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    巧借問題情境 落實(shí)“三會”目標(biāo)

    2024-07-05 00:00:00童云飛

    [摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得知識,更重要的是要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、掌握數(shù)學(xué)研究方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了促進(jìn)“三會”目標(biāo)的達(dá)成,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)有效的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)問題生活化的過程,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,提高學(xué)生的應(yīng)用能力,落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    [關(guān)鍵詞] 三會;問題情境;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

    新課標(biāo)強(qiáng)調(diào),數(shù)學(xué)教育引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,讓學(xué)生在問題發(fā)現(xiàn)、探索、解決和表達(dá)過程中逐步提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力,讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí). 在教學(xué)中,教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境,使學(xué)生以“發(fā)現(xiàn)者”“探究者”“參與者”“創(chuàng)造者”的身份融于數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作交流逐步把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),提高課堂教學(xué)有效性.

    借助生活經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待問題

    數(shù)學(xué)源于生活,又高于生活. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引入一些學(xué)生熟悉的、感興趣的生活情境,以此有效溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).

    例1 探尋“基本不等式”.

    在本課教學(xué)中,教師不妨創(chuàng)設(shè)有效的問題情境引導(dǎo)學(xué)生親歷知識形成的過程,促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).

    教師可以引入這樣一個情境問題:已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),如果往糖水中繼續(xù)添加m克糖,糖水會發(fā)生怎樣的變化?問題給出后,學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)很容易得到“糖水變甜了”這一結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生順勢思考:在這個現(xiàn)實(shí)生活情境中,你是否發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的身影?你能用一個數(shù)學(xué)式子來表達(dá)蘊(yùn)含其中的數(shù)量關(guān)系并證明它嗎?在問題的引導(dǎo)下,學(xué)生容易提煉出不等式<(b>a>0,m>0). 通過經(jīng)歷上述過程,既為抽象的數(shù)學(xué)式子賦予了鮮活的生命力,又讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)的抽象美、簡約美.

    其實(shí),上述問題情境的價值遠(yuǎn)不止于此,在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步拓展. 例如,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題.

    ①若將3杯甜度相同的糖水混合在一起,糖水會變甜嗎?如何用數(shù)學(xué)式子來表達(dá)?

    ②若將2杯甜度不同的糖水混合在一起,糖水甜度會如何變化?用數(shù)學(xué)式子又該如何表達(dá)?

    ③將2杯甜度不同的糖水混合在一起,糖水的混合濃度與其平均濃度相比,是怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    對于問題①和問題②,學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)苤苯咏o出答案“===(其中a<b,i=1,2,3)”和“<?<<(其中a<b,i=1,2)”. 而對于問題③,是挑戰(zhàn)性結(jié)論——比較

    +

    與(其中a<b,i=1,2)的大小.

    這樣從學(xué)生熟悉的問題情境出發(fā),通過對問題拓展延伸,不僅能拓寬學(xué)生的視野,還能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識,讓數(shù)學(xué)課堂更具生機(jī)和活力.

    關(guān)注數(shù)學(xué)理解,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題

    數(shù)學(xué)是一種抽象的思維活動,為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識,教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)生活實(shí)際問題,以此通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言與生活實(shí)際的聯(lián)系,來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

    例2 認(rèn)真分析以下三件事,說一說它們分別與圖1中的哪個圖象的吻合度最高?剩下的一個圖象,你能否用一件事來表述?

    (1)周一早晨,我剛離開家,發(fā)現(xiàn)胸卡落在了家里,于是我回家取好再上學(xué).

    (2)我離開家后一直勻速向?qū)W校行駛,不過中途遇到一個紅燈耽擱了一些時間.

    (3)今天陽光明媚,我騎著自己的愛車離開家,緩緩加速,向公園行駛.

    問題給出后,學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境很快給出了答案:第(1)件事與圖D對應(yīng),第(2)件事與圖A對應(yīng),第(3)件事與圖B對應(yīng). 接下來,學(xué)生給出許多精彩的事件來表達(dá)圖C. 例如,今天離開家的時間較早,路上的時間比較充裕,我緩緩減速行駛,欣賞路上的美景.

    例3 構(gòu)建一個問題情境,使其中變量關(guān)系能用二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2(a>0)來描述.

    在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下,學(xué)生結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)“還原”解析式,有的學(xué)生聯(lián)想到自由落體運(yùn)動:物體自由落體的運(yùn)動規(guī)律是h=gt2(下落高度h是下落時間t的函數(shù));有的學(xué)生聯(lián)想到直角三角形的面積:對于給定銳角A的Rt△ABC,令Rt△ABC的面積為S,角A與直角的夾邊長為x,則S=x2tanA. 通過經(jīng)歷問題情境的建構(gòu)過程,不僅加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解,還增強(qiáng)學(xué)生的建模意識.

    這樣引導(dǎo)學(xué)生用圖形、數(shù)學(xué)表達(dá)式來刻畫現(xiàn)實(shí)問題,通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)語言的“抽象”與“還原”,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題,以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    重視數(shù)學(xué)探究,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)問題

    “用數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)和落腳點(diǎn),教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)問題,以通過“用數(shù)學(xué)”來感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價值,調(diào)動學(xué)習(xí)動機(jī).

    例4 如圖2所示,小島與海岸線最近的點(diǎn)P的距離是2 km,點(diǎn)P的正東方向12 km處有一小城鎮(zhèn).

    (1)某人從小島出發(fā),先是駕駛小船以3 km/h的速度到達(dá)岸邊,然后以5 km/h的速度步行到達(dá)城鎮(zhèn). t(單位:h)表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間,x(單位:km)表示小船??刻幣c點(diǎn)P的距離. 請將t表示為x的函數(shù),并寫出其定義域.

    (2)若小船??刻幍近c(diǎn)P的距離是4 km,則他從小島到城鎮(zhèn)需要多少時間?(精確到小時)

    解題時可以引導(dǎo)學(xué)生將圖2抽象成圖3,以便學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)問題. 設(shè)點(diǎn)A為城鎮(zhèn),點(diǎn)B為小島,點(diǎn)C為小船??康奈恢? 將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題后,學(xué)生很容易寫出函數(shù)t(x)=+(0≤x≤12). 當(dāng)x=4時,t≈3(h). 其實(shí),對于該問題的探究不能局限于此,在此基礎(chǔ)上,教師還可提出以下幾個問題.

    問題1 當(dāng)船停靠在何處時,最省時?

    學(xué)生通過思考、探索、交流,求導(dǎo)得t′(x)=-=. 由此可知,t(x)在區(qū)間

    0,

    內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間

    ,12

    內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)船??吭诰郟點(diǎn)1.5 km處時,最省時.

    問題2 如果步行速度和小船速度相同,均為3 km/h,此時函數(shù)t(x)=+(0≤x≤12)的最小值是什么?

    若解題時從單純的函數(shù)性質(zhì)的角度去思考,對于大多數(shù)學(xué)生而言,存在一定難度. 但是將其融于實(shí)際背景,問題就簡單了許多. 觀察圖象,通過思考可知,上述問題的幾何意義為(BC+CA)≥BA,即當(dāng)x=12時,函數(shù)t(x)=+取最小值. 當(dāng)然,對于這一結(jié)論要用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性加以證明,這里不再贅述. 因此[t(x)]=t(12)=.

    問題3 你能根據(jù)問題2的探究經(jīng)驗(yàn),求出t(x)=+的最小值嗎?

    如此設(shè)問,就是從問題的實(shí)際背景出發(fā),利用幾何關(guān)系求函數(shù)的最小值. 由于t(x)=

    +=(BC+AC),若能將AC轉(zhuǎn)化為一條線段的長,問題即可獲解. 將AC轉(zhuǎn)化為一條線段的長,不妨從滿足CD=AC的點(diǎn)D的軌跡入手. 在AP上任選一點(diǎn)C,以點(diǎn)C為圓心,AC為半徑作圓,則圓上所有的點(diǎn)均滿足CD=AC. 通過取不同的點(diǎn)C,可以獲得一組擁有共同切線AH的圓(如圖4所示). 由此,原題可以轉(zhuǎn)化為求BC+CD的最小值. 解題時,教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出圖5所示的簡圖. 至此,原題就轉(zhuǎn)化成了學(xué)生熟悉的問題,最終求得[t(x)]=t

    =.

    在上述探究活動中,教師引導(dǎo)學(xué)生先將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題,然后用數(shù)學(xué)思維去思考和解決現(xiàn)實(shí)問題,讓學(xué)生充分體驗(yàn)直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的魅力,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 在此過程中,教師利用環(huán)環(huán)相扣的問題,引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)與形的聯(lián)系,通過問題解決感悟數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的重要價值,教會學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去思考,用數(shù)學(xué)語言去表達(dá),增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

    總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要提供機(jī)會和時間給學(xué)生從生活實(shí)際中去發(fā)現(xiàn)、去提煉、去應(yīng)用數(shù)學(xué)知識,以此感悟“學(xué)以致用”的本質(zhì),從而提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

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