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    關(guān)于橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題的探究與思考

    2024-07-05 00:00:00邱富金

    [摘 要] 蝴蝶模型在解析幾何中十分常見(jiàn),開(kāi)展模型解讀、挖掘模型本質(zhì)、總結(jié)模型問(wèn)題十分必要. 文章以橢圓中的蝴蝶模型為例,開(kāi)展模型深度探究,并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,提出教學(xué)建議.

    [關(guān)鍵詞] 解析幾何;蝴蝶模型;特征;考點(diǎn);解法

    蝴蝶模型解讀

    蝴蝶模型是解析幾何的重點(diǎn)模型,從外形來(lái)看,模型形如兩個(gè)三角形對(duì)頂角相接,因形似蝴蝶的翅膀,故稱(chēng)為蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析幾何中十分常見(jiàn),是幾何與函數(shù)相結(jié)合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征,總結(jié)模型結(jié)論. 下面探究橢圓中的蝴蝶模型.

    1. 蝴蝶模型

    在圖1所示的☉O中,△CFM和△DEM有共頂點(diǎn)M,兩三角形的其他頂點(diǎn)F,C,D,E位于☉O上. 蝴蝶模型中隱含著相應(yīng)定理,即蝴蝶定理:點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn),兩條弦CD和EF過(guò)點(diǎn)M,連接DE,CF,與AB分別相交于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn).

    2. 本質(zhì)探究

    高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多見(jiàn),常將蝴蝶模型與解析幾何相結(jié)合,對(duì)其賦予“數(shù)”與“形”的特征.

    蝴蝶模型背景下的橢圓綜合題中,注重考查直線與橢圓的位置關(guān)系. 該類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)上是研究橢圓的內(nèi)接四邊形,即兩對(duì)接三角形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形. 其中形如蝴蝶的四邊形通常由橢圓的兩條相交弦來(lái)構(gòu)建. 在實(shí)際問(wèn)題中,并不會(huì)直接給定弦,而是設(shè)定兩條弦過(guò)定點(diǎn),或由某固定線的斜率來(lái)確定.

    橢圓問(wèn)題常圍繞蝴蝶模型來(lái)構(gòu)建,基于相交弦設(shè)定問(wèn)題,如定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、斜率問(wèn)題等. 在具體求解時(shí),注意分析模型特征,充分利用蝴蝶定理來(lái)推導(dǎo)條件,通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析轉(zhuǎn)化.

    典例探究

    橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題多樣,常見(jiàn)的有定點(diǎn)定值問(wèn)題、斜率問(wèn)題、弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題等. 下面結(jié)合實(shí)例具體探究,總結(jié)方法策略.

    1. 蝴蝶模型中的定點(diǎn)問(wèn)題

    例1 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓O:x2+y2=9,Q是圓O上任意一點(diǎn),Q在x軸上的投影是點(diǎn)Q′,點(diǎn)P滿足=,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

    (1)求曲線E的方程;

    (2)若A(-3,0),B(3,0),過(guò)直線x=9上任意一點(diǎn)T(不在x軸上)作兩條直線TA,TB與曲線E分別相交于點(diǎn)C(x,y),D(x,y)(異于點(diǎn)A和B),求證:直線CD過(guò)定點(diǎn).

    解析 本題為橢圓綜合題,問(wèn)(2)中的弦AB與CD相交于點(diǎn)K,構(gòu)成了蝴蝶模型,可將其歸為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題.

    (1)該問(wèn)求曲線E的方程,設(shè)點(diǎn)P(x,y),Q(x,y),由=推知x=x,y=y,將其代入方程x+y=9,可得+=1. 所以,曲線E的方程為+=1.

    (2)該問(wèn)求證直線CD過(guò)定點(diǎn),可根據(jù)韋達(dá)定理,采用“整體代換”的方法解析,具體如下:

    設(shè)直線CD的方程為x=my+t(t≠0),與橢圓+=1聯(lián)立,并整理得(5m2+9)y2+10mty+5t2-45=0,由韋達(dá)定理得y+y=,yy=,Δ=180(5m2+9-t2)>0.

    利用點(diǎn)坐標(biāo)表示蝴蝶模型中兩條弦所在直線的解析式,則AC:y=(x+3),當(dāng)x=9時(shí),y=;BD:y=(x-3),當(dāng)x=9時(shí),y=. 所以,=,化簡(jiǎn)得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t(y+y)=②. 綜合①和②可得

    x

    y=

    +2

    y+

    +1

    y2,

    x

    y=

    -2

    y+

    -1

    y2.在直線CD的方程y-y=(x-x)中,令y=0,則x==. 分析可知,當(dāng)

    -4

    +

    -2

    =0,即t=1時(shí),直線CD過(guò)定點(diǎn)(1,0).

    評(píng)析 上述為蝴蝶模型中的定點(diǎn)問(wèn)題,解析時(shí)把握模型特征,采用傳統(tǒng)的待定系數(shù)法來(lái)代換簡(jiǎn)化. 問(wèn)題解析有兩大關(guān)鍵點(diǎn):一是把握蝴蝶模型中的兩條特殊弦,結(jié)合相關(guān)點(diǎn)分設(shè)直線方程;二是靈活構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式方程,形成對(duì)應(yīng)的方程組,巧妙化簡(jiǎn)求解.

    2. 蝴蝶模型中的斜率比值問(wèn)題

    例2 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F(xiàn),M在橢圓C上,△MFF的周長(zhǎng)為2+4,其面積的最大值為2,試解決下列問(wèn)題.

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)直線y=kx(k>0)與橢圓C相交于A和B,連接AF,BF,并延長(zhǎng)交橢圓C于D和E,連接DE,則AB與DE的斜率之比是否為定值?說(shuō)明理由.

    解析 本題為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題,其中△ABF和△DEF共頂點(diǎn)F,由橢圓的兩條相交弦構(gòu)建.

    題設(shè)兩問(wèn),第(1)問(wèn)求橢圓C的方程,轉(zhuǎn)化△MFF的周長(zhǎng)和面積最值條件即可求出橢圓方程的特征參數(shù). 第(2)問(wèn)是關(guān)于蝴蝶模型中兩條關(guān)鍵弦的斜率之比的問(wèn)題,探索其值是否為定值,可采用“設(shè)而不求”“整體代換”的方法構(gòu)建斜率之比.

    (1)已知△MFF的周長(zhǎng)為2+4,則

    F

    F+

    MF+

    MF=2a+2c=2+4,其最大面積S=·2c·b=bc=2,解得a=,b=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.

    (2)第一步,設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo):設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-x,-y).

    第二步,構(gòu)建方程:推得直線AD的方程為x=y+2,將其代入橢圓C的方程,整理得[(x-2)2+5y]y2+4(x-2)yy-y=0①. 又+y=1,代入方程①,化簡(jiǎn)得(9-4x)y2+4(x-2)yy-y=0.

    第三步,斜率推導(dǎo):設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y),則yy=,所以y=,x=y+2.直線BE的方程可以表示為x=y+2,同理可得y=,x=y+2. 所以,直線DE的斜率為k===9·=9k,即k∶k=9∶1.

    評(píng)析 上述蝴蝶模型中的斜率比值問(wèn)題,屬于解析幾何中的斜率問(wèn)題,探究解析時(shí)關(guān)注模型特點(diǎn),采用“設(shè)而不求”“整體代入”的方法簡(jiǎn)化斜率比值. 問(wèn)題突破有兩大關(guān)鍵點(diǎn):一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置關(guān)系,推導(dǎo)所在直線的方程;二是充分利用類(lèi)比推導(dǎo)簡(jiǎn)化的方法,整體代入化簡(jiǎn)直線斜率比值.

    實(shí)際上,可推廣上述橢圓蝴蝶模型中的直線斜率比值結(jié)論,在求解相應(yīng)問(wèn)題時(shí)直接使用. 具體如下:

    如圖4所示,在橢圓C:+=1(a>b>0)中,其左、右頂點(diǎn)為A,B,橢圓C的弦PQ過(guò)定點(diǎn)M(t,0),則k·k=

    3. 蝴蝶模型中的弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題

    例3 如圖5所示,已知橢圓E:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P

    ,

    在橢圓E上.

    (1)求橢圓E的方程;

    (2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A和B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)C和D,求證:MA·MB=MC·MD.

    解析 本題同樣為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題,橢圓的兩條弦CD和AB構(gòu)成蝴蝶模型. 本題第(2)問(wèn)為核心之問(wèn),求證弦長(zhǎng)之間的關(guān)系,涉及四條弦,探究解析可采用“聯(lián)立方程”“整體代換”的策略,即設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),推導(dǎo)線段的長(zhǎng),再整理化簡(jiǎn).

    (1)把握幾何特征,可得a=2b,再結(jié)合P

    在橢圓E上,可得橢圓E的方程為+y2=1.

    (2)設(shè)直線l的方程為y=x+m (m≠0),點(diǎn)A(x,y),B(x,y),聯(lián)立直線與橢圓的方程,有

    y=x+m,

    +y2=1,整理得x2+2mx+2m2-2=0. 結(jié)合韋達(dá)定理得x+x=-2m,xx=2m2-2,且Δ=4(2-m2)>0,可知參數(shù)m的取值范圍為(-,). 由點(diǎn)M的坐標(biāo)

    -m,

    推得直線OM的方程為y=-x,與橢圓的方程聯(lián)立,有

    y=-x,

    x2+4y2-4=0,可得點(diǎn)C

    -,

    ,D

    ,-

    . 結(jié)合點(diǎn)的距離公式得MC·MD=(-m+)·(m+)=(2-m2),MA·MB=AB2=(x+x)2-xx=(2-m2),所以MA·MB=MC·MD,得證.

    評(píng)析 上述蝴蝶模型中的弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題,證明弦長(zhǎng)乘積相等. 解析采用的是“聯(lián)立方程”“整體代換”的策略,即設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程,借助韋達(dá)定理推導(dǎo)參數(shù)條件,將弦長(zhǎng)乘積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題. 問(wèn)題解析有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是挖掘其中的隱含模型,即蝴蝶模型,把握模型中的兩條弦的特點(diǎn);二是聯(lián)立方程,設(shè)而不求,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

    教學(xué)思考

    上述深入探究了橢圓中的蝴蝶模型,剖析模型特征,結(jié)合實(shí)例探究常見(jiàn)問(wèn)題,并探索解題過(guò)程,總結(jié)破題關(guān)鍵點(diǎn). 下面對(duì)教學(xué)探究提出幾點(diǎn)建議.

    1. 解析模型特征,挖掘模型本質(zhì)

    蝴蝶模型是高中幾何中常見(jiàn)的模型,教學(xué)探究要注意模型特征的解析,挖掘模型本質(zhì),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本質(zhì)挖掘-考點(diǎn)探究”來(lái)開(kāi)展,探究過(guò)程具有連貫性、系統(tǒng)性,循序漸進(jìn)、逐步深入. 教學(xué)時(shí)需要注意兩點(diǎn):一是模型解析中的數(shù)形結(jié)合,即探究時(shí)結(jié)合直觀的模型圖象,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其幾何特征;二是挖掘本質(zhì)立足知識(shí)考點(diǎn),即引導(dǎo)學(xué)生挖掘、理解模型的本質(zhì),掌握對(duì)應(yīng)的知識(shí)考點(diǎn).

    2. 關(guān)注模型考點(diǎn),總結(jié)解題方法

    教學(xué)時(shí)教師要深入剖析模型的知識(shí)重點(diǎn),圍繞模型開(kāi)展考點(diǎn)探究,精選問(wèn)題,總結(jié)解題方法. 上述蝴蝶模型的探究,圍繞三大典例問(wèn)題開(kāi)展,分析了定點(diǎn)問(wèn)題、斜率比值問(wèn)題、弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題的破解思路,總結(jié)了相應(yīng)的解題方法. 教學(xué)引導(dǎo)時(shí)要注意兩點(diǎn):一是解題過(guò)程中的思維引導(dǎo),即引導(dǎo)學(xué)生思考,鍛煉學(xué)生思維能力;二是解法的歸納總結(jié),即開(kāi)展解后反思,讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)問(wèn)題,掌握解題策略.

    3. 滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升學(xué)生綜合素養(yǎng)

    模型問(wèn)題的探究教學(xué)要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法,以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 以上述蝴蝶模型的探究為例,其涉及了數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)建、方程思想等,教學(xué)可分三個(gè)階段進(jìn)行:第一,講解數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵,引導(dǎo)學(xué)生初步理解數(shù)學(xué)思想方法;第二,結(jié)合模型解析滲透數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法,體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的作用;第三,升華數(shù)學(xué)思想方法,促使學(xué)生獨(dú)立使用數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建解題思路,提升學(xué)生的思維能力.

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