一類特殊矩陣中2矩陣與其和矩陣特征向量關(guān)系

劉海濤 朱宇航

摘 要： 在有干擾的條件下，為從具有正弦波特征的采樣數(shù)據(jù)求取一次諧波系數(shù)，設(shè)計(jì)了濾波程序。通過(guò)對(duì)干擾誤差對(duì)諧波系數(shù)影響機(jī)理的分析，得到了一個(gè)特殊的由三角函數(shù)值構(gòu)成的二階矩陣，矩陣的特征值和特征向量決定了計(jì)算效率，兩個(gè)干擾對(duì)應(yīng)兩個(gè)子矩陣，其和矩陣與子矩陣的特征值及特征向量構(gòu)成了有趣的關(guān)系。一類特殊的，當(dāng)自變量分別為α和β，構(gòu)成2個(gè)矩陣，其和矩陣的特征向量與這2個(gè)矩陣的特征向量呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系。為動(dòng)平衡機(jī)干擾信號(hào)的消除提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 矩陣和特征值 特征向量 濾波 諧波系數(shù)

中圖分類號(hào)： TP18文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 1679-3567（2024）04-0082-04

Relationship Between Matrix 2 and Its Sum Matrix Eigenvectors in a Special Type of Matrix

LIU Haitao1 ZHU Yuhang2

1.Weihai Guangtai Airport Equipment Co.， Ltd.， Weihai， Shandong Province， 264200 China； 2.CAM Ve‐hicle Testing Engineering Research Institute of China， Beijing， 102100 China

Abstract： In the presence of interference， we designed a filtering program to obtain the first harmonic coefficient from sampled data with sine wave characteristics. By analyzing the impact mechanism of interference errors on harmonic coefficients， a special second-order matrix composed of trigonometric function values was obtained. The eigenvalues and eigenvectors of the matrix determine computational efficiency. Two interferences correspond to two sub matrices， and the eigenvalues and eigenvectors of its sum matrix and sub matrices form interesting relationship In a special type of matrix， when independent variables are α and β respectively， two matrices are formed， the eigenvectors of its sum matrix show simple functional relationship with the eigenvectors of the two matrices， which provides a mathematical basis for eliminating the interference signals of dynamic balancing machines.

Key Words： Matrix and Eigenvalues； Eigenvector； Filtering； Harmonic coefficient

動(dòng)平衡機(jī)傳感器的輸出是正弦函數(shù)的采樣值，只有一次諧波，若發(fā)生干擾，將導(dǎo)致諧波系數(shù)產(chǎn)生偏差，而動(dòng)平衡機(jī)最終輸出的動(dòng)不平衡量，是完全依賴諧波系數(shù)計(jì)算得出的[1]，一些針對(duì)正弦波的低通濾波方法[2-3]包括巴特沃斯濾波器[4-5]僅使數(shù)據(jù)平滑，并不能在數(shù)學(xué)上保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確。由于動(dòng)平衡機(jī)旋轉(zhuǎn)一周得到的大量采樣數(shù)據(jù)只計(jì)算出一次諧波系數(shù)這兩個(gè)數(shù)值，數(shù)據(jù)冗余量大且干擾均為脈沖類的窄干擾，針對(duì)此特點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了可保證精度的濾波方法。做迭代運(yùn)算，先求出在干擾條件下的諧波系數(shù)，用此具有誤差的諧波系數(shù)生成正弦波，覆蓋掉干擾區(qū)間的采樣數(shù)據(jù)，得到下一個(gè)級(jí)次的諧波系數(shù)，直至兩次相鄰迭代的諧波系數(shù)足夠接近為止。此方法理論上可達(dá)到任意精度。迭代運(yùn)算主要是矩陣計(jì)算，與計(jì)算矩陣特征值和特征向量的乘冪法[6]相似，較好地解決了脈沖干擾問(wèn)題。本文分析了雙脈沖迭代矩陣的特征值和特征向量，為濾波軟件的設(shè)計(jì)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

1 矩陣的來(lái)源

2 特征值和特征向量的計(jì)算

其和矩陣特征向量自變量為構(gòu)成和矩陣的2個(gè)矩陣特征向量對(duì)應(yīng)三角函數(shù)自變量的算數(shù)平均值，這是一個(gè)有趣的結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者曾用本文方法對(duì)動(dòng)平衡機(jī)傳感器進(jìn)行信號(hào)分析，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，提出了一種基于矩陣迭代計(jì)算的濾波方法，通過(guò)對(duì)迭代過(guò)程矩陣特征值和特征向量的分析，為迭代算法和加速算法的設(shè)計(jì)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)表明：濾波后得到的諧波系數(shù)確實(shí)具有數(shù)學(xué)精度，加速算法的設(shè)計(jì)使得迭代的收斂速度滿足了現(xiàn)場(chǎng)的要求。本文方法為正弦波類信號(hào)的濾波提供了一種選擇。

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