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    涂色問題的解題技巧

    2024-06-29 09:39:51張嫻韓文美
    關(guān)鍵詞:同色種顏色涂色

    張嫻 韓文美

    排列組合中有一類常見問題———涂色問題,此類問題基于兩個計數(shù)原理與排列組合知識,關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征,解決方法技巧性強且靈活多變,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題以及解決問題的能力,已成為數(shù)學(xué)命題中比較常見的一類基本題型,備受各方關(guān)注。

    1.直線型涂色問題

    例1 (2022—2023學(xué)年江蘇省常州一中高二下學(xué)期段考數(shù)學(xué)試卷)現(xiàn)有6種不同的顏色,給圖1中的5個格子涂色,每個格子涂一種顏色,要求最多使用4種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同,則不同的涂色方法共有_____種。

    分析:根據(jù)題設(shè)條件,選出的顏色可以是2種,3種或者4種,依次通過直線型的圖形結(jié)構(gòu)特征求出方法數(shù),通過分類法求和,即可得以分析與求解。

    解:由題意選出的顏色可以是2種,3種或者4種,規(guī)定左邊起為第一個空,不同情況如下。

    當(dāng) 選出2種顏色時,第一個空有2種選擇,第一個空顏色確定后,其余空顏色就確定了,共有C26×2=30(種)方法。

    當(dāng)選出3種顏色時,第一個空有3種選擇,第二個空有2種選擇,第三個空可分為與第一個空顏色相同和不同的情況,第四個空和第五個空都各有2種選擇,但要去掉整體只用了2 種顏色的情況,共有C3 6C1 3C12·(C1 2C12+C1 2C12)-2C3 6C23=840(種)方法。

    當(dāng)選出4種顏色時,必有2種顏色相同,可采用插空法,將這2種相同顏色去插入另外3種顏色形成的空,共有C4 6C1 4A3 3C24=2 160(種)方法。

    綜上分析,不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030(種)。

    點評:直線型涂色問題往往從第一個位置入手,逐一分析,在前一個已涂色的條件下涂下一個位置,注意對不同位置的分析加以合理分類討論與分步處理,進而確定直線型涂色問題的種數(shù)。

    2.區(qū)域型涂色問題

    例2 (2022—2023學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶。圖2是某同學(xué)用木板制作的七巧板,它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形。若用四種顏色給各板塊涂色,要求正方形板塊單獨一色,其余板塊兩塊一種顏色,而且有公共邊的板塊不同色,則不同的涂色方案有_____種。

    分析:根據(jù)題設(shè)條件,先對七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記,并通過畫圖分析其中四板塊A,B,C,D 必涂上不同顏色,再根據(jù)分類、分步計數(shù)原理計算剩下的部分即可得以分析與求解。

    解:由題意知,對七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記,如圖3所示。

    由于一共4種顏色,板塊A 需單獨一色,剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色,且板塊B,C,D 兩兩有公共邊不能同色,故板塊A,B,C,D 必定涂不同的顏色。

    ①當(dāng)板塊E 與板塊C 同色時,則板塊F,G 與板塊B,D 或板塊D ,B 分別同色,共有2種情況。

    ②當(dāng)板塊E 與板塊B 同色時,則板塊F只能與D 同色,板塊G 只能與C 同色,共1種情況。

    又板塊A,B,C,D 顏色可排列,故共(2+1)×A44=72(種)方案。

    點評:區(qū)域型涂色問題,應(yīng)該給區(qū)域依次標(biāo)上相應(yīng)的序號,以便分析問題。在給各區(qū)域涂色時,要注意不同的涂色順序,其解題就有繁簡之分。在實際解答時,應(yīng)按不同的涂色順序多多嘗試,看哪一種最簡單。

    3.立體型涂色問題

    例3 (2024 屆上海市七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)某數(shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具,如圖4 所示,現(xiàn)給圖中的正方體展開圖的6個區(qū)域涂色,有紅、橙、黃、綠4種顏色可選,要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同,共有_____種不同的涂色方法。

    分析:根據(jù)題設(shè)條件,由正方體展開圖的平面圖形回歸正方體的立體圖形,先從涂A入手,再分C 與F 同色、C 與F 不同色兩種情況討論,利用分步、分類計數(shù)原理分析與運算可得答案。

    解:如圖5 所示,還原回正方體后,D 、B 為正方體的前后兩個對面,A、E 為正方體的左右兩個對面,F(xiàn)、C 為正方體的上下兩個對面,先涂A有4種涂法。

    ①當(dāng)C 與F 同色時,涂C 有3種涂法,若D 與B 同色,則有2種涂法,最后涂E 有2種涂法;若D 與B 不同色,則有A22種涂法,最后涂E 有1種涂法。

    則有4×3×(2×2+A22×1)=72(種)涂法。

    ②當(dāng)C 與F 不同色時,涂C 有3 種涂法,涂F 有2種涂法,此時D 與B 必同色且只有1種涂法,E 也只有1種涂法。

    則有4×3×2×1×1=24(種)涂法。

    綜上分析可得,一共有72+24=96(種)不同的涂法。

    點評:立體型涂色問題,往往要同時考慮平面幾何的結(jié)構(gòu)特征,又要考慮立體幾何的結(jié)構(gòu)特征,綜合“二維”與“三維”中的涂色要求與限制條件,全面考查同學(xué)們的空間想象能力與邏輯推理能力。

    4.環(huán)狀型涂色問題

    例4 (2024屆浙江省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9 月份月考數(shù)學(xué)試卷)五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面。五行學(xué)說是華夏文明重要的組成部分。古代先民認為,天下萬物皆由五類元素組成,分別是金、木、水、火、土,彼此之間存在相生相克的關(guān)系。圖6是五行圖,現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色,要求五行相生不能用同一種顏色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一種顏色(例如水克火,木克土,可以用同一種顏色),則不同的涂色方法種數(shù)為( )。

    A.3 125 B.1 000

    C.1 040 D.1 020

    分析:根據(jù)題設(shè)條件,從數(shù)學(xué)文化場景中加以合理轉(zhuǎn)化,抽象問題的本質(zhì)與內(nèi)涵,通過環(huán)狀型涂色問題來轉(zhuǎn)化,并加以分析,先根據(jù)不相鄰區(qū)域是否同色進行分類,確定涂色順序,再分步計數(shù)即可。

    解:依題可知五行相克可以用同一種顏色,也可以不用同一種顏色,即無限制條件而五行相生不能用同一種顏色,即相鄰位置不能用同一種顏色。

    故問題轉(zhuǎn)化為圖7中A,B,C,D ,E5個區(qū)域,有5種不同的顏色可用,要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,即5種顏色5個區(qū)域的環(huán)狀涂色問題。

    分為以下兩類情況。

    第一類,A,C,D3個區(qū)域涂3種不同的顏色。

    第 一步涂A,C,D 區(qū)域,從5種不同的顏色中選3 種按順序涂在不同的3 個區(qū)域上,則有A35種方法;

    第二步涂B 區(qū)域,由于A,C 顏色不同,則有3種方法;

    第三步涂E 區(qū)域,由于A,D 顏色不同,則有3種方法。

    由分步計數(shù)原理知,共有3×3×A35=540(種)方法。

    第二類,A,C,D3個區(qū)域涂2種不同的顏色。

    C,D 不能涂同種顏色,則A,C 涂色相同,或A,D 涂色相同,兩種情況方法數(shù)相同。

    若A,C 涂色相同,第一步涂A,C,D 區(qū)域,A,C 可看成同一區(qū)域,且A,D 區(qū)域不同色,即涂2個區(qū)域不同色,從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區(qū)域上,則有A25種方法;

    第二步涂B 區(qū)域,由于A,C 顏色相同,則有4種方法;

    第三步涂E 區(qū)域,由于A,D 顏色不同,則有3種方法。

    由分步計數(shù)原理知,共有4×3×A25=240(種)方法。

    若A,D 涂一色,與A,C 涂一色的方法數(shù)相同,則共有2×240=480(種)方法。

    由分類計數(shù)原理可知,不同的涂色方法數(shù)為540+480=1 020。選D。

    點評:求解環(huán)狀型涂色問題,是基于直線型涂色問題加以分析與處理,同時要考慮最后一個位置與原來第一個位置之間的限制,這樣才能形成一個閉環(huán),這也是解決問題中比較容易出錯的一個環(huán)節(jié),要加以高度重視。

    5.探究型涂色問題

    例5 (2023年吉林省長春市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷)將圓分成n(n≥2,且n∈N* )個扇形,每個扇形用紅、黃、藍、橙四色之一涂色,要求相鄰扇形不同色,設(shè)這n 個扇形的涂色方法為an 種,則an 與an-1 的遞推關(guān)系是_____。

    分析:根據(jù)題設(shè)條件,對n 個扇形依次加以編號,按n=2與n>2兩種情況加以分類討論an 的情況,由分步計數(shù)原理得到an 與an-1 之間的關(guān)系。

    解:將圓分成n 個扇形時,將n 個扇形依次設(shè)為T1,T2,…,Tn 。

    設(shè)這n 個扇形的涂色方法為an 種。

    當(dāng)n=2時,a2=4×3=12。

    當(dāng)n>2時,T1 有4種涂法,T2 有3種涂法,接著T3,T4,…,Tn-1,Tn ,依次有3種涂法,故共有4×3n-1 種涂法。

    但當(dāng)Tn 與T1 的顏色相同時,有an-1 種涂法,an =4×3n-1-an-1。

    點評:求解探究型涂色問題,往往從最簡單的圖形入手,依次分析兩個圖形涂色之間的聯(lián)系與差別,進而加以合理推理,構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,得以解決對應(yīng)的探究性問題,從而實現(xiàn)問題的解決。

    對于涂色問題,抓住探究問題的本質(zhì),結(jié)合涂色圖形的結(jié)構(gòu)特征,以及涂色的種數(shù)與限制條件,從關(guān)鍵點入手,結(jié)合選取顏色加以分析,合理分類討論,借助兩個計數(shù)原理以及排列組合知識,注意“重”或者“漏”的情形,進而加以合理操作與計算。

    (責(zé)任編輯 徐利杰)

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