例談初中數(shù)學《圖形與幾何》的入門教學

柯曾蓮

學生常言“幾何頭，代數(shù)尾，還有函數(shù)追命鬼”。這句話說明了《圖形與幾何》在初中數(shù)學中一直處于“兩難”的位置——學生難學，教師難教。而對于這個內(nèi)容，《新課標》明確規(guī)定，數(shù)學課程中應(yīng)當注重發(fā)展學生的符號意識和空間觀念，形成幾何直觀能力，發(fā)展形象思維與抽象思維;在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中發(fā)展合情推理和演繹推理能力。這種巨大的反差讓我們時常深思，如何消除學生的學習障礙呢？

一、過好興趣關(guān)，消除心理障礙

興趣是入門的先導(dǎo)，學生學習的最大動力乃是對所學材料的興趣。這說明興趣教學起著至關(guān)重要的作用。

結(jié)合多年的教學經(jīng)驗和幾何的學科特點，舉出一些學生由于學了幾何而帶動數(shù)學成績整體提高的實例;在課堂教學中，結(jié)合教學內(nèi)容從幾何的實用性、趣味性、幾何推理的嚴密性和邏輯性等激發(fā)學生學習的興趣。告訴學生，學習的目的就是訓(xùn)練人的邏輯思維能力，使人變得聰明，考慮問題周密，所以聰明人說“幾何幾何，越學越活”，蠢笨的人說“幾何幾何，腦袋想破”。誰還想當蠢笨的人呢？這樣，便可從思想上消除畏懼心理。

利用幾何直觀、多媒體資源，嘗試Z+Z課件平臺和幾何畫板工具把抽象的幾何知識，更形象直觀地呈現(xiàn)在學生面前，通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等方法和直觀可信的畫面，使得課本上“死”的幾何知識能在屏幕上“活”起來，動靜結(jié)合易于學生理解和接受，使學生對幾何學習產(chǎn)生濃厚的學習興趣。

教材為學生動手操作實踐提供了素材，教師應(yīng)為學生提供足夠的時間和空間。如在學習全等三角形的時候，可以讓學生剪一些全等的三角形，通過圖形變換的幾種方式拼成各種圖案，這能為三角形全等找對應(yīng)元素提供很大的幫助。又如在學習軸對稱時，讓學生利用軸對稱的性質(zhì)剪窗花、設(shè)計軸對稱圖案等，可使學生明確數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活，利用幾何知識還可以美化生活，深信學習幾何是必要的，也能激發(fā)學生的學習興趣。

二、過好語言關(guān)，消除交流障礙

我們發(fā)現(xiàn)，學生害怕學習幾何的一個重要原因是幾何語言不過關(guān)，在學習中，不能有效地應(yīng)用幾何語言進行表達、交流和思維。為此先得過好語言關(guān)，力求使語言準確規(guī)范。

要讓學生弄清字母、幾何術(shù)語、定義、公理、定理等的意義和規(guī)范。如：一個小寫字母幾何里表示一條直線或線段，代數(shù)里卻可以表示任何一個數(shù);一個大寫字母代數(shù)里表示一個代數(shù)式，而在幾何里卻只能表示一個點;兩個大寫字母表示線，三個大寫字母表示角和三角形（或者弧線、折線），四個大寫字母表示四邊形，多個大寫字母表示多邊形等等，要求學生動口說和動手寫的時候都要先“安上姓再附上名”，這就和我們?nèi)说拿忠粯印?/p>

注重三類語言的轉(zhuǎn)換。幾何語言指圖形語言、文字語言、符號語言，這三種語言通常是并存的，將三者之間相互轉(zhuǎn)換，是學生學習幾何的基本功之一。要訓(xùn)練學生多說、多寫、多畫，逐步做到幾何語言準確簡練，繪制圖形正確清晰，符號語言使用規(guī)范，建立起三者的有機聯(lián)系，教師先當好“翻譯”，逐步使學生自己成為“翻譯”。如角平分線（圖1）是其圖形語言，其符號語言應(yīng)該表述為“OC平分∠AOB或∠AOC=∠BOC=[12]∠AOB”;再如等腰梯形，（圖2）是其圖形語言，其符號語言應(yīng)為“梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD”。只有這樣，學生才能和數(shù)學文本順暢地進行交流。

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三、過好推理關(guān)，消除思維障礙

推理貫穿于數(shù)學教學的始終，圖形與幾何教學的重要任務(wù)之一是培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，推理又是形成思維能力的基礎(chǔ)。課標要求：“推理證明的教學應(yīng)關(guān)注學生對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗，證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理?！蓖评砟芰Φ男纬珊吞岣咝枰粋€長期的、循序漸進的訓(xùn)練過程。

對于推理格式、步驟的訓(xùn)練，教師要當好“領(lǐng)路人”。訓(xùn)練要有的放矢，輔導(dǎo)要及時耐心，點撥要精心啟發(fā)。訓(xùn)練步驟由一步、兩步到三步。如“因為有垂直，所以有直角”，“因為有第三條直線與兩平行直線相交，所以有角相等或互補”，“因為是平行四邊形，所以有對邊等對角等對角線平分”。開始是教師“建模版”，學生“套內(nèi)容”，模板“套”多了，對條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系清楚了，自然就熟練了。

對于有理有據(jù)地推理證明，教師要當好“幫扶手”。讓學生經(jīng)歷“模仿→分析思路→選擇方法→推理證明”的過程，重點訓(xùn)練學生找準推理的切入點、推理過程的表述、檢查推理是否有理有據(jù)。為了訓(xùn)練推理的條理性，教師可以示范一些關(guān)聯(lián)詞，如：“因為……所以……”;“又因為……所以……”。對于復(fù)雜的推理過程，就要理清各個條件之間的層次關(guān)系（如因果關(guān)系、并列關(guān)系等），這樣的訓(xùn)練推理過程銜接自然，順理成章。

對于邏輯推理方法、解題思路分析的訓(xùn)練。教師的作用就是“穿針引線”。教師要善于引導(dǎo)學生用分析法和綜合法來思考，設(shè)置系列問題串，引導(dǎo)學生用分析法由這些問題串“執(zhí)果索因”形成解題思路。然后放手讓學生用綜合法“由因?qū)Ч庇袟l理地寫出推理過程。這樣長期堅持，既可以培養(yǎng)學生的推理能力，又可以養(yǎng)成學生思維的好習慣。

例：如圖3，AD平分∠BAC，∠BAC+∠ACD=180°，E在AD上，BE的延長線交CD于F，連CE且∠1=∠2，求證：AB=AC.

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教學時可設(shè)置下列問題串：

（1）AB與AC在哪兩個三角形里？怎樣才能證明它們相等？

（2）要證明△ACE≌△ABE，隱含條件是什么？還需知道幾個條件？

（3）還能找到邊等的條件嗎？有角等的條件嗎？∠2可能和那個角相等？

（4）∠1=∠2，還需要證明出誰和∠1相等就可以了？

（5）如何證明∠1=∠B？條件是怎樣的？

學生經(jīng)過思考得出如下思路：

分析思路—→

[ ? ? ?AB=AC← ? ? ?ΔACE?ΔABE←∠2=∠B←∠1=∠2（已知）∠1=∠B←CDAB←∠BAC+∠ACD=180?（已知）∠CAB=∠DAC←AD平分∠BACAE=AE（公共邊）]

←—推理過程

有了這樣的思路，學生自己寫出證明過程就輕而易舉了。

引導(dǎo)學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論激發(fā)學生對幾何證明的興趣，訓(xùn)練他們思維的廣闊性和靈活性。教師要學會“放風箏”。通過一題多解、一題多變、變式訓(xùn)練和開放性聯(lián)系等方式培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，豐富解決問題的方法和策略。

例：如圖4：已知[?]ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點E，F(xiàn).連接AF、CE。

（下轉(zhuǎn)第32頁）

（上接第29頁）

求證：四邊形AFCE是菱形.

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對于此例，我首先提出了以下問題：

（1）你能用哪些方法推理？

學生經(jīng)過長時間的思考后得出了以下思路：

（1）證△AOE≌△COF→AE=CF，AE∥CF→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

（2）證△AOE≌△COF，再證△AOF≌△COE→AE=CF，AF=CE→[?]→AECF，AE=EC→菱形AECF

（3）證△AOE≌△COF→AE=CF，AE=EC，AF=CF→AE=CE=CF=AF→菱形AEC

（4）證△AOE≌△COF→OE=OF，AO=CO→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

接著提出問題：（2）看看哪些方法較簡單？

結(jié)論顯而易見，這樣的過程既讓學生運用所學知識解決了問題，又讓學生進行了思維類比，提升了學生的思維水平。

四、過好反思關(guān)，消除應(yīng)用障礙

堅持讓學生反思自己的學習過程，積累學習經(jīng)驗，消除應(yīng)用障礙可以為學生后繼的學習奠定較好的基礎(chǔ)。如在學習平行四邊形的性質(zhì)和判定以后，我們做了下列小結(jié)：平行四邊形我們研究的內(nèi)容是：邊、角、對角線三方面的特征;研究的步驟是“下定義→探性質(zhì)→研判定”;研究的方法是“通過觀察、猜想、證明，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，從對性質(zhì)定理的逆命題討論中研究判定定理”。所以在學習特殊平行四邊形時可以用類比的思想方法來研究特殊平行四邊形性質(zhì)和判定。這樣，學生在后面的學習中就有了方向、目標和方法。

對于比較抽象的內(nèi)容，把它編成歌訣、順口溜來輔助記憶。學習討論中點四邊形時探討發(fā)現(xiàn)，利用三角形的中位線定理，把中點四邊形的邊轉(zhuǎn)化為以原四邊形的對角線為第三邊的三角形中位線，中點四邊形的形狀只與原四邊形的兩條對角線的關(guān)系有關(guān)。所以我們一起把中點四邊形規(guī)律總結(jié)成如下歌訣：不看角不看邊，只看原來的對角線;相等是菱形，垂直是矩形，其他都為平行四邊形，這些歌訣和順口溜，數(shù)形結(jié)合、形象直觀、生動有趣、易于記憶，也積累了學生的數(shù)學經(jīng)驗，還可以養(yǎng)成學生自己總結(jié)規(guī)律的好習慣。

（責任編輯：張華偉）