涂色問題的解題技巧

張嫻 韓文美

排列組合中有一類常見問題———涂色問題，此類問題基于兩個計數(shù)原理與排列組合知識，關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征，解決方法技巧性強且靈活多變，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題以及解決問題的能力，已成為數(shù)學(xué)命題中比較常見的一類基本題型，備受各方關(guān)注。

1.直線型涂色問題

例1 （2022—2023學(xué)年江蘇省常州一中高二下學(xué)期段考數(shù)學(xué)試卷）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖1中的5個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用4種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種。

分析：根據(jù)題設(shè)條件，選出的顏色可以是2種，3種或者4種，依次通過直線型的圖形結(jié)構(gòu)特征求出方法數(shù)，通過分類法求和，即可得以分析與求解。

解：由題意選出的顏色可以是2種，3種或者4種，規(guī)定左邊起為第一個空，不同情況如下。

當(dāng) 選出2種顏色時，第一個空有2種選擇，第一個空顏色確定后，其余空顏色就確定了，共有C26×2=30（種）方法。

當(dāng)選出3種顏色時，第一個空有3種選擇，第二個空有2種選擇，第三個空可分為與第一個空顏色相同和不同的情況，第四個空和第五個空都各有2種選擇，但要去掉整體只用了2 種顏色的情況，共有C3 6C1 3C12·（C1 2C12+C1 2C12）-2C3 6C23=840（種）方法。

當(dāng)選出4種顏色時，必有2種顏色相同，可采用插空法，將這2種相同顏色去插入另外3種顏色形成的空，共有C4 6C1 4A3 3C24=2 160（種）方法。

綜上分析，不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030（種）。

點評：直線型涂色問題往往從第一個位置入手，逐一分析，在前一個已涂色的條件下涂下一個位置，注意對不同位置的分析加以合理分類討論與分步處理，進而確定直線型涂色問題的種數(shù)。

2.區(qū)域型涂色問題

例2 （2022—2023學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶。圖2是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形。若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有_____種。

分析：根據(jù)題設(shè)條件，先對七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記，并通過畫圖分析其中四板塊A，B，C，D 必涂上不同顏色，再根據(jù)分類、分步計數(shù)原理計算剩下的部分即可得以分析與求解。

解：由題意知，對七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記，如圖3所示。

由于一共4種顏色，板塊A 需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色，且板塊B，C，D 兩兩有公共邊不能同色，故板塊A，B，C，D 必定涂不同的顏色。

①當(dāng)板塊E 與板塊C 同色時，則板塊F，G 與板塊B，D 或板塊D ，B 分別同色，共有2種情況。

②當(dāng)板塊E 與板塊B 同色時，則板塊F只能與D 同色，板塊G 只能與C 同色，共1種情況。

又板塊A，B，C，D 顏色可排列，故共（2+1）×A44=72（種）方案。

點評：區(qū)域型涂色問題，應(yīng)該給區(qū)域依次標(biāo)上相應(yīng)的序號，以便分析問題。在給各區(qū)域涂色時，要注意不同的涂色順序，其解題就有繁簡之分。在實際解答時，應(yīng)按不同的涂色順序多多嘗試，看哪一種最簡單。

3.立體型涂色問題

例3 （2024 屆上海市七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）某數(shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具，如圖4 所示，現(xiàn)給圖中的正方體展開圖的6個區(qū)域涂色，有紅、橙、黃、綠4種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有_____種不同的涂色方法。

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由正方體展開圖的平面圖形回歸正方體的立體圖形，先從涂A入手，再分C 與F 同色、C 與F 不同色兩種情況討論，利用分步、分類計數(shù)原理分析與運算可得答案。

解：如圖5 所示，還原回正方體后，D 、B 為正方體的前后兩個對面，A、E 為正方體的左右兩個對面，F(xiàn)、C 為正方體的上下兩個對面，先涂A有4種涂法。

①當(dāng)C 與F 同色時，涂C 有3種涂法，若D 與B 同色，則有2種涂法，最后涂E 有2種涂法;若D 與B 不同色，則有A22種涂法，最后涂E 有1種涂法。

則有4×3×（2×2+A22×1）=72（種）涂法。

②當(dāng)C 與F 不同色時，涂C 有3 種涂法，涂F 有2種涂法，此時D 與B 必同色且只有1種涂法，E 也只有1種涂法。

則有4×3×2×1×1=24（種）涂法。

綜上分析可得，一共有72+24=96（種）不同的涂法。

點評：立體型涂色問題，往往要同時考慮平面幾何的結(jié)構(gòu)特征，又要考慮立體幾何的結(jié)構(gòu)特征，綜合“二維”與“三維”中的涂色要求與限制條件，全面考查同學(xué)們的空間想象能力與邏輯推理能力。

4.環(huán)狀型涂色問題

例4 （2024屆浙江省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9 月份月考數(shù)學(xué)試卷）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面。五行學(xué)說是華夏文明重要的組成部分。古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系。圖6是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）。

A.3 125 B.1 000

C.1 040 D.1 020

分析：根據(jù)題設(shè)條件，從數(shù)學(xué)文化場景中加以合理轉(zhuǎn)化，抽象問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，通過環(huán)狀型涂色問題來轉(zhuǎn)化，并加以分析，先根據(jù)不相鄰區(qū)域是否同色進行分類，確定涂色順序，再分步計數(shù)即可。

解：依題可知五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件而五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色。

故問題轉(zhuǎn)化為圖7中A，B，C，D ，E5個區(qū)域，有5種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即5種顏色5個區(qū)域的環(huán)狀涂色問題。

分為以下兩類情況。

第一類，A，C，D3個區(qū)域涂3種不同的顏色。

第 一步涂A，C，D 區(qū)域，從5種不同的顏色中選3 種按順序涂在不同的3 個區(qū)域上，則有A35種方法;

第二步涂B 區(qū)域，由于A，C 顏色不同，則有3種方法;

第三步涂E 區(qū)域，由于A，D 顏色不同，則有3種方法。

由分步計數(shù)原理知，共有3×3×A35=540（種）方法。

第二類，A，C，D3個區(qū)域涂2種不同的顏色。

C，D 不能涂同種顏色，則A，C 涂色相同，或A，D 涂色相同，兩種情況方法數(shù)相同。

若A，C 涂色相同，第一步涂A，C，D 區(qū)域，A，C 可看成同一區(qū)域，且A，D 區(qū)域不同色，即涂2個區(qū)域不同色，從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區(qū)域上，則有A25種方法;

第二步涂B 區(qū)域，由于A，C 顏色相同，則有4種方法;

第三步涂E 區(qū)域，由于A，D 顏色不同，則有3種方法。

由分步計數(shù)原理知，共有4×3×A25=240（種）方法。

若A，D 涂一色，與A，C 涂一色的方法數(shù)相同，則共有2×240=480（種）方法。

由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法數(shù)為540+480=1 020。選D。

點評：求解環(huán)狀型涂色問題，是基于直線型涂色問題加以分析與處理，同時要考慮最后一個位置與原來第一個位置之間的限制，這樣才能形成一個閉環(huán)，這也是解決問題中比較容易出錯的一個環(huán)節(jié)，要加以高度重視。

5.探究型涂色問題

例5 （2023年吉林省長春市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷）將圓分成n（n≥2，且n∈N* ）個扇形，每個扇形用紅、黃、藍、橙四色之一涂色，要求相鄰扇形不同色，設(shè)這n 個扇形的涂色方法為an 種，則an 與an-1 的遞推關(guān)系是_____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件，對n 個扇形依次加以編號，按n=2與n>2兩種情況加以分類討論an 的情況，由分步計數(shù)原理得到an 與an-1 之間的關(guān)系。

解：將圓分成n 個扇形時，將n 個扇形依次設(shè)為T1，T2，…，Tn 。

設(shè)這n 個扇形的涂色方法為an 種。

當(dāng)n=2時，a2=4×3=12。

當(dāng)n>2時，T1 有4種涂法，T2 有3種涂法，接著T3，T4，…，Tn-1，Tn ，依次有3種涂法，故共有4×3n-1 種涂法。

但當(dāng)Tn 與T1 的顏色相同時，有an-1 種涂法，an =4×3n-1-an-1。

點評：求解探究型涂色問題，往往從最簡單的圖形入手，依次分析兩個圖形涂色之間的聯(lián)系與差別，進而加以合理推理，構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，得以解決對應(yīng)的探究性問題，從而實現(xiàn)問題的解決。

對于涂色問題，抓住探究問題的本質(zhì)，結(jié)合涂色圖形的結(jié)構(gòu)特征，以及涂色的種數(shù)與限制條件，從關(guān)鍵點入手，結(jié)合選取顏色加以分析，合理分類討論，借助兩個計數(shù)原理以及排列組合知識，注意“重”或者“漏”的情形，進而加以合理操作與計算。

（責(zé)任編輯 徐利杰）