陰影圖形面積的求解思路分析

顧勇進(jìn)

摘要：計(jì)算平面圖形陰影面積是中考中常出現(xiàn)的一類問(wèn)題，常見(jiàn)的求解平面圖形陰影面積的基本方法有和差法、移動(dòng)法和代數(shù)法等.本文中以不同例題為對(duì)象，具體分析求陰影面積問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路.

關(guān)鍵詞：圖形與幾何；陰影面積；解法思路

求平面圖形陰影部分的面積是中學(xué)平面幾何類問(wèn)題中的難點(diǎn)，試題靈活多變，需要學(xué)生能夠整合題目信息，綜合思考問(wèn)題，非?？疾閷W(xué)生的邏輯思維能力.因此，掌握平面圖形陰影部分面積問(wèn)題的解題技巧是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn).

1 和差法

對(duì)于不規(guī)則的組合圖形，可將其分割成幾個(gè)基本的規(guī)則圖形，再分別計(jì)算幾個(gè)基本的規(guī)則圖形的面積，最后通過(guò)幾個(gè)基本的規(guī)則圖形的面積的和或差求出整個(gè)陰影圖形的面積.解答這類問(wèn)題，思路一般為：①根據(jù)已知條件，將不規(guī)則幾何圖形分割成幾個(gè)基本的規(guī)則圖形；②分別計(jì)算幾個(gè)規(guī)則圖形的面積，通過(guò)相加相減即可求出所求陰影部分面積.

例1有一個(gè)圓心角為90°的扇形AOB，其半徑OA=2 cm，弧AB的中點(diǎn)為C，線段OB的中點(diǎn)為D，求圖1中陰影部分的面積.

分析：首先連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，由C為AB的中點(diǎn)，計(jì)算可得S扇形COB和S△COD的值，最后根據(jù)已知條件即可得出陰影部分的面積.

圖2

例2如圖2所示，有一個(gè)的扇形AOB，∠AOB=100°，OA=12，OC=CB，∠DCO=90°，以O(shè)C為半徑的CE交OA于點(diǎn)E，求圖中陰影部分的面積.

分析：首先連接OD，DB，根據(jù)已知條件可求出扇形AOD的面積，最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積，再減去S空白BDC即可求出陰影部分的面積.

2 移動(dòng)法

移動(dòng)法是指將圖形中的某一部分切割下來(lái)移動(dòng)到合適的部位，使其組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，以便更易求出陰影部分的面積.具體方法有：平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、等積變換等.利用該方法求陰影部分面積的大致思路為：①根據(jù)已知條件，對(duì)圖形中某個(gè)部分進(jìn)行切割并恰當(dāng)?shù)匾苿?dòng)；②組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，計(jì)算即可求出陰影部分的面積.具體解題思路和步驟如以下例題.

例3如圖3所示，半圓O的直徑為AB，AO=R，AC=CD=DB，求陰影部分的面積.

分析：此陰影部分面積不易求，可應(yīng)用等積法，轉(zhuǎn)化為易求出面積的圖形.首先連結(jié)OC，OD，根據(jù)已知可得S陰影=S扇形COD，最后計(jì)算即可求出陰影部分面積.

例4如圖5，大半圓O與小半圓O1相切于點(diǎn)C，大半圓的弦AB與小半圓相切于點(diǎn)F，且AB∥CD，AB=4 cm，求陰影部分的面積.

分析：作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接O1F，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得O1F⊥AB，再判斷四邊形OO1FE為矩形，得到OE=O1F，然后根據(jù)垂徑定理得到BE=12AB=2.在Rt△OBE中，利用勾股定理得OB2-OE2=BE2=4，再利用S陰影=12S大半圓O-12S小半圓O1，通過(guò)計(jì)算即可求出陰影部分的面積.

3 代數(shù)法

代數(shù)法是指當(dāng)有些陰影部分比較復(fù)雜，不容易求面積時(shí)，可以借助于列方程（組），然后解方程（組）求出陰影部分的面積.解題的大致思路為：①根據(jù)題中已知條件列出方程（組）；②通過(guò)解方程（組）即可求出陰影部分的面積.具體解題思路和步驟如以下例題.

例5如圖7所示，有一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2，分別以每條邊為直徑

在正方形內(nèi)作圓，求出陰影部分的面積.

分析：若用一般方法計(jì)算陰影部分的面積，過(guò)程很復(fù)雜，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，因此此題選擇用代數(shù)法求陰影部分的面積.首先設(shè)陰影部分面積為x，空白部分面積為y，由題意可列出方程組，然后解方程組即可求出陰影部分的面積.

例6如圖8所示，已知圓O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AD，BD，OC，OD，且OD=5，若∠ADO∶∠EDO=4∶1，求陰影部分的面積.

分析：首先根據(jù)已知條件，設(shè)∠ODA=4α，則∠BDC=4α，且∠ODE=α.又∠ODA+∠ODE+∠BDE=90°，即可得到關(guān)于α的方程，最后解方程即可求出陰影部分的面積.

根據(jù)上述不同的求陰影部分面積問(wèn)題的分析，可以得到和差法、移動(dòng)法、代數(shù)法的具體解題思路.針對(duì)不同類型問(wèn)題，采取相對(duì)應(yīng)的解題方法進(jìn)行解答.在解題過(guò)程中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題條件的分析應(yīng)用，借助已知條件和相關(guān)性質(zhì)去靈活解答，以此提高解題效率.不同思路對(duì)應(yīng)的解題方式各不相同，有助于學(xué)生采取正確合理的思路快速解答求陰影部分面積這一類問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

潘秋萍.初中數(shù)學(xué)陰影面積計(jì)算的幾種方法.數(shù)理化解題研究（初中版），2013（9）：17.

齊永利.轉(zhuǎn)化是求陰影部分面積的關(guān)鍵.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（21）：15-16.