求解三角函數(shù)最值問題五策略

王春娥

［摘 要］三角函數(shù)最值問題歷來是三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問題之一。文章結(jié)合幾道例題，探討求解三角函數(shù)最值問題的策略，旨在拓寬學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］三角函數(shù)；最值問題；策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0021-03

三角函數(shù)最值問題歷來是三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問題之一，其涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強(qiáng)。解答這類問題時(shí)要注意三角函數(shù)值正負(fù)號的選取、角的范圍的確定、各種情況的分類討論及各種隱含條件等。求解這類問題有哪些基本策略呢？

一、化“一”策略

所謂化“一”，就是對于形如[f（x）=asin2x+bcos2x+csinxcosx+d]的三角函數(shù)，可運(yùn)用倍角公式、三角恒等變換等將其化為形如[y=Asin2x+Bcos2x+C]的形式，進(jìn)而利用輔助角公式[Asinx+Bcosx=A2+B2sin（x+φ）+C]化為只含有一個(gè)函數(shù)名的形式，最后利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的有界性來確定三角函數(shù)的最值。

［例1］函數(shù)[f（x）=-2cos2x-π4+6sinxcosx-2cos2x+1]，[x∈R]。

（1）把[f（x）]的解析式改寫為[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式；

（2）求[f（x）]的最小正周期并求[f（x）]在區(qū)間[0，π2]上的最大值和最小值。

分析：（1）由三角恒等變換公式，即可化簡函數(shù)[f（x）]的解析式為[f（x）=22sin2x-π4]。（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，求得[f（x）]的最小正周期為[T=2π2=π]，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的最大值和最小值。

解：（1）由題意，函數(shù)[f（x）=-2cos2x-π4+] [6sinxcosx-2cos2x+1=-222cos2x+22sin2x+][3sin2x-（2cos2x-1）=2sin2x-2cos2x=22sin2x-π4]，即[f（x）]的解析式為[f（x）=22sin2x-π4]。

（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，所以函數(shù)[f（x）]的最小正周期為[T=2π2=π]，

因?yàn)閇x∈0，π2]，則[2x-π4∈-π4，3π4]，所以當(dāng)[2x-π4=-π4]，即[x=0]時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為[f（x）=22sin-π4=-2]。當(dāng)[2x-π4=π2]，即[x=3π8]時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為[f（x）=22sinπ2=22]，即函數(shù)的最小值為[-2]，最大值為[22]。

點(diǎn)評：本題給出的三角函數(shù)的解析式是關(guān)于[sinx]與[cosx]的二次齊次式，故可利用二倍角公式和輔助角公式將其化為[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式。

二、換元策略

對于含有[sinα±cosα]和[sinαcosα]的三角函數(shù)值域問題，可利用[（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα] 并通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)和分式函數(shù)）的最值問題來解答。

［例2］本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設(shè)計(jì)如圖1所示，每條車道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，其水平截面圖為矩形[ABCD]，它的寬[AD]為2.4米，車廂的左側(cè)直線[CD]與車道中間的分界線相交于[E]、[F]，記[∠DAE=θ]。

（1）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好[θ=π6]，且[A]、[B]也都在車道中間的直線上，直線[CD]也恰好過路口邊界[O]，求此大卡車的車長。

（2）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對任意[θ]，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長的最大值。

分析：（1）通過解直角三角形，分別求出[OE]，[OF]，[ED]，[CF]，即可求得本題答案。（2）用[θ]表示[AB]，利用換元法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出[AB]的最小值，即可得到大卡車車長的最大值。

解：（1）如圖2所示，作[EM⊥OM]，垂足為[M]，作[FN⊥ON]，垂足為[N]，因?yàn)閇∠DAE=π6]，所以[∠MEO=∠NOF=∠BFO=π6]，在[Rt△ADE]中，[ED=2.4×tanπ6=435]，在[Rt△BCF]中，[CF=2.4tanπ6=1235]，在[Rt△OME]中，[OE=4cosπ6=833]，在[Rt△ONF]中，[OF=4sinπ6=8]，所以[CD=OE+OF-ED-CF=833+8-435-1235=8-8315]。

（2）因?yàn)閇∠DAE=θ]，所以[OE=4cosθ]，[OF=4sinθ]，[ED=2.4tanθ]，[CF=2.4tanθ]，

所以[AB=CD=OE+OF-ED-CF=4cosθ+4sinθ-2.4tanθ-2.4tanθ=4sinθ+4cosθ-2.4sin2θ-2.4cos2θsinθcosθ=4（sinθ+cosθ）-2.4sinθcosθ0<θ<π2]。

令[sinθ+cosθ=t]，則[t=2sinθ+π4]，[∵0<θ<π2]，[∴θ+π4∈π4，3π4]，所以[10]。

故[AB=8kk+352-1=8k-1625k+65]在[25，2-35]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)[k=2-35]，即[t=2]時(shí)，[AB]取最大值[82-245]，故要使大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對任意[θ]，此車都不越中間車道線，大卡車的車長的最大值為[82-245]。

點(diǎn)評：本例題雖然屬于三角函數(shù)實(shí)際問題，但最終探討的是含有[sinα+cosα]和[sinαcosα]的三角函數(shù)值域問題，我們可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)（如二次函數(shù)、分式函數(shù)）來解答。這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視新元的取值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合策略

對于含有根式和絕對值符號的三角函數(shù)，可以通過挖掘它的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法來求解。

［例3］函數(shù)[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx]的最大值為? ? ? ? ? ?。

分析：利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將[fx]轉(zhuǎn)化為點(diǎn)[P]到點(diǎn)[A、B]的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得答案。

解：因?yàn)閇5cos2x-4sinx+5=9cos2x-4cos2x-4sinx+5][=9cos2x+4sin2x-4sinx+1=（3cosx）2+（2sinx-1）2]，所以[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx=（3cosx）2+（2sinx-1）2-（3cosx）2]，故[f（x）]的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]與[B（0，2sinx）]的距離之差的最大值，因?yàn)閇-1≤sinx≤1]，[-2≤-2sinx≤2]，[-1≤1-2sinx≤3]，所以[PA-PB≤AB=（1-2sinx）2=1-2sinx≤3]。當(dāng)且僅當(dāng)[sinx=-1]時(shí)，等號成立，則[PA-PB≤3]，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)[cosx=0]，[f（x）=5×02-4×（-1）+5-3×0=3]，所以[f（x）≤3]，即[f（x）]的最大值為[3]。

點(diǎn)評：解答本題的精妙之處在于把[f（x）]的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]與[B（0，2sinx）]的距離之差的最大值，從幾何意義入手，問題迎刃而解。

四、基本不等式策略

基本不等式可以用來求函數(shù)的最值，當(dāng)然也可以用來求三角函數(shù)的最值，但需注意基本不等式應(yīng)用的前提條件和靈活配湊技巧。

［例4］求函數(shù)[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2（x∈R）]的最小值。

分析：先將函數(shù)變形為[f（x）=96sin2x+3+166cos2x+4]，然后乘以[6sin2x+3+6cos2x+4]，結(jié)合基本不等式解決。

解：[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2=96sin2x+3+166cos2x+4=6sin2x+3+6cos2x+413·96sin2x+3+166cos2x+4=11325+9（6cos2x+4）6sin2x+3+16（6sin2x+3）6cos2x+4≥11325+29×16=4913]，當(dāng)且僅當(dāng)[6sin2x+33=6cos2x+44]時(shí)取等號，即[tanx=±32]時(shí)取等號，所以當(dāng)[tanx=±32]時(shí)，函數(shù)[f（x）]取得最小值[4913]。

點(diǎn)評：利用基本不等式求三角函數(shù)最值的難點(diǎn)在于原三角函數(shù)式的合理配湊，同時(shí)還需注意等號能否取到。

五、求導(dǎo)策略

導(dǎo)數(shù)可以用來求函數(shù)的最值，當(dāng)然也可以用來求三角函數(shù)的最值。當(dāng)函數(shù)解析式中含有的三角函數(shù)并不統(tǒng)一，且不是齊次式時(shí)，求導(dǎo)是最好的方法，但計(jì)算量比較大。

［例5］修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段。如圖3所示，某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為[C]且直徑[MN]平行壩面。壩面上點(diǎn)[A]滿足[AC⊥MN]，且[AC]長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)[A]到小島建三段棧道[AB]、[BD]與[BE]，水面上的點(diǎn)[B]在線段[AC]上，且[BD]、[BE]均與圓[C]相切，切點(diǎn)分別為[D]、[E]，其中棧道[AB]、[BD]、[BE]和小島在同一個(gè)平面上。此外在半圓小島上再修建棧道[ME]、[DN]以及[MN]，則需要修建的棧道總長度的最小值為? ? ? ? ? ? ? ?百米。

分析：連接[CD]、[CE]，設(shè)[∠CBE=∠CBD=θ]，建立出需要修建的棧道的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值。

解：連接[CD]、[CE]，由半圓半徑為1得[CD=CE=1]。由對稱性，設(shè)[∠CBE=∠CBD=θ]，又[CD⊥BD]，[CE⊥BE]，所以[BE=BD=CDtanθ=1tanθ]，[BC=CDsinθ=1sinθ]，易知[∠MCE=∠NCD=θ]，所以[ME=ND=θ]。又[AC=3]，故[AB=AC-BC=3-1sinθ∈（0，2）]，故[sinθ∈13，1]，令[sinθ0=13]且[θ0∈0，π6]，則[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，[θ∈θ0 ，π2]，故[f（θ）=-cosθ（2cosθ-1）sin2θ]。

[[θ] [θ0 ，π3] [π3] [π3，π2] [f（θ）] - 0 + [f（θ）] 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 ]

所以棧道總長度的最小值[f（θ）min=fπ3=2π3+5]。

點(diǎn)評：本題屬于實(shí)際問題中的三角函數(shù)最值問題，但建立的三角函數(shù)是非常規(guī)三角函數(shù)[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，無法經(jīng)過三角變換化成[f（x）=Asin（ωx+φ）+B]的形式，也無法用換元法轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)的最值問題，這時(shí)就要想到用導(dǎo)數(shù)法求最值。利用導(dǎo)數(shù)法求三角函數(shù)的最值，是新課標(biāo)高考命題的重要考點(diǎn)。

從以上五種情形可以看出，求三角函數(shù)的最值并非“雜亂無章”，而是有規(guī)律可循的，在遇到具體問題時(shí)，我們必須認(rèn)真分析其特點(diǎn)，從而合理選擇化一法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法等。其實(shí)，當(dāng)方法選對，解決這類問題并不難。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）