學(xué)情出發(fā)巧設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化促理解

陳志興

當(dāng)前數(shù)學(xué)教育提倡“為理解而教”，正確解讀教材和深入理解學(xué)情是上好每一節(jié)課的基礎(chǔ).教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)把握整體教學(xué)脈絡(luò)，關(guān)注學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，做到把握學(xué)情、抓住知識(shí)本質(zhì)，這樣才能促進(jìn)學(xué)生理解和掌握知識(shí)本質(zhì)，形成良好的思維結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)文化承載豐富，不僅包括豐富多彩的歷史文化，還包含數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)美等.在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，基于具體學(xué)情無痕融入數(shù)學(xué)文化可以達(dá)到激趣引思之效，也可以促進(jìn)學(xué)生深層次理解知識(shí)，繼而形成與發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面，筆者以“銳角三角函數(shù)（第一課時(shí)）”的教學(xué)為例談?wù)勛约旱膸c(diǎn)看法，就教于方家.

1 數(shù)學(xué)文化促理解的教學(xué)過程

1.1 文化導(dǎo)入，溯源概念

問題1公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿利斯塔克忽然有了重大發(fā)現(xiàn).如圖1，月亮呈現(xiàn)半圓時(shí)，太陽A、地球B、月亮C三者的圓心恰好為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且∠ABC=85°.據(jù)此他還計(jì)算得出地球與月亮的距離約為地球與太陽距離的119，你知道他是如何計(jì)算得出的嗎？請(qǐng)?jiān)囍f一說.

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂盛行情境教學(xué)，而情境教學(xué)往往源于生活，也就是所說的“生活情境”.天體問題是三角學(xué)中的重要問題之一，也是促進(jìn)學(xué)生了解正弦概念，引入直角三角形中的銳角三角函數(shù)的有效載體.基于此，教師巧妙融入古希臘經(jīng)典案例，以三角應(yīng)用背景極好地激趣引思，激發(fā)學(xué)生深入探究的欲望，為銳角正弦函數(shù)的形成做足鋪墊.

1.2 特例歸納，結(jié)構(gòu)理解

問題2如圖2，在Rt△ABC中，有∠A=30°.

（1）若BC=35，試求AB；

（2）若BC=75，試求AB.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生易根據(jù)定理“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得出∠A的對(duì)邊與斜邊之比BCAB=12，進(jìn)而使問題獲解.

問題3如圖3，在Rt△ABC中，有∠A=45°，試求∠A的對(duì)邊與斜邊之比BCAB的值.

師生活動(dòng)：據(jù)Rt△ABC也是等腰三角形，從而設(shè)兩腰AC=BC=x，得出AB=BC2+AC2=x2+x2=2x，則BCAB=x2x=22.基于上述問題2和問題3，師生總結(jié)得出“無論直角三角形的大小如何，夾角是30°還是45°，其對(duì)邊與斜邊之比都是一個(gè)固定的值”.

問題4在圖4所示的Rt△ABC，Rt△A′B′C′中，若有∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，試探求BCAB和B′C′A′B′間的關(guān)系.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生易根據(jù)已知條件判定Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似，進(jìn)而得出BCB′C′=ABA′B′，變形后可得BCAB=B′C′A′B′，從而得出“對(duì)于給定的Rt△ABC，其銳角的對(duì)邊與斜邊之比等于一定值”.

總結(jié)：根據(jù)以上遞進(jìn)式探究，不難發(fā)現(xiàn)在直角三角形中，若銳角A的度數(shù)確定，則其對(duì)邊與斜邊之比為一定值.事實(shí)上，古代數(shù)學(xué)家早已發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，如圖5所示，在直角……（課件出示相關(guān)概念.）

設(shè)計(jì)意圖：從特殊直角三角形、相似三角形引入，過渡到一般直角三角形，讓學(xué)生在拾級(jí)而上的探究中深刻認(rèn)識(shí)到對(duì)于給定的直角三角形的一個(gè)特征，從而助力對(duì)銳角正弦概念的理解，并深化銳角正弦與相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系.進(jìn)一步地，牢牢把握利用銳角對(duì)邊與斜邊之比來定義正弦概念，賦予概念結(jié)構(gòu)特征等，以促進(jìn)對(duì)概念本質(zhì)的結(jié)構(gòu)性理解.

1.3 追溯歷史，增進(jìn)理解

問題5sin A為線段間的一個(gè)比值，你知道它的符號(hào)“sin”是從何而來的嗎？（課件呈現(xiàn)正弦歷史：事實(shí)上這個(gè)數(shù)學(xué)符合的創(chuàng)造是相當(dāng)曲折的，其中伴隨了漫長的三角學(xué)和三角函數(shù)的發(fā)展史.“sin”是十五世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)界雷基奧蒙坦創(chuàng)造的，他是一位阿拉伯領(lǐng)導(dǎo)人物.早在1464年他已經(jīng)完成了著作《論各種三角形》，并于1533年發(fā)行.這本脫離天文學(xué)的純?nèi)菍W(xué)的書，讓三角學(xué)獨(dú)立開來，成為了數(shù)學(xué)分科.隨著歷史的發(fā)展，明朝時(shí)期我國政治家、科學(xué)家徐光啟歷經(jīng)畢生研究數(shù)學(xué)、天文、歷法、水利等，在此期間將“sin”翻譯為正弦.歷史大闊步前進(jìn)，16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)，在《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》一書中系統(tǒng)論述三角學(xué)，運(yùn)用了包括正弦在內(nèi)的6種比值，同時(shí)創(chuàng)造了與之對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)表.進(jìn)一步地，到了18世紀(jì)之后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首次提出正弦函數(shù)的概念，此時(shí)三角形已然不再拘泥于三角形解法的研究，而是融合了函數(shù)線與單位圓，三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)在后續(xù)的高中階段我們將會(huì)學(xué)到……）

設(shè)計(jì)意圖：輔以視頻演示，讓數(shù)學(xué)符號(hào)“sin”的相關(guān)歷史呈現(xiàn)于學(xué)生的視野之中，達(dá)成數(shù)學(xué)文化的傳播，有效增進(jìn)文化性理解.

1.4 學(xué)以致用，深化理解

問題6現(xiàn)在回歸課堂導(dǎo)入部分，如圖1，現(xiàn)在你覺得阿利斯塔克是如何計(jì)算出來的？

學(xué)生活動(dòng)：該直角三角形中，∠A=5°，其對(duì)邊與斜邊之比BCBA所表示的是地月距離與地日距離之比，畫出該三角形后，易得到地月距離與地日距離之比sin 5°≈119.

問題7如圖6，已知登山者甲和乙兩人在兩個(gè)傾斜角分別為30°和45°的斜坡上步行150 m，甲、乙二人誰登得高，為什么？

學(xué)生活動(dòng)：設(shè)甲攀登的高度是h1 m，乙攀登的高度為h2 m，據(jù)銳角正弦公式，易得h1=150sin 30°=75，h2=150sin 45°=752，進(jìn)而得出結(jié)論.

問題81999年起，意大利對(duì)比薩斜塔維修偏差，并于2001年整體竣工，竣工時(shí)塔頂中

心線偏離垂直中心線角度減少至5°，那么此時(shí)塔頂中心線偏離垂直中心線的距離是多少？（sin 5°≈0.09，比薩斜塔高54.5 m.）

學(xué)生活動(dòng)：如圖7，根據(jù)sin 5°=BCAB，可得BC=AB·sin 5°≈54.5×0.09=4.905（m）.

設(shè)計(jì)意圖：利用數(shù)學(xué)文化學(xué)以致用是數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一環(huán)，其中，如何巧妙運(yùn)用十分重要.這一環(huán)節(jié)中，教師通過經(jīng)典案例的問題設(shè)計(jì)，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)新知的理解和認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生切實(shí)感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，從而獲得克服障礙解決問題的滿足感.

2 構(gòu)建促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)文化教學(xué)的認(rèn)識(shí)

2.1 數(shù)學(xué)文化教學(xué)利于深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

在教學(xué)的過程中，基于學(xué)情不斷融合數(shù)學(xué)思想、方法、觀念、語言及其形成與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更系統(tǒng)、更完善.本課中，學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的熏陶下深入了解數(shù)學(xué)的特征，通過深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)構(gòu)造出數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，最終在深度探究中切實(shí)感悟到數(shù)學(xué)是有用的，形成終身受益的能力.

2.2 數(shù)學(xué)文化教學(xué)利于激發(fā)求知欲望與創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從本質(zhì)上來說就是為了“學(xué)以致用”，在應(yīng)用的過程中滲透數(shù)學(xué)文化才能有所創(chuàng)新.教師通過對(duì)數(shù)學(xué)文化的傳播，讓學(xué)生自由漫步于自由發(fā)展的數(shù)學(xué)文化形態(tài)中，可以自然而然地激發(fā)求知欲望與創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生在質(zhì)疑中深度探究、高效建構(gòu).本課中，正是由于教師在教學(xué)的過程中不失時(shí)機(jī)地滲透與傳播數(shù)學(xué)文化，才使得學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中不斷深入思考，體驗(yàn)征服數(shù)學(xué)的過程，最終自然而然地突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)高效建構(gòu).

2.3 數(shù)學(xué)文化教學(xué)利于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在教學(xué)中，充分挖掘教學(xué)中的文化價(jià)值，揭示知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的全過程，努力還原或再現(xiàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的過程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不僅是創(chuàng)造出來的，還是發(fā)明出來的，可以讓學(xué)生主動(dòng)探尋并善于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與背景，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和理性精神.本課中，教師不斷展示一種充滿人類創(chuàng)造力的文化境界，讓學(xué)生在主動(dòng)思考中合理提出概念與方法，并能結(jié)合數(shù)學(xué)文化背景思考和解決問題，從而有效提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，用數(shù)學(xué)文化促進(jìn)理解可以讓學(xué)生在知識(shí)運(yùn)用中培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，無痕發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一線數(shù)學(xué)教師需努力豐富自身的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，基于具體學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)技能的過程中感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，產(chǎn)生文化共鳴，從真正意義上理解數(shù)學(xué)、喜愛數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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羊振華，徐玉慶.基于數(shù)學(xué)文化的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析——記一堂研究生數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研討課.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（36）：4-5.