ACE+∠ACB=∠ABD] [+∠ACB=90°]，∵[F]是[DE]的中點，∴[CF=12DE]，即題目問題轉(zhuǎn)化為求[DE]的最小值，這時再利用題目條件中所給的邊長和相似關(guān)系即可求解。

解：如圖21，連接[EC]，設(shè)[AC]與[DE]交于點[G]，∵[△ABC ]∽[△ADE]，∴[∠ACD=∠AEG]，∵[∠AGE=∠DGC]，∴[△AGE] ∽[△DGC]，∴[AGDG=GECG]，∵[∠AGD=∠EGC]，∴[△AGD] ∽[△EGC]，∴[∠ADG=∠ECG]，∴[∠DCG+∠ECG=90°]，∵[F]是[DE]的中點，∴[CF=12DE]，∵[△ABC] ∽[△ADE]，∴[ABAD=BCDE]， ∵[∠BAC=90°]，∴[BC=AB2+AC2=52+122=13]，∴[5AD=13DE]，即[DE=135AD]，當[AD⊥BC]時，[AD]最短，此時[DE]最小，∴[12BC·AD=12AB·AC]，[12×5×12=12×13×AD]，∴[AD=6013]，[DE=135×6013=12]，∴[CF=12×12=6]。

在近幾年的各類考試中，考查動點和線段最值相結(jié)合的試題屢見不鮮，且?？汲Ｐ拢瑧鸾處煹母叨戎匾?。由于學生對相關(guān)幾何關(guān)系掌握不到位，導致考試丟分嚴重。教師總結(jié)這一類問題的通性通法，以“靜”制“動”，借助題目的已知條件、所求問題的圖形特征及運動規(guī)律等，靈活地把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件[2]，讓學生能正確地解決這類問題，提高學生的解題效率。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

[1]? 徐欣.基于變式教學的初中動點問題教學策略研究[D].重慶：重慶師范大學，2021.

[2]? 楊煥榮.四邊形中動點問題的求解[J].數(shù)學教學通訊，2012（13）：22-23.

（責任編輯??? 黃春香）