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    數(shù)學(xué)問題解答

    2019-04-09 05:30:02楊續(xù)亮
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年2期
    關(guān)鍵詞:瓦爾特共圓正數(shù)

    2019年1月號(hào)問題解答

    (解答由問題提供人給出)

    (湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀斌 龔為民 441700)

    (1)

    (2)

    因?yàn)?/p>

    2462已知 如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E.點(diǎn)M1、M2在OC上,且CM1=OM2.直線AM1、AM2分別交⊙O于點(diǎn)N1、N2.求證:

    S△DCN1·S△DCN2=S△DBN1·S△DBN2.

    (北京市芳草地國(guó)際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

    證明如圖,連接AC,設(shè)AN1、AN2分別與BC交于點(diǎn)F1、F2,△ACN1邊AN1上的高為h1,△ABN1邊AN1上的高為h2(即BN1).

    (Ⅰ)

    (Ⅱ)

    因?yàn)镃M1=OM2,

    所以CM2=OM1.

    又AB為⊙O的直徑,AO為⊙O的半徑.

    (Ⅲ)

    因?yàn)锳、C、N1、B四點(diǎn)共圓,

    所以∠ACN1+∠ABN1=180°.

    所以sin ∠ACN1=sin ∠ABN1.

    (Ⅳ)

    同理可證

    (Ⅴ)

    由(Ⅳ)×(Ⅴ)得

    (Ⅵ)

    易證Rt△ABC∽R(shí)t△DBE.

    (Ⅶ)

    由(Ⅵ)和(Ⅶ)得

    所以(DC·CN1)(DC·CN2)

    =(DB·BN1)(DB·BN2).

    因?yàn)镃、D、B、N1四點(diǎn)共圓,

    所以sin ∠DCN1=sin ∠DBN1.

    同理可證sin ∠DCN2=sin ∠DBN2.

    所以S△DCN1·S△DCN2=S△DBN1·S△DBN2.

    2463設(shè)a,b,c>0,求證:

    (陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

    證明由a,b,c>0知,(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)中,至多有一個(gè)是非正數(shù).

    當(dāng)(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)中,有一個(gè)是非正數(shù)時(shí),所要證的不等式(記為(*))顯然成立;

    當(dāng)(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)都是正數(shù)時(shí),a,b,c構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

    因?yàn)?ab+bc+ca)(a+b+c)≥9abc,

    于是,要證明不等式(*),只要證明

    (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).(**)

    應(yīng)用三角形面積公式

    知,不等式(**)等價(jià)于

    a2+b2+c2≤9R2.

    其中,R是三角形的外接圓半徑,這是常見的不等式,故原不等式獲證.

    2464△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC、CA相切于D、E,連AD,AD與圓O又交于P,連BP,CP.求證:∠BPC=90°的充要條件是AE+AP=PD.

    (江蘇無錫市第一中學(xué) 李廣修 214031)

    解如圖,設(shè)AB切圓O于F,由切線長(zhǎng)定理,

    可設(shè)AE=AF=x,CD=CE=y,BD=BF=z,

    又設(shè)AP=λAE,則AP=λx,

    由切割線定理,得AE2=AP·AD,

    D在邊BC上,對(duì)于△ABC,由斯特瓦爾特定理,

    得AB2·CD+AC2·BD

    =AD2·BC+BD·CD·BC,

    將AB=AF+BF=x+z,CD=y,

    BC=BD+CD=y+z,

    代入上式,得(1-λ2)(xy+xz)=4λ2yz,

    同理,P在邊AD上,對(duì)于△ABD和△ACD,由斯特瓦爾特定理,

    得BP2=z2+2(1-λ2)xz和

    CP2=y2+2(1-λ2)xy,

    從而,由勾股定理和勾股定理逆定理,

    ?(1-λ2)(xy+xz)=yz?4λ2yz=yz

    證畢.

    (山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) 宋志敏 256600)

    證明首先證明不等式

    (1)

    成立.事實(shí)上,利用H?lder不等式,可知

    (2)

    所以要證(1)成立,只需證明

    再次利用H?lder不等式,可知

    所以(1)成立.因此要證問題成立,利用(1),只需證明

    (3)

    利用Cauchy不等式可知

    2019年2月號(hào)問題

    (來稿請(qǐng)注明出處——編者)

    (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

    (貴州省織金縣第六中學(xué) 鄧波 552100)

    2468設(shè)不同的兩點(diǎn)E,F(xiàn)在梯形ABCD的腰AB上, 且滿足∠CED=∠CFD=∠ABC= 90°,在另一腰CD上求點(diǎn)P,使得AB≤PE+PF≤CD.

    (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

    2469在△ABC中,設(shè)三邊a,b,c上對(duì)應(yīng)的高、角平分線、中線、旁切圓半徑分別為ha,hb,hc;ta,tb,tc;ma,mb,mc;ra,rb,rc,∑表示循環(huán)和,求證:

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

    (安徽省岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 246620)

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