圓中新定義問題解法探究

陳玉芹

［摘 要］“圓”是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，圓中新定義問題在考試中屢屢出現(xiàn)，學生普遍覺得有一定的難度。文章結(jié)合具體的實例，探討圓中新定義問題的求解方法，旨在發(fā)展學生思維，提高學生創(chuàng)新性解決問題的能力。

［關鍵詞］圓；新定義問題；初中數(shù)學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0018-03

近幾年，新定義問題頗受命題者的青睞，其主要考查學生的閱讀理解能力和利用數(shù)學知識創(chuàng)新性解決問題的能力。圓是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，圓中新定義問題在考試中屢屢出現(xiàn)，學生普遍覺得有一定的難度。下面筆者結(jié)合具體的實例，分析探討圓中新定義問題的求解方法。

一、圓內(nèi)兩條特殊位置關系的弦——等垂弦

在圓內(nèi)，當兩條弦互相垂直且相等時，我們稱這樣的弦為“等垂弦”。兩條弦成為“等垂弦”，必須滿足兩個條件：一是長度相等，二是互相垂直?！暗却瓜摇迸c兩條弦心距圍成的四邊形恰是一個正方形。

［例1］在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，如圖1所示，[AB]、[CD]是[⊙O]的弦，如果[AB=CD]，[AB⊥CD]，垂足為[E]，則[AB]、[CD]是等垂弦。（1）如圖2所示，[AB]是[⊙O]的弦，作[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，分別交[⊙O]于點[C]、[D]，連接[CD]，求證：[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦；（2）在圖1中，[⊙O]的半徑為5，[E]為等垂弦[AB]、[CD]的分割點，[BEAE=13]，求[AB]的長度。

解析：（1）如圖3所示，連接[BC]，設[AB]、[CD]的交點為[E]，∵[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，∴[∠AOC=∠BOD=90°]，∴[∠AOB=∠COD]，由圓心角、弧、弦關系定理得[AB=CD]，∵[AC=AC]，由圓周角定理得[∠ABC=12∠AOC=45°]。同理，[∠BCD=12∠BOD=45°]，∴[∠AEC=∠ABC+∠BCD=90°]，即[AB⊥CD]，∵[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦。

（2）如圖4所示，作[OH⊥AB]，垂足為[H]，作[OG⊥CD]，垂足為[G]，由矩形的判定定理得四邊形[OHEG]為矩形，∵[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦，由“等垂弦”的定義得[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AH=DG=12AB]，∵[OA=OD]，[∠AHO=∠DGO=90°]，由斜邊直角邊定理，得Rt[△AHO ]≌Rt[△DGO]，∴[OH=OG]，∴矩形[OHEG]為正方形，∴[OH=HE]，∵[BEAE=13]，[AH=BH]，∴[AH=2BE=2OH]。在 Rt[△AOH]中，[AO2=AH2+OH2]，即[（2OH）2+OH2=AO2=25]，解得[OH=5]，則[AB=4OH=45]。

二、特殊的圓內(nèi)接四邊形——婆氏四邊形

一個圓有無數(shù)個內(nèi)接四邊形，當它的兩條對角線互相垂直時，我們稱之為“婆氏四邊形”?！捌攀纤倪呅巍比跃哂袌A內(nèi)接四邊形對角互補和外角等于內(nèi)對角的性質(zhì)，當“婆氏四邊形”的一組對邊和的值一定時，可以求得圓半徑的最小值。

［例2］我們把對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”。（1）若平行四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”，則四邊形[ABCD]是? ? ? ? ? ? （填序號，①矩形，②菱形，③正方形）。（2）如圖5所示，Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，以[AB]為弦的[⊙O]交[AC]于[D]，交[BC]于[E]，連接[DE]、[AE]、[BD]，[AB=6]，[sinC=35]，若四邊形[ABED]是“婆氏四邊形”，求[DE]的長。（3）如圖6所示，四邊形[ABCD]為[⊙O]的內(nèi)接四邊形，連接[AC]、[BD]、[OA]、[OB]、[OC]、[OD]，已知[∠BOC+∠AOD=180°]。①求證：四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”；②當[AD+BC=4]時，求[⊙O]半徑的最小值。

解析：（1）如圖7所示，∵平行四邊形[ABCD]為[⊙O]的內(nèi)接四邊形，∴[∠ABC=∠ADC]，[∠ABC+∠ADC=180°]，∴[∠ABC=∠ADC=90°]，∴平行四邊形[ABCD]是矩形，∵四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”，∴[AC⊥BD]，∴矩形[ABCD]是正方形。

（2）∵[∠BAC=90°]，[AB=6]，[sinC=35]，∴[BC=10]，[AC=8]，∵[BD]為直徑，∴[∠BED=∠DEC=90°]，∵四邊形[ABED]是“婆氏四邊形”，∴[AE⊥BD]，∴[AD=DE]，[AB=BE=6]，設[AD=DE=m]，則[CD=8-m]，[EC=4]，在Rt[△EDC]中，[m2+42=（8-m）2]，解得[m=3]，∴[DE=3]。

（3）①證明：如圖8所示，設[AC]、[BD]相交于點[E]，∵[∠DCA=12∠AOD]，[∠BDC=12∠BOC]，[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠DCA+∠BDC=12（∠AOD+∠BOC）=12×180°=90°]，∴[∠CED=90°]，∴[AC⊥BD]，∵四邊形[ABCD]是[⊙O]的內(nèi)接四邊形，∴四邊形[ABCD]是“婆氏四邊形”。②如圖9所示，過點[O]作[OM⊥AD]交于[M]，過點[O]作[ON⊥BC]交于[N]，∴[AM=12AD]，[BN=12BC]，[∠AMO=∠BNO=90°]，∴[∠AOM+∠OAM=90°]，∵[OA=BO=CO=DO]，∴[∠AOM=12∠AOD]，[∠BON=12∠BOC]，∵[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠AOM+∠BON=90°]，[∠OAM=∠BON]，由角角邊定理得[△OAM ]≌[△BON]，∴[ON=AM=12AD]，∵[AD+BC=4]，設[ON=AM=n]，則[AD=2n]，[BC=4-2n]，[BN=2-n]，在Rt[△BON]中，[BO=n2+（2-n）2=2（n-1）2+2]，當[n=1]時，[BO]有最小值[2]，∴[⊙O]半徑的最小值為[2]。

三、與三角形既接又切的圓——切接圓

經(jīng)過三角形三個頂點的圓，叫作三角形的外接圓，與三角形各邊都相切的圓，叫作三角形的內(nèi)切圓，而經(jīng)過三角形一個頂點且與其對邊相切的圓，我們叫作“切接圓”。一個三角形的外接圓只有一個，內(nèi)切圓也只有一個，但是一個三角形的切接圓卻可能不止一個。

［例3］我們把經(jīng)過三角形的一個頂點并與其對邊所在直線相切的圓叫作三角形的“切接圓”，如圖10所示，有[△ABC]，[⊙O]經(jīng)過點[A]，并與點[A]的對邊[BC]相切于點[D]，則該[⊙O]就叫作[△ABC]的“切接圓”。根據(jù)上述定義解決下列問題。

理解應用：（1）已知Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]。①如圖11所示，若點[D]在邊[BC]上，[CD=254]，以[D]為圓心，[BD]長為半徑作圓，則[⊙D]是[△ABC]的“切接圓”嗎？請說明理由。②在圖12中，若點[D]在[△ABC]的邊上，以[D]為圓心，[CD]長為半徑作圓，當[⊙D]是Rt[△ABC]的“切接圓”時，求[⊙D]的半徑。

思維拓展：（2）如圖13所示，在[△ABC]中，[AB=12]，[AC=BC=10]，把[△ABC]放在平面直角坐標系中，使點[C]落在[y]軸上，邊[AB]落在[x]軸上。試證明：以拋物線[y=116x2+4]圖象上任意一點為圓心都可以作過點[C]的[△ABC]的“切接圓”。

解析：（1）①[⊙D]是[△ABC]的“切接圓”。∵[BC=10]，[CD=254]，∴[BD=154]，即[⊙][D]的半徑為[154]，如圖14所示，過點[D]作[DE⊥AC]于點[E]，則[∠DEC=∠A=90°]，∴[△CDE ]∽[△CBA]，∴[CD]∶[BC=DE]∶[AB]，即[254] ∶[10=DE]∶6，∴[DE=154]，∴[BD=DE]，∴[⊙][D]切[AC]于點[E]，根據(jù)“切接圓”的定義，得⊙[D]是[△ABC]的“切接圓”。②在Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]，所以[AC=8]；當點[D]在[AC]上時，∵[AC⊥AB]，∴點[A]為切點，則[AC]是[⊙][D]的直徑，所以[r=12AC=4]；當點[D]在[BC]上時，如圖15所示，過點[D]作[DF⊥AB]于點[F]，∴[∠BDF=∠C]，∴[△BDF ]∽[△BCA]，∴[BD]∶[BC=DF]∶[AC]，根據(jù)“切接圓”的性質(zhì)可設[DF=DC=r]，∴[BD=10-r]，∴（[10-r]）∶[10=r]∶8，解得[r=409]，∴[⊙D]的半徑為[409]。

綜上，[⊙D]的半徑為[409]或4。

（2）證明：根據(jù)題意作出圖形，如圖16所示，∵[AC=BC=10]，[AB=12]，[∠COB=90°]，∴[AO=OB=6]，∴[OC=8]，即[C（0，8）]。設點[D]的橫坐標為[m]，∴[Dm，116m2+4]，∴[CD2=m2+116m2+4-82=116m2+42]，即[CD=116m2+4]，過點[D]作[DE⊥x]軸于點[E]，∴[DE=116m2+4]，∴[CD=DE]，∴[⊙][D]經(jīng)過點[C]且與[AB]切于點[E]，根據(jù)“切接圓”的定義可知，以拋物線[y=116x2+4]圖象上任意一點為圓心都可以作過點[C]的[△ABC]的“切接圓”。

四、經(jīng)過三角形兩邊中點的圓——中[n]點圓

取三角形兩邊的中點，再經(jīng)過這兩個中點作圓，當這個圓與三角形有[n]個公共點時，我們稱這樣的圓為三角形關于這兩個中點的“中[n]點圓”。一個三角形的“中[n]點圓”可能是“中2點圓”“中3點圓”“中4點圓”“中5點圓”“中6點圓”，這樣的圓的圓心可能在三角形內(nèi)部、邊上或外部。

［例4］[△ABC]中，[D]、[E]分別是[△ABC]兩邊[AB]、[AC]的中點，若經(jīng)過[D]、[E]的[⊙M]與[△ABC]有[n]個公共點（相切算一個公共點），則稱[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中[n]點圓”。圖17中的圓是[△ABC]關于[D]、[E]的“中4點圓”。（1）①如圖17所示，則[△ABC]的“中[n]點圓”中[n]可以取的值為? ? ? ? ? ? ? ?（寫所有可能的值）；②在所給圖17中畫出一個“中3點圓”；（2）如圖18所示，在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[A（a，6）]，點[B（0，0）]，[C（4，0）]，[D]、[E]分別是[AB]、[AC]的中點，設點[M（1，y）]，[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中[n]點圓”。當[a=0]，[n=4]時，求圓心[M]的縱坐標的取值范圍。

解析：（1）①經(jīng)過[D]、[E]兩點的圓與[△ABC]的交點個數(shù)可能為2或3或4或5或6。②如圖19所示，圓經(jīng)過[A]、[D]、[E]三點；如圖20所示，經(jīng)過[D]、[E]的圓與[BC]相切，均是[△ABC]關于[D]、[E]的“中3點圓”。

（2）當[a=0]，[n=4]時，[A（0，6）]，[B（0，0）]，[C（4，0）]，[⊙M]為[△ABC]關于[D]、[E]的“中4點圓”。如圖21所示，[⊙M]經(jīng)過點[A]時，∵[D]、[E]分別是[AB]、[AC]的中點，∴[DE]∥[BC]，[D（0，3）]，[E（2，3）]，∴[∠ADE=∠ABC=90°]，此時圓心[M]在[AE]上，即[M1，92]，則有[y<92]。

如圖22所示，[⊙M]與[AB]相切于點[D]時，[DE]為直徑，[M（1，3）]，∴[3

當[⊙M]經(jīng)過點[C]時，如圖25所示，作[MF⊥DE]于[F]，交[x]軸于[G]，連接[MD]、[ME]、[MC]，則有[ME2=EF2+MF2]，[MC2=MG2+CG2]，∵[ME=MC]，∴[EF2+MF2=MG2+CG2]，[EF=1]，[MF=3-y]，[MG=y]，[CG=3]，∴[12+（3-y）2=y2+32]，解得[y=16]，則有[16

綜上所述，有[3

以上討論了圓中“等垂弦”“婆氏四邊形”“切接圓”與“中[n]點圓”四種新定義問題，不難發(fā)現(xiàn)，圓中新定義問題綜合考查了圓的有關性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，由于圖形定義既是圖形的性質(zhì)又是圖形的判定方法，因此，在解答這類問題的過程中，要注意新定義的雙重作用，當遇到復雜問題時，要注意分類討論，把大問題化為幾個小問題進行解答。

（責任編輯 黃桂堅）