函數(shù)圖象的幾個(gè)考向

廖浩偉

函數(shù)圖象是表示函數(shù)的方法之一，也是中考命題的熱點(diǎn)，結(jié)合幾則例題，探討函數(shù)圖象的幾個(gè)考向，即根據(jù)具體問題畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息解決問題，以及動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，以幫助學(xué)生掌握函數(shù)圖象的處理方法，突破函數(shù)圖象難點(diǎn).

1 根據(jù)具體問題畫出函數(shù)圖象

根據(jù)具體問題畫函數(shù)圖象，首先要找出函數(shù)圖象的起點(diǎn)、拐點(diǎn)、終點(diǎn)，它們決定了函數(shù)圖象的范圍與方向；其次要找出每?jī)伞包c(diǎn)”之間的函數(shù)關(guān)系屬于一次函數(shù)、二次函數(shù)還是反比例函數(shù)，它決定了函數(shù)圖象的形狀；最后用平滑的曲線按自變量由小到大的順序，將關(guān)鍵點(diǎn)連接起來.

例1體育課上老師布置學(xué)生練習(xí)往返跑，小剛?cè)r(shí)以4 m/s的平均速度跑完，回來時(shí)以6 m/s的平均速度跑回起點(diǎn)，速度與時(shí)間的變化關(guān)系如圖1.

（1）從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程是多少？

（2）在圖2中畫出小剛跑步中，離終點(diǎn)距離s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的大致圖象.

解析：（1）從橫坐標(biāo)可以看出，小剛?cè)r(shí)所用時(shí)間為12 s，這段時(shí)間小剛的速度為4 m/s，所以從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程為4×12=48（m）；

（2）小剛奔跑時(shí)間為0時(shí)，離終點(diǎn)距離為48 m，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，48）;

當(dāng)小剛到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，奔跑時(shí)間為12 s，離終點(diǎn)距離為0 m，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0）;當(dāng)小剛回到起點(diǎn)時(shí)，奔跑時(shí)間為20 s，與終點(diǎn)的距離為48 m，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（20，48）.所畫圖象如圖3所示.

評(píng)注：本題中畫出了兩個(gè)函數(shù)圖象，第一個(gè)圖象反映的是奔跑速度與時(shí)間之間的關(guān)系，第二個(gè)圖象反映的是小剛到終點(diǎn)距離和時(shí)間之間的關(guān)系，雖然所講的都是小剛練習(xí)往返跑的事情，但是因?yàn)樽兞坎煌?，函?shù)圖象也截然不同，所以畫函數(shù)圖象時(shí)指明橫、縱坐標(biāo)表示的量很重要.

2 獲取函數(shù)圖象信息解決問題

對(duì)于函數(shù)圖象，一方面要抓住函數(shù)圖象的起點(diǎn)、拐點(diǎn)、終點(diǎn)及兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)說明此時(shí)函數(shù)值相等，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，在上方的函數(shù)圖象，函數(shù)值較大，在下方的函數(shù)圖象函數(shù)值較小；另一方面要弄清楚坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)表示的量，這樣才能與題中的文字?jǐn)⑹鲢暯悠饋?

例2某車間的甲、乙兩名工人分別同時(shí)生產(chǎn)同種零件，在開始生產(chǎn)的前2個(gè)小時(shí)為生產(chǎn)磨合期，2個(gè)小時(shí)后有一人停工一段時(shí)間對(duì)設(shè)備進(jìn)行改良升級(jí)，以提升生產(chǎn)效率，另一人進(jìn)入正常的生產(chǎn)模式.他們每人生產(chǎn)的零件總數(shù)y（單位：個(gè)）與生產(chǎn)時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如圖4所示.根據(jù)圖象回答：

（1）在生產(chǎn)過程中，哪位工人對(duì)設(shè)備進(jìn)行改良升級(jí)，停止生產(chǎn)多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）當(dāng)t為多少時(shí)，甲、乙所生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)第一次相等？甲、乙中，誰先完成一天的生產(chǎn)任務(wù)？

（3）設(shè)備改良升級(jí)后每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是多少？與另一工人的正常生產(chǎn)速度相比每小時(shí)多生產(chǎn)幾個(gè)？

解析：（1）由圖象可知，甲有一段圖象是水平的，表示在這段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的零件沒有增加，所以在生產(chǎn)的過程中，甲進(jìn)行了改良，停止生產(chǎn)的時(shí)間5-2=3（h）.

（2）由圖象可知，當(dāng)t=3時(shí)，甲與乙的函數(shù)圖象第一次相交于一點(diǎn)，所以當(dāng)t=3時(shí)，甲和乙第一次生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)相同，均為10個(gè).由圖象可知，甲完成任務(wù)用時(shí)7 h，乙完成任務(wù)用時(shí)8 h，所以甲、乙中，甲先完成一天的生產(chǎn)任務(wù).

（3）由圖象可知，設(shè)備改良升級(jí)后，甲共生產(chǎn)的零件數(shù)為40-10=30（個(gè)），所用時(shí)間為7-5=2（h），所以設(shè)備改良升級(jí)后甲每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是30÷2=15（個(gè)）；乙進(jìn)入正常生產(chǎn)后，共生產(chǎn)了36個(gè)零件，所用時(shí)間為8-2=6（h），所以每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是36÷6=6（個(gè)）.因此，改良后，甲每小時(shí)比乙多生產(chǎn)15-6=9（個(gè)）.

評(píng)注：對(duì)于函數(shù)圖象，水平線表示自變量增加而函數(shù)值沒變;從左往右看，上升線表示函數(shù)值隨自變量的增大而增大；下降線表示函數(shù)值隨自變量的增大而減小.

3 動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

動(dòng)點(diǎn)問題首先要確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑和運(yùn)動(dòng)方向，其次要弄清運(yùn)動(dòng)速度，一般以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為自變量，以某條線段的長(zhǎng)或圖形的面積為因變量，根據(jù)因變量的變化情況，常以拐點(diǎn)為分界點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑可分為幾個(gè)階段，在不同的階段自變量與因變量會(huì)呈現(xiàn)不同的函數(shù)關(guān)系，也就是在不同的自變量范圍內(nèi)，函數(shù)圖象在變化.

例3如圖5所示，△ABC中，AC=6 cm，AB=BC=5 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)，沿B→C→A路徑以1 cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A，設(shè)BP長(zhǎng)度為y cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s.校數(shù)學(xué)研究小組嘗試進(jìn)行函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律的探究.以下是數(shù)學(xué)研究小組的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）通過取點(diǎn)，畫圖，測(cè)量，得到以下y與x的幾組數(shù)值，如表1所示：

要求：填充表格中空白處的數(shù)值（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以補(bǔ)全后的表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，在圖6中畫出該函數(shù)的圖象；

（3）基于作出的函數(shù)圖象，解決如下問題：當(dāng)x約為時(shí)，BP=CP.

解：（1）表1補(bǔ)全后如下表2：

故答案為：5.0；4.1.

（2）描點(diǎn)、連線，畫出的函數(shù)圖象如圖7：

（3）由題意知：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，點(diǎn)P在BC上，此時(shí)BP=x，CP=5-x，畫出y=x和y=5-x的圖象，如圖8所示，由圖象知x=2.5時(shí)，兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，即BP=CP；當(dāng)5＜x≤11時(shí)，點(diǎn)P在AC上，CP=x-5，畫出函數(shù)y=5-x的圖象，由圖象知，當(dāng)x=9.1時(shí)，函數(shù)圖象有交點(diǎn)，即BP=CP.所以當(dāng)x=2.5或9.1時(shí)，BP=PC.

評(píng)注：從本題畫出的圖象可以看出，y與x在前期成一次函數(shù)關(guān)系.在后期成二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)BP=CP求x的值時(shí)，也采用了圖象法，在同一坐標(biāo)系中畫出BP與x的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象以及CP與x函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象，交點(diǎn)處即為BP=CP時(shí)x的值.

研究函數(shù)離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示方法，函數(shù)的許多性質(zhì)都是通過函數(shù)圖象獲得的，如函數(shù)的增減性、周期性、最值、圖象的對(duì)稱性等，特別地，比較兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值大小時(shí)，利用函數(shù)圖象直觀明了.對(duì)于函數(shù)圖象，要掌握以下三種技能：準(zhǔn)確畫函數(shù)圖象、詳細(xì)識(shí)讀函數(shù)圖象、細(xì)致分析函數(shù)圖象.