山本和藏材積方程參數(shù)特征

摘 要：【目的】山本和藏方程是二元立木材積模型中應(yīng)用最廣泛的模型，山本式的參數(shù)較好地體現(xiàn)了材積三要素之間的關(guān)系，解析推導(dǎo)山本式的結(jié)構(gòu)特征，分析現(xiàn)有山本式材積模型的應(yīng)用現(xiàn)狀，為山本式的理論研究提供了基礎(chǔ)，為精準(zhǔn)測(cè)算林分蓄積量提供了理論依據(jù)?！痉椒ā炕谏奖竞筒胤匠蹋胄螤钪笖?shù)r采用多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)胸高形數(shù)與胸徑和樹高之間的關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，推導(dǎo)山本式參數(shù)的取值范圍。以170個(gè)現(xiàn)有的山本式材積模型參數(shù)為研究對(duì)象，利用方差分析和多重比較Scheffe法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差異化分析，對(duì)比不同地區(qū)及樹種組之間山本式的參數(shù)值?！窘Y(jié)果】1）在h>1.3 m時(shí)，胸高形數(shù)是關(guān)于胸徑和樹高的減函數(shù)，胸高形數(shù)隨著胸徑和樹高的增加而減少。2）山本式的參數(shù)存在取值范圍，且現(xiàn)行的170個(gè)山本式二元材積方程中參數(shù)b取值范圍異常的比例達(dá)5%，參數(shù)c異常的比例達(dá)43%。3）由箱線圖可視化結(jié)果可知，山本式的參數(shù)存在離散值；北方的山本式參數(shù)值跟南方相比較為集中；闊葉樹種的參數(shù)值比針葉樹種的分布更為平均?！窘Y(jié)論】山本式的參數(shù)存在取值范圍，a>0，b<2，c<1。山本式的實(shí)際運(yùn)用中存在很多參數(shù)偏離取值范圍的情況，給材積的預(yù)估帶來了偏差。因此研究山本和藏方程的理論推導(dǎo)，考慮山本式的參數(shù)取值范圍，對(duì)二元材積表的編制、林分蓄積量預(yù)估以及森林資源監(jiān)測(cè)與管理具有重要意義。

關(guān)鍵詞：山本和藏方程；材積三要素；立木材積；偏導(dǎo)數(shù)；方差分析

中圖分類號(hào)：S758 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-923X（2024）04-0075-09

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（32271874）。

Characterisation of the parameters of the Yamamoto-Kazuhide volume equation

WANG Danyi1， BIAN Gengzhan2， YI Xuan3， LYU Yong1

（1. College of Forestry， Central South University of Forestry Technology， Changsha 410004， Hunan， China； 2. Forestry Resources Survey， Monitoring and Evaluation Center of Hunan Province， Changsha 410004， Hunan， China； 3. Qingyanghu State Owned Forest Farm， Changsha 410600， Hunan， China）

Abstract：【Objective】Among the standard volume models， the Yamamoto-Kazuhide equation was the most frequently used， the Yamamoto-Kazuhide equation’s parameters precisely reflected the correlation between the three elements of volume， this study aimed to analytically deduce the structural features of the Yamamoto-Kazuhide equation and investigate the current status of the applications of the existing Yamamoto-Kazuhide equation models， which created the foundation for the study of the Yamamoto-Kazuhide equation theoretically and as a theoretical basis for precisely measuring stand volume.【Method】Based on the Yamamoto-Kazuhide equation， the relationship equation between the breast-height form factor， diameter at breast height， and tree height was derived using the approach of partial derivatives of multivariate functions and the shape index r. combined with the Bisection method to find the zero point of the function， and to deduce the range of values of the parameters of the Yamamoto-Kazuhide equation. The 170 existing YamamotoKazuhide equation volume model parameters were used as the research object， and the data were differentiated using ANOVA and multiple comparison Scheffe method to compare the parameter values of Yamamoto-Kazuhide equation between different regions and tree species groups.【Result】1） When h>1.3 m， the breast-height form factor was a decreasing function of diameter at breast height and tree height， and the breast-height form factor decreases with increasing diameter at breast height and tree height. 2） The YamamotoKazuhide equation had parameter ranges， and the existing 170 Yamamoto-Kazuhide binary equations exhibit anomalied in the parameter b range of values in 5% of cases and the parameter c range of values in 43% of cases. 3） The Box-plot visualization result showed that the parameters of the Yamamoto-Kazuhide equation had discrete values， and the parameter values in the northern regions were more concentrated compared to those in the southern regions； the parameter values of broad-leaved tree species were more evenly distributed than those of coniferous tree species.【Conclusion】The parameters of the Yamamoto-Kazuhide equation have a range of values： a>0， b<2， c<1. The practical application of the Yamamoto-Kazuhide equation has many parameters deviating from the range of values， which brings bias to the estimation of timber volume. Therefore， it is of great significance to study the theoretical derivation of the Yamamoto-Kazuhide equation and to consider the range of values of the parameters of the Yamamoto-Kazuhide equation for the compilation of the standard volume tables， estimation of stand volume， and monitoring and management of forest resources.

Keyword： the Yamamoto-Kazuhide equation； three elements of volume； stem volume； partial derivative； ANOVA

二元材積模型是根據(jù)林木胸徑和樹高兩個(gè)因子確定樹干材積的回歸模型，通過胸徑和樹高的雙因素控制，能有效地提升精度，是我國(guó)最常用的林業(yè)數(shù)表。利用二元材積模型計(jì)算林分蓄積能提高實(shí)際調(diào)查中的工作效率。在眾多二元材積方程中，山本和藏方程因其運(yùn)用簡(jiǎn)便且在實(shí)踐中適用度高的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用[1]。二元立木材積方程在實(shí)踐中的應(yīng)用誤差大小和效率的高低，不僅與其兩個(gè)解釋變量的選擇有關(guān)，而且與變量的體現(xiàn)形式和模型參數(shù)是否可變有關(guān)。山本式的模型參數(shù)具有可解釋性，其冪函數(shù)的形式體現(xiàn)了干形隨胸徑和樹高的變化規(guī)律，能較好地體現(xiàn)構(gòu)成材積三要素之間的關(guān)系[2]。

自20世紀(jì)60年代我國(guó)開始編制二元立木材積表以來，相關(guān)研究大多選擇山本和藏材積方程對(duì)各區(qū)域的樣木數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。由農(nóng)林部[3]組織編制并頒布實(shí)施的全國(guó)56個(gè)大范圍的二元材積表就是以山本式為基礎(chǔ)模型編制而成的。駱期邦等[4]指出，根據(jù)山本式基礎(chǔ)模型建立的可變參數(shù)材積動(dòng)態(tài)模型不僅可以顯著提高精度，保證參數(shù)的可解釋性，而且還能解決多項(xiàng)式和分段擬合帶來的參數(shù)變異系數(shù)大和模型的不穩(wěn)定的問題?？梢钥闯?，現(xiàn)階段關(guān)于山本和藏方程的研究主要集中于建模應(yīng)用方面[5-9]，旨在解決擬合精度和模型性能提升的問題。

關(guān)于山本式的研究與實(shí)踐應(yīng)用雖十分豐富，但針對(duì)山本式理論層面的推導(dǎo)研究卻寥寥無幾，這也使得許多研究人員在使用此式時(shí)都忽視了山本式參數(shù)的取值范圍。根據(jù)山本式參數(shù)結(jié)果，一般胸徑的指數(shù)近似2，樹高的指數(shù)近似1，二者指數(shù)的和近似于3[10]。然而在目前現(xiàn)行公開頒布的部分以山本式建立的二元材積模型中，由于測(cè)量誤差或沒有剔除異常數(shù)據(jù)就進(jìn)行編表等種種原因，出現(xiàn)了許多參數(shù)b遠(yuǎn)偏離2、c遠(yuǎn)偏離1的情況。因此，為更好地貼合山本式參數(shù)的生物學(xué)意義，合理使用山本和藏方程，減小立木材積的預(yù)估誤差。本研究從理論層面進(jìn)行了山本和藏方程的結(jié)構(gòu)分析，選定170個(gè)公開發(fā)表的山本式的參數(shù)為研究對(duì)象，分析各參數(shù)的分布，以期為山本式的理論研究提供依據(jù)。此外，研究山本式的理論推導(dǎo)對(duì)林業(yè)數(shù)表的編制、林分蓄積量的準(zhǔn)確預(yù)估及森林資源監(jiān)測(cè)與管理具有重要意義。

1 材料與方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

1.2 研究方法

1.2.1 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

以二元函數(shù)z=f（x，y）為例，如果只有自變量x變化，而自變量y固定（即看作常量），這時(shí)函數(shù)就是x的一元函數(shù)，此函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)z=f（x，y）對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)[15]。

1.2.2 二分法

二分法即對(duì)于定義域[m，n]上連續(xù)不斷且f（m）·f（n）<0的函數(shù)y=f（x），通過不斷迭代的方式把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，不斷減小函數(shù)的解區(qū)間使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法[16]。

使用R語(yǔ)言的Bisection_method函數(shù)對(duì)方程進(jìn)行求解，定義數(shù)值“m”和“n”作為解域的邊界，使用一個(gè)While循環(huán)來進(jìn)行二分法的迭代過程，直到滿足收斂條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)。在每次迭代中，計(jì)算當(dāng)前解域的中點(diǎn)‘0’，然后根據(jù)方程在‘m’和‘0’處的取值來更新解域的邊界，檢查方程在給定解域內(nèi)是否有解。

1.2.3 方差分析

方差分析是一種常用來比較多組間試驗(yàn)結(jié)果均值差異的統(tǒng)計(jì)分析方法，基于一個(gè)總體被分成若干組的假設(shè)，通過比較組內(nèi)變異與組間變異的大小來判斷組間均值是否存在顯著差異。方差分析要求數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性、方差齊性和獨(dú)立性的假設(shè)前提。Scheffe檢驗(yàn)是一種多重比較方法，用于在進(jìn)行方差分析后確定不同處理組之間的差異是否顯著，適用于本研究各組樣本容量不同的情況[17]。

基于R 4.2.3軟件，采用方差分析、多重比較Scheffe檢驗(yàn)法并結(jié)合箱線圖的方法將數(shù)據(jù)可視化，探討地區(qū)及樹種分類因子對(duì)山本式參數(shù)值的影響。

2 結(jié)果與分析

2.1 山本和藏方程的簡(jiǎn)介

山本和藏方程中胸徑樹高與其指數(shù)的關(guān)系可得，二元立木材積變化規(guī)律的研究，實(shí)質(zhì)上是干形隨胸徑和樹高變化規(guī)律的研究[2]。

2.2 山本和藏方程的結(jié)構(gòu)特征分析

山本式的優(yōu)越之處不僅在于其參數(shù)簡(jiǎn)便，且其參數(shù)可以直觀反映林木干形隨胸徑和樹高的變化，即在山本式中胸徑和樹高的指數(shù)與形數(shù)的改變相關(guān)。

由方差分析（表2）可知，參數(shù)a、b、c與b、c之和的值中，參數(shù)a的平方和（Sq）和均方值（Mq）最小，參數(shù)a的F值最大，4個(gè)參數(shù)中只有參數(shù)a的數(shù)值為顯著性影響。

通過Scheffe法進(jìn)行事后多重比較檢驗(yàn)以及使用箱線圖（圖1）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化可得，參數(shù)a中，4組的數(shù)值差異并不顯著。異常值較多，且?guī)缀醵计蟆?shù)a數(shù)值大小為：南方>北方，針葉>闊葉。從箱型的寬度（Interquartile range，IQR）可以看出，北方的參數(shù)a的值比南方的波動(dòng)要小，南方闊葉樹組的離散程度最大。從中位數(shù)可以看出，北方闊葉樹組的數(shù)據(jù)分布最平均，北方針葉樹組和南方闊葉樹組中位數(shù)靠前，說明較大值的數(shù)據(jù)占比大，南方針葉樹組較小值的參數(shù)占比大。

分析參數(shù)b（圖1b）可得，每組的數(shù)值差異不顯著。參數(shù)b數(shù)值大小為：闊葉>針葉。從IQR可以看出，北方的數(shù)值比南方的要集中，南方的數(shù)值較為離散，北方針葉樹組的波動(dòng)程度最小。觀察中位數(shù)可得，參數(shù)b的數(shù)值在北方分布較為均勻，南方組中數(shù)值較大的參數(shù)占比略大。

由參數(shù)c（圖1c）可知，參數(shù)c在每組中的數(shù)值差異不明顯。由中位數(shù)的位置可以看出，4組的數(shù)值都分布得較為均勻。由IQR可得，北方針葉樹組的數(shù)據(jù)分布尤為集中，南方闊葉樹組的數(shù)據(jù)分布略為離散。

根據(jù)參數(shù)b+c（圖1d）可得，4組的數(shù)值差異不大，南方闊葉樹組無異常值出現(xiàn)。由中位數(shù)在圖中的位置可知，闊葉組的數(shù)據(jù)分布比較平均，針葉組的較大值數(shù)據(jù)占比較多。北方闊葉樹組數(shù)據(jù)分布最為集中，南方闊葉樹組數(shù)據(jù)分布最為離散。

由圖1可總結(jié)參數(shù)a、b、c分布的一個(gè)共同規(guī)律，4組間的差異并不顯著。北方闊葉樹組的數(shù)據(jù)分布最為平均；北方的模型參數(shù)數(shù)值較為集中，數(shù)值范圍比南方的模型??；闊葉樹種的參數(shù)值與針葉樹種的相比分布更為平均。

3 結(jié)論與討論

3.1 討 論

山本和藏方程在實(shí)踐中能較好地利用樣木數(shù)據(jù)信息，對(duì)材積的預(yù)估效果較好，因此關(guān)于構(gòu)建山本式材積模型的研究相當(dāng)豐富。Ramazan等[18]在使用雙重評(píng)價(jià)方案對(duì)18個(gè)模型進(jìn)行預(yù)估后得出山本式的擬合統(tǒng)計(jì)量最優(yōu)，在相對(duì)秩和殘差值中均表現(xiàn)最好。將相容性山本和藏方程與胸徑和地徑一元立木材積方程、樹高胸徑回歸模型及地徑胸徑回歸模型聯(lián)立方程組，僅使用基礎(chǔ)模型就取得了良好的效果[19]。山本式不僅擬合材積的效果良好，且參數(shù)均具有生物學(xué)意義。因此如何改良山本式使其擬合效果更好成為了林業(yè)研究人員不斷研究的課題[20-21]。由于胸徑與樹高的變化率不同，傳統(tǒng)山本式在小徑階和大徑階范圍里擬合偏差較大，駱期邦等[4]在山本式的基礎(chǔ)上，通過分別研究胸徑、樹高與其指數(shù)的相關(guān)關(guān)系，構(gòu)建了能根據(jù)變化率不同的胸徑和樹高、相應(yīng)變化的形數(shù)的可變參數(shù)山本模型，該動(dòng)態(tài)模型的各種指標(biāo)均優(yōu)于其他多項(xiàng)式和分段擬合模型。但山本式在豐富的實(shí)踐應(yīng)用中也出現(xiàn)了一些問題，如參數(shù)取值偏離一般規(guī)律，雖模型總體評(píng)價(jià)指標(biāo)較好但在部分區(qū)段出現(xiàn)了大的擬合偏差。

本研究對(duì)山本式參數(shù)應(yīng)用范圍進(jìn)行理論推導(dǎo)的結(jié)果表明：a>0，b<2，c<1。與收集的模型參數(shù)對(duì)照發(fā)現(xiàn)，本研究收集的170個(gè)各地構(gòu)建的二元材積模型中，許多模型部分參數(shù)值與取值范圍偏離甚遠(yuǎn)，出現(xiàn)了參數(shù)b>2、c>1的情況，分別占總數(shù)的5%和43%。方差分析和箱線圖的研究結(jié)果顯示，南方與北方、針葉樹種與闊葉樹種之間存在細(xì)微差異。北方的參數(shù)值和南方相比較為集中；闊葉樹種的參數(shù)值比針葉樹種的分布更為均勻。這可能是由于南方多丘陵山地，北方地勢(shì)較為平坦，北方立地條件較為一致的原因。其中南方闊葉的參數(shù)分布值最為分散，這可能是由于南方闊葉樹種種類繁多造成的原因。箱線圖中出現(xiàn)的異常離群值，可能是參數(shù)出現(xiàn)了b>2、c>1的情況。

因此在以后的研究中使用超出參數(shù)取值范圍的山本式材積模型需謹(jǐn)慎，在預(yù)估材積時(shí)最好重新對(duì)其擬合或檢驗(yàn)。偏離參數(shù)取值范圍的山本式材積方程可能會(huì)影響材積的預(yù)估精度，或在部分材積擬合區(qū)段產(chǎn)生大的偏差。今后在山本式的實(shí)際應(yīng)用中，考慮參數(shù)的取值范圍能簡(jiǎn)便對(duì)材積模型進(jìn)行篩選評(píng)價(jià)，對(duì)林分蓄積進(jìn)行更準(zhǔn)確的估量。

本研究將地區(qū)和樹種組作為劃分因子對(duì)山本式的模型參數(shù)進(jìn)行了分類，只考慮了這兩種因子對(duì)參數(shù)的影響，并未將年齡、林分起源等因子考慮在內(nèi)，在后續(xù)對(duì)山本式的理論研究中，可結(jié)合樣木數(shù)據(jù)將年齡等因子一并加入；并考慮將分類因子作為啞變量或隨機(jī)變量，構(gòu)建啞變量和混合效應(yīng)模型，或許可以使模型精度進(jìn)一步提升。

3.2 結(jié) 論

本研究以應(yīng)用最廣泛的二元材積模型山本和藏方程為研究對(duì)象，推導(dǎo)山本式的結(jié)構(gòu)特征，分析了胸高形數(shù)與胸徑、樹高之間的關(guān)系，并得出了山本式的參數(shù)取值范圍。分析了已發(fā)表頒布的170個(gè)現(xiàn)有山本式的材積方程的參數(shù)特征，主要結(jié)論如下：

1）山本和藏方程的參數(shù)存在取值范圍：a>0，b<2，c<1。

2）山本和藏方程在實(shí)際運(yùn)用中存在很多參數(shù)偏離取值范圍的情況，造成了材積預(yù)估的偏差。

山本和藏方程作為使用范圍最廣的二元立木材積預(yù)估模型，在森林蓄積量的估測(cè)上起著不可或缺的作用。使用山本和藏方程時(shí)應(yīng)將山本式的參數(shù)列入考慮范圍，避免錯(cuò)誤使用山本式，造成材積預(yù)估出現(xiàn)偏差。研究山本式的理論推導(dǎo)對(duì)林分蓄積量的預(yù)估、林業(yè)數(shù)表的編制以及森林資源監(jiān)測(cè)與管理具有重要意義。

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[本文編校：羅 列]