例談多變量問題的求解策略

劉玲

［摘 要］多變量問題具有一定的綜合性、技巧性，往往令學生無從下手，“望題興嘆”。文章結(jié)合幾道典型例題，探討“三元”策略（即整元、換元、變元）在處理多變量問題中的運用，旨在幫助學生突破難點，發(fā)展學生思維。

［關鍵詞］多變量問題；整元；換元；變元

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0015-03

在不等式問題、函數(shù)與導數(shù)問題中，時常出現(xiàn)多個變量，我們把這類問題稱為“多變量問題”。多變量問題具有一定的綜合性、技巧性，往往令學生無從下手，“望題興嘆”。那么，破解多變量問題有哪些策略呢？本文就能破解多變量問題的“三元”策略（即“整元、換元、變元）進行探討。

一、整元

“整元”就是整合變量，當不等式或方程中出現(xiàn)多個變量時，可以考慮運用同構(gòu)思想構(gòu)造出一個或多個能解決問題的函數(shù)，這樣就可以把多變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題。

［例1］（1）已知正實數(shù)[x]，[y]滿足[ex=ylnx+ylny]，則[lnx+1x-lny]的最大值為? ? ? ? ? ? ? 。

（2）已知正實數(shù)[a]，[b]，[c]滿足[ealna=blnb=c2ec=1]，則[a]，[b]，[c]的大小關系是（）。

A. [c

C. [b

分析：（1）由已知得[xex=xylnxy]，構(gòu)造函數(shù)[f（x）=xex]，結(jié)合[f（x）]的單調(diào)性知[lny=x-lnx]，故將[lnx+1x-lny]化為[lnx+1x-x+lnx]，利用導數(shù)求[g（x）=lnx+1x-x+lnx]的最大值即可。（2）將比較[a]，[b]，[c]的大小轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)[y=lnx]與[y=e-x]交點，函數(shù)[y=lnx]與函數(shù)[y=1x]，函數(shù)[y=e-x]與函數(shù)[y=x2]在第一象限內(nèi)交點的橫坐標的大小，利用導數(shù)研究函數(shù)[y=x2]的圖象與函數(shù)[y=lnx]的圖象及函數(shù)[y=e-x]的圖象與函數(shù)[y=1x]的圖象間的關系，后統(tǒng)一作出[y=e-x]，[y=lnx]，[y=x2]，[y=1x]在（0，+∞）上的圖象即可。

解：（1）∵[ex=ylnx+ylny]，∴[ex=ylnxy]，即[xex=xylnxy=lnxy·elnxy]。構(gòu)造函數(shù)[f（x）=xex]，則[f（x）=f（lnxy）]， [f（x）=ex（x+1）]，所以[f（x）]在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，∵正實數(shù)[x]、[y]滿足[ex=ylnx+ylny=ylnxy]，∴[ex=ylnxy>e0=1]，即[lnxy>1y>0]，所以[f（x）=f（lnxy）]等價于[x=lnxy]，即[lny=x-lnx]，∴[lnx+1x-lny=lnx+1x-x+lnx? ]。設[g（x）=lnx+1x-x+lnx ]，[g（x）=-x2+x-lnxx2]，∴[g（1）=0]，令[h（x）=-x2+x-lnx]，[h（x）=-2x+1-1x≤-22+1<0]，所以[h（x）]單調(diào)遞減，且[h（1）=0]，所以在（0，1）上，[h（x）>0]，[g（x）>0]，[g（x）]單調(diào)遞增，在（1，+∞）上，[h（x）<0]，[g（x）<0]，[g（x）]單調(diào)遞減，所以[g（x）max=g（1）=0]，即[lnx+1x-lny]的最大值為0。

（2）由題可得[lna=e-a]，[lnb=1b]，[e-c=c2]，則[a]，[b]，[c]分別為函數(shù)[y=lnx]與[y=e-x]交點，函數(shù)[y=lnx]與函數(shù)[y=1x]，函數(shù)[y=e-x]與函數(shù)[y=x2]在（0，+∞）上交點的橫坐標。構(gòu)造函數(shù)[f（x）=x2-lnx]，則[f（x）=2x-1x=2x2-1x]，得[f（x）]在[0，12]上單調(diào)遞減，在[12，+∞]上單調(diào)遞增，則[f（x）≥f12=12+12ln2>0]，即[x∈（0，+∞）]時，函數(shù)[y=x2]的圖象恒在函數(shù)[y=lnx]的圖象上方。構(gòu)造函數(shù)[g（x）=1x-e-x]，[x>0]，則[g（x）=-1x2+e-x=x2e-x-1x2]。令[h（x）=e-xx2-1]，則[h（x）=xe-x（2-x）]，得[h（x）]在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，則[h（x）≤h（2）=4e2-1<0?g（x）=h（x）x2<0]，則[g（x）]在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又注意到函數(shù)[y=x]的增長速度遠小于函數(shù)[y=ex]的增長速度，則函數(shù)[y=1x]的變化速度遠大于函數(shù)[y=e-x]的變化速度，結(jié)合[x→0]，[1x-e-x>0]，[x→+∞]，[1x-e-x>0]，可知[x∈（0，+∞）]時，函數(shù)[y=e-x]的圖象在[y=1x]圖象的下方，則可在同一坐標系中作出[y=e-x]，[y=lnx]，[y=x2]，[y=1x]在（0，+∞）上的圖象，如圖1所示，由圖象可知[c

點評：本題第（1）問的解答關鍵是將[ex=ylnx+ylny]變形為[xex=xylnxy]，利用同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)[f（x）=xex]，結(jié)合[f（x）]的單調(diào)性知[x=lnxy]，即[lny=x-lnx]，從而用[x]表示[y]，將目標函數(shù)[lnx+1x-lny]化為[x]的函數(shù)后再求最值，于是把雙變量最值問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)的最值問題。本題第（2）問含有三個變量，直接比較[a]，[b]，[c]的大小關系較復雜，故可考慮利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為比較同一坐標系下函數(shù)圖象交點橫坐標的大小關系。于是把已知等式變形轉(zhuǎn)換成同構(gòu)式，并構(gòu)造出三個獨立的函數(shù)，再利用導數(shù)研究相關函數(shù)的最值、單調(diào)性，明確函數(shù)圖象間的關系，整個求解過程都用到了“整元”策略。

二、換元

換元，就是整體代換，轉(zhuǎn)換變量。通過換元，可以把多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來研究，尤其是導數(shù)應用中的極值點偏移問題，常常借助比值代換來達到“化二為一”的目的。

［例2］已知函數(shù)[f（x）=ln（2x+2）-2x]，[gx=aex-x+lnae2（a>0）]。（1）求函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間。（2）當[x>-1]時，若[h（x）=f（x）-g（2x）]有兩個不同的零點[x1]，[x2]（[x1>x2]），則：（?。?求[a]的取值范圍；（ⅱ）證明：[ae2x1+ae2x2>2]。

分析：（1）求得[f（x）=1x+1-2]，結(jié)合[f（x）>0]和[f（x）<0]的解集，即可求得函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間。（2）（?。└鶕?jù)題意轉(zhuǎn)化為[ln（2x+2）+2x+2=e2x+lna+2x+lna]有2個不等實根，令[t（x）=ex+x]，進而轉(zhuǎn)化為[lna=f（x）]有兩個不等實根，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（ⅱ）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為證明[ae2x1+ae2x2>2]，進而得到[12lnx1+1x2+1>x1+1x2+1-1x1+1x2+1+1]，令[u=x1+1x2+1>1]，得到[φ（u）=lnu-2u-1u+1（u≥1）]，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求解。

解：（1）由函數(shù)[f（x）=ln（2x+2）-2x]的定義域為（-1，+∞），且[fx=1x+1-2]，令[f（x）>0]，解得[-1-12]，所以[f（x）]的增區(qū)間為[-1，-12]，減區(qū)間為[-12，+∞]。

（2）（?。┮筟h（x）=f（x）-g（2x）]有2個零點，即[f（x）=g（2x）]有2個不等實根，即[ln（2x+2）=ae2x+lna-2]有2個不等實根，即[ln（2x+2）+2x+2=e2x+lna+2x+lna]，令[t（x）=ex+x]，即上式為[t（ln（2x+2））=t（2x+lna）]，由[t（x）=ex+1>0]，所以[t（x）]為單調(diào)遞增函數(shù)，所以有[ln（2x+2）=2x+lna]，所以只需使[lna=ln（2x+2）-2x]有2個不等實根，即[lna=f（x）]有兩個不等實根。由（1）知[f（x）]的增區(qū)間為[-1，-12]，減區(qū)間為[-12，+∞]，所以[f（x）max=f-12=1]。又當[x→-1]時， [f（x）→-∞]，當[x→+∞]時， [f（x）→-∞]，所以只需使[lna<1]，即[0

（ⅱ）由[h（x）]有2個不同零點[x1]，[x2]，可得[ln（2x1+2）=2x1+lna，ln（2x2+2）=2x2+lna，]即[2x1+2=ae2x1，2x2+2=ae2x2，]

所以要證[ae2x1+ae2x2>2]，只需證[2x1+2+2x2+2>2]，又兩式相減得[（2x1+2）-（2x2+2）ln（2x1+2）-ln（2x2+2）=1]，所以只需證[2x1+2+2x2+22>（2x1+2）-（2x2+2）ln（2x1+2）-ln（2x2+2）]，因為[x1>x2]，所以只需證[12ln2x1+22x2+2>（2x1+2）-（2x2+2）（2x1+2）+（2x2+2）]，只需證[12lnx1+1x2+1>x1+1x2+1-1x1+1x2+1+1]，令[u=x1+1x2+1>1]，即證[lnu>2·u-1u+1（u>1）]（*）。令[φ（u）=lnu-2u-1u+1（u≥1）]，可得[φ（1）=0]且[φ（u）=1u-4（u+1）2=（u-1）2u（u+1）2>0]，所以[φ（u）]在（1，+∞）上遞增，當[u>1]時，[φ（u）>φ（1）=0]，所以[lnu>2·u-1u+1（u>1）]，則[ae2x1+ae2x2>2]。

點評：在本題第（2）問的第（ⅱ）小問的證明過程中出現(xiàn)[12lnx1+1x2+1>x1+1x2+1-1x1+1x2+1+1]，于是想到換元，令[u=x1+1x2+1>1]，換元后雙元問題變成一元問題，再根據(jù)不等式特點構(gòu)造函數(shù)，這樣使原問題的解題難度大大降低，其求解過程體現(xiàn)了“化繁為簡”原則，“換元”起到了關鍵性作用。

三、定元

“定元”就是確定主次。在兩元問題中，有時可以采用主元法，即把一個元看成變量，把另一個元當成常數(shù)來處理。而當兩個元相互獨立時，我們可以將原問題中的函數(shù)分解成兩個函數(shù)來解決。

［例3］已知函數(shù)[f（x）=（x-1）ex-a-lnx]。證明：當[0

分析：本題可以采用主元法來處理，構(gòu)造以[a]為主元、[x]為參數(shù)的函數(shù)來處理。

證法1：[（x-1）ex-a-lnx≥lna]等價于[（x-1）ex-a-lnx-lna≥0]，令[h（a）=（x-1）ex-a-lnx-lna]，[a∈0，1]，則[h（a）=-（x-1）ex-a-1a=1ea（1-x）ex-eaa]。設[s（x）=（1-x）ex]，[t（a）=eaa]，當[x>0]時，[s（x）=-xex<0]，[s（x）]單調(diào)遞減，[s（x）

容易證明，函數(shù)[f（x）=（x-1）ex-1-lnx]的最小值為[f（1）=0]，故[（x-1）ex-1-lnx≥0]，故[a∈0，1]時，[h（a）≥h（1）=（x-1）ex-1-lnx≥0]，所以當[0

證法2：[（x-1）ex-a-lnx≥lna]等價于[（x-1）ex-a-lnx-lna≥0]。令[h（a）=（x-1）ex-a-lnx-lna]，[a∈0，1]，則[h（a）=-（x-1）ex-a-1a]。令[r（x）=-（x-1）ex-a-1a]。當[x>0]時，[r（x）=-xex-a<0]，[r（x）]單調(diào)遞減，[r（x）

點評：此題也有另外的解法，比如“隱零點”“放縮”或“凹凸反轉(zhuǎn)”，這些解法都可以破解此題。但從思維和運算兩個方面綜合來看，主元法是更為親切且靠譜的解法。運用主元法解題，關鍵是根據(jù)問題的特點，靈活地選擇主元，其處理方法主要有：（1）從多個變元中選出一個恰當?shù)淖冊鳛橹髟?，視其他變元為參量，突出主要矛盾，促成問題轉(zhuǎn)化；（2）選取含有若干變元的表達式為主元素——集中變元，通過消去主元（或非主元），逐步減少變元個數(shù)，從而達到解決問題的目的；（3）選取主變量為主元素，通過分離參數(shù)的方法，突出主元的地位，為解題創(chuàng)造有利條件；（4）突破思維定式，選取參數(shù)變量為主元素，反客為主，化難為易，化繁為簡，以實現(xiàn)巧妙突破；（5）觀察問題的數(shù)據(jù)特征，選取某一特殊常量為主元素，調(diào)整并理順問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和關系，從而發(fā)現(xiàn)解題途徑，提高解題效率。

從以上舉例分析不難看出，導數(shù)在多變量問題中的應用難點，是將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，而“三元”策略（即整元、換元、變元）能幫助我們突破這個難點，大家在解決多變量問題時不妨一試。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 李文東.例談多變量問題的求解策略［J］.中學數(shù)學研究，2020（6）：52-54.

［2］? 張立建，潘培彬.多元變量的最值和范圍問題求解策略［J］.高中數(shù)學教與學，2017（21）：22-24，34.

［3］? 汪正文.多元變量最值問題的求解策略與探究［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2017（19）：28-31.

［4］? 丁稱興.有關“多元變量”最值問題的求解策略［J］.數(shù)學通訊，2016（合刊3）：79-82.

（責任編輯 黃桂堅）