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    光學(xué)性質(zhì)剖析,實(shí)例探究思考

    2024-07-05 00:00:00陸琪

    [摘 要] 眾多圓錐曲線含有光學(xué)性質(zhì),探究特性、總結(jié)規(guī)律、生成結(jié)論,有助于分析推理圓錐曲線問題. 文章以拋物線為例,探究總結(jié)其光學(xué)性質(zhì)并證明歸納,結(jié)合實(shí)例應(yīng)用探究,提出教學(xué)建議.

    [關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;光學(xué)性質(zhì);拋物線;平行;等角

    眾多圓錐曲線含有光學(xué)性質(zhì),常見的有拋物線、雙曲線、橢圓和圓,其光學(xué)性質(zhì)可廣泛應(yīng)用于問題條件的推導(dǎo),可降低思維難度. 下面以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為例,分三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行探究:環(huán)節(jié)1,引例探究,挖掘特性;環(huán)節(jié)2,特性探究,證明分析;環(huán)節(jié)3,應(yīng)用探究,實(shí)例剖析.

    引例探究

    以拋物線為例,其具有以下光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸. 該特性在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛.

    問題 如圖1所示,從拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a,b分別經(jīng)拋物線上的A,B兩點(diǎn)反射,已知兩條入射光線a,b與x軸的夾角均為60°,且兩條反射光線a′和b′之間的距離為,則p的值為______.

    解析 拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F

    ,0

    . 由于∠OFA=60°,所以直線AF的方程為y-0=-

    x-

    ,即y=-

    x-

    . 聯(lián)立直線AF與拋物線的方程,有

    y=-

    x-

    ,

    y2=2px,整理得3

    x-

    =2px,解得x=或x=,可得A

    ,

    .

    同理直線BF的方程為y-0=·

    x-

    ,即y=

    x-

    . 聯(lián)立直線BF與拋物線的方程,有

    y=

    x-

    ,

    y2=2px,可得B

    ,p

    .

    所以

    y

    -y=p=,解得p=2.

    評(píng)析 上述問題的圖象涉及拋物線的光學(xué)性質(zhì),解析時(shí)可采用聯(lián)立方程求點(diǎn)的方法,確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而推導(dǎo)出特征參數(shù)p的值.

    光學(xué)性質(zhì)探究

    上述引例圍繞拋物線的光學(xué)性質(zhì)構(gòu)建,下面具體探究其光學(xué)性質(zhì),并從幾何、代數(shù)兩大視角出發(fā)加以證明.

    1. 光學(xué)性質(zhì)的描述

    光學(xué)性質(zhì):從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后,反射光線與拋物線的對(duì)稱軸平行,如圖2所示. 反之,平行于拋物線的對(duì)稱軸的光線照射到拋物線上,經(jīng)反射后都通過拋物線的焦點(diǎn).

    2. 光學(xué)性質(zhì)的證明

    (1)幾何證明(以y軸為對(duì)稱軸的拋物線為例)

    根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,其中涉及光線的反射知識(shí),顯然入射角等于反射角,存在幾何等角關(guān)系.

    已知:如圖3所示,拋物線C:x2=2py(p>0),焦點(diǎn)F

    0,

    ,j是過拋物線上一點(diǎn)D(x,y)的切線,A,B是直線j上的兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)D),直線DC平行于y軸. 求證:∠FDA=∠CDB(入射角等于反射角).

    [x][y][m][D′][F] [D][C][B][A][圖3][j][O]

    證明 作拋物線的準(zhǔn)線m:y=-,延長(zhǎng)CD交m于點(diǎn)D′

    x,-

    ,則DF=DD′. 由于C:x2=2py(p>0),可得C:y=. 下面討論x取值下的情況:

    ①當(dāng)x≠0時(shí),直線j的斜率k=,直線FD′的斜率k==-,兩條直線的斜率之積為-1,所以直線j垂直平分線段FD′,則∠FDA=∠D′DA=∠CDB.

    ②當(dāng)x=0時(shí),點(diǎn)D(0,0),此時(shí)直線j為x軸,結(jié)論顯然成立.

    綜上所述,結(jié)論成立.

    (2)代數(shù)證明(以x軸為對(duì)稱軸的拋物線為例)

    根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上,經(jīng)反射后的光線平行于x軸,即斜率為0.

    已知:如圖4所示,拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上的點(diǎn)M處. 求證:經(jīng)反射后的光線平行于x軸.

    證明 設(shè)M

    ,y

    ,過點(diǎn)M的拋物線的切線為l:x=t(y-y)+,入射光線FM的反射光線為MN. 由y2=2px,

    x=t(

    y-y)+

    得y2-2pty+2pty-y=0,故Δ=4p2t2-8pty+4y=0,得t=,所以切線l的斜率k=.

    設(shè)直線l與直線FM的夾角為α,直線MN與直線l的夾角為β,則由tanα=tanβ可得=,所以=,解得k=0,即經(jīng)反射后的光線平行于x軸.

    綜合應(yīng)用

    拋物線的光學(xué)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的特殊內(nèi)容,在實(shí)際考查時(shí)有多種形式,常從知識(shí)綜合角度命題,下面結(jié)合實(shí)例探究其綜合應(yīng)用.

    1. 給定平行距離,探求方程

    例1 光學(xué)是當(dāng)今科技的前沿和最活躍的領(lǐng)域之一,拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出. 今有拋物線C:x2=2py(p>0),一平行于y軸的光線從上方射向拋物線上的點(diǎn)P處,經(jīng)拋物線兩次反射后,又沿平行于y軸方向射出. 已知兩平行光線間的最小距離為8.

    (1)求拋物線C的方程;

    (2)若直線l:y=x+m與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作△ABN,使△ABN的外接圓圓心T的坐標(biāo)為

    3,

    ,求弦AB的長(zhǎng).

    思路分析 本題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景,構(gòu)建直線、三角形,開展綜合探究. 可通過把握其光學(xué)性質(zhì),結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)建思路.

    (1)由題意設(shè)直線PQ的方程為y=kx+(k∈R),然后聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程并整理為二次方程,后續(xù)運(yùn)用韋達(dá)定理得x+x=2pk,xx= -p2. 又兩平行光線間的距離d=

    x

    -x=≥2p,所以2p=8,進(jìn)而求得拋物線C的方程.

    (2)設(shè)A(x,y),B(x,y),A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M(x,y),聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程,把握其中的垂直關(guān)系(MT⊥AB),將其轉(zhuǎn)化為斜率之積等于-1的條件,從而構(gòu)建方程,利用弦長(zhǎng)公式求得結(jié)果.

    過程解析 (1)設(shè)P(x,y),Q(x,y),拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F

    0,

    . 設(shè)直線PQ的方程為y=kx+(k∈R),聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程,有x2=2py,

    y=kx+,整理得x2-2pkx-p2=0. 由韋達(dá)定理得x+x=2pk,xx=-p2,則兩平行光線間的距離d=

    x

    -x=≥2p,所以2p=8,得拋物線C的方程為x2=8y.

    (2)設(shè)A(x,y),B(x,y),A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M(x,y). 聯(lián)立AB與拋物線C的方程,有x2=8y,

    y=x+m,整理得x2-8x-8m=0,則其判別式Δ>0?m>-2. 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x==4,y=4+m. 因?yàn)镸T⊥AB,故k·k=-1,即·1=-1,解得m=. 所以,x2-8x-9=0?x=-1,x=9.由弦長(zhǎng)公式可得AB=

    x

    -x=10.

    評(píng)析 上述問題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景,給定入射光線與出射光線之間的距離,求解拋物線的方程. 問題涉及聯(lián)立方程法、直線與拋物線的位置關(guān)系,以及韋達(dá)定理等知識(shí).

    2. 綜合光學(xué)性質(zhì),探求弦長(zhǎng)

    例2 圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì),這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān). 例如,從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到橢圓上,經(jīng)反射后的光線通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上,經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸. 某市進(jìn)行科技展覽,其中一個(gè)展品就利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),此展品的一個(gè)截面由一條拋物線C和一個(gè)“開了小孔”的橢圓C構(gòu)成(小孔在橢圓的左上方). 如圖6所示,橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對(duì)稱,且拋物線和橢圓的左端點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn),F(xiàn)為橢圓C的焦點(diǎn),同時(shí)F也為拋物線C的焦點(diǎn),橢圓的短軸長(zhǎng)為2,在F處放置一個(gè)光源,其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到F,經(jīng)過的路程為8. 由F發(fā)出的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔,再由拋物線反射后不會(huì)被橢圓擋住.

    (1)求拋物線C的方程;

    (2)若由F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓C上的點(diǎn)P反射后穿過小孔,再經(jīng)拋物線C上的點(diǎn)Q反射后剛好與橢圓相切,求此時(shí)的線段QF的長(zhǎng);

    (3)在(2)的條件下,求線段PQ的長(zhǎng).

    思路分析 本題同樣以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景構(gòu)建模型,融合了拋物線、橢圓、直線等圖形. 本題共三問,分別設(shè)有條件,各問既相互獨(dú)立,又存在一定的聯(lián)系.

    (1)該問求拋物線C的方程,需求出其焦點(diǎn)的坐標(biāo).

    (2)該問設(shè)定光線在拋物線與橢圓中的反射形式,探究線段QF的長(zhǎng),可結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)推導(dǎo)條件. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo),先代入拋物線C的方程求出其坐標(biāo),然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解.

    (3)該問是在第(2)問條件下的進(jìn)一步分析,求線段PQ的長(zhǎng)可分三步:第一,先求出直線QF的斜率,進(jìn)而求出tan∠QFF=-4;第二,結(jié)合∠QFF+∠PFF=π推得tan∠PFF=4,再求出cos∠PFF=;第三,結(jié)合余弦定理求出線段PQ的長(zhǎng).

    過程解析 (1)設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,由題意可知2b=2,4a=8,得b=,a=2,則c==1. 所以,拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0),可得拋物線C的方程為y2=4x.

    (2)因?yàn)楣饩€經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,光線經(jīng)拋物線反射后平行于x軸,所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,故設(shè)Q(x,),代入拋物線C的方程得x=,即Q

    . 又F(1,0),所以

    QF==.

    (3)由第(2)問可知,QF所在直線的斜率為k=-4,即tan∠QFF= -4.結(jié)合∠QFF+∠PFF=π得tan∠PFF=4,∠PFF∈(0,π),所以cos∠PFF=.

    設(shè)

    PF=x,則

    PF=4-x,已知

    F

    F=2. 在△PFF中,由余弦定理可得

    PF2=

    PF2+

    F

    F2-2

    PF·

    F

    F·cos∠PFF. 所以,(4-x)2=x2+4-2x·2·,求得x=. 所以,線段PQ的長(zhǎng)為+=.

    評(píng)析 上述問題涉及拋物線的“光線平行”的性質(zhì),以及橢圓的“光線過焦點(diǎn)”的性質(zhì). 需要利用性質(zhì)推理幾何條件,簡(jiǎn)化解題過程. 對(duì)于其中求弦長(zhǎng)或線段長(zhǎng)的問題,可結(jié)合弦長(zhǎng)公式、解三角形等通過轉(zhuǎn)化求解.

    教學(xué)思考

    上述探究的是拋物線的光學(xué)性質(zhì)在相應(yīng)問題中的綜合應(yīng)用,是對(duì)新課標(biāo)中關(guān)于“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”要求的貫徹. 在教學(xué)探究中,要立足模型,總結(jié)結(jié)論,結(jié)合實(shí)例應(yīng)用分析. 下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

    建議1 注重模型解讀,強(qiáng)調(diào)推理證明.

    教學(xué)中探究拋物線的光學(xué)性質(zhì),建議關(guān)注兩點(diǎn):一是注重模型解讀,即結(jié)合具體的模型來闡述光學(xué)性質(zhì),讓學(xué)生充分理解特性內(nèi)容;二是強(qiáng)調(diào)推理證明,對(duì)于拋物線的光學(xué)性質(zhì),要從幾何與代數(shù)兩大視角開展過程分析、推理證明,讓學(xué)生深刻理解其定理結(jié)論.

    建議2 注重性質(zhì)應(yīng)用,強(qiáng)化思路構(gòu)建.

    利用拋物線的光學(xué)性質(zhì),可直接推理入射光線與出射光線的平行關(guān)系,從而確定直線斜率與角度之間的關(guān)系. 解題時(shí)合理利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)可直接推理?xiàng)l件,簡(jiǎn)化解析過程. 因此,建議教學(xué)中注意拋物線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用講解,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)構(gòu)建思路,掌握和運(yùn)用解題策略.

    建議3 實(shí)例分析探討,適度拓展特性.

    在拋物線的光學(xué)性質(zhì)的教學(xué)探究中,要注意結(jié)合實(shí)例分析探討,并適度拓展特性,從而提升學(xué)生的解題能力. 教學(xué)可分三個(gè)階段:階段1,引例剖析,設(shè)計(jì)常規(guī)問題,讓學(xué)生初步感知光學(xué)性質(zhì);階段2,綜合探究,設(shè)計(jì)綜合性問題,讓學(xué)生強(qiáng)化應(yīng)用光學(xué)性質(zhì);階段3,拓展探究,設(shè)計(jì)拓展性問題(由于眾多圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì),因此可構(gòu)建復(fù)合模型引導(dǎo)學(xué)生拓展探究).

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