關(guān)于線性代數(shù)課程中理論和方法具象化的探究

袁健 王菊香

摘要：線性代數(shù)是理工科本科專業(yè)必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，該課程概念多、思維抽象以及數(shù)學(xué)方法難度高，傳統(tǒng)的教學(xué)模式很難讓學(xué)生有所收獲。作者根據(jù)在本課程教學(xué)過程中的體會和思考，探索將抽象的數(shù)學(xué)方法具體化和形象化，將抽象的數(shù)學(xué)理論生動化和直觀化，以適應(yīng)大學(xué)生的思維方式，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生探索的熱情，提高教學(xué)質(zhì)量和效果。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)實踐；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

隨著計算機(jī)和移動通信等技術(shù)的蓬勃發(fā)展，許多工程技術(shù)問題的解決都離不開線性代數(shù)的理論和方法，因而線性代數(shù)課程對于理工科專業(yè)本科生具有的重要的作用和地位，是理工科本科專業(yè)必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。通過線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生具備線性代數(shù)的相關(guān)基本理論及基本方法，并能用它們解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間直觀和想象能力以及抽象思維和邏輯推理能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課、擴(kuò)大實踐能力打下牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

線性代數(shù)的概念和方法具有邏輯性強(qiáng)、抽象程度高、應(yīng)用具有廣泛性等突出特點。該課程中的概念多，往往前一個概念是為了后一個概念做鋪墊，邏輯性連貫強(qiáng)；大部分概念都有著具體的應(yīng)用背景，從實際問題抽象出來的；抽象的概念的好處就在于它體現(xiàn)的是一般性規(guī)律，從而具有廣闊的應(yīng)用范圍。邏輯性強(qiáng)、抽象程度高、應(yīng)用廣泛性是線性代數(shù)課程突出的優(yōu)點，也決定了本課程是一門較為難學(xué)的課，剛接觸本課程的大學(xué)生，感受到基本概念難以掌握，基本方法難以理解，例題和習(xí)題難做。作者承擔(dān)多年本校理工科專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)，在教學(xué)實踐中對課程內(nèi)容不斷體會和思考，嘗試讓抽象的數(shù)學(xué)方法趣味化、具體化和形象化，力圖讓抽象的概念和理論生動直觀，努力讓講授過程適應(yīng)大學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生學(xué)有所獲，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生探索的熱情，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文主要內(nèi)容安排如下：先回憶了求逆矩陣的初等變換法，并將此方法形象的命名為“汽車記錄儀法”，讓數(shù)學(xué)方法形象化和趣味化；然后介紹了用“汽車記錄儀法”化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、化矩陣為相抵標(biāo)準(zhǔn)形；利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形創(chuàng)新性的給出求解線性方程組的一個新算法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新；還介紹了特征值和特征向量在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生實際問題的建模能力和探索問題的熱情。

1 用汽車記錄儀比喻初等變換中的重要方法，將數(shù)學(xué)方法具象化和趣味化

1.1 汽車記錄儀法

用生活中形象的事物，來比擬線性代數(shù)中抽象的數(shù)學(xué)概念和方法，讓學(xué)生感覺到趣味性，逐漸產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的興趣，從而樂于主動去探索和鉆研數(shù)學(xué)，這對學(xué)生深刻理解和掌握數(shù)學(xué)知識很有益。當(dāng)可逆時，用（其中為的伴隨）求逆的計算量很大，通常是利用初等變換法：。

剛接觸矩陣的學(xué)生們會覺得這種方法難以把握。由于原矩陣怎么變，單位矩陣會跟隨著作相同變換，相當(dāng)于把對進(jìn)行的所有變換都被記錄下來，因此在原矩陣的旁邊添加單位矩陣其功能就仿佛是汽車行程記錄儀，我們形象的把這種方法稱為汽車記錄儀法。汽車記錄儀法操作簡單，是一個非常有用的數(shù)學(xué)方法，可用于以下二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之中。

1.2 汽車記錄儀法在二次型化標(biāo)準(zhǔn)形中的應(yīng)用

二次型的主要問題是：求非退化線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：。線性代數(shù)教材中主要介紹用正交變換法以及多項式的配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，但這兩種方法通常計算量都較大。我們在教學(xué)中介紹用矩陣的成對初等行列變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并且這種方法的計算是最為簡單的。這不僅向?qū)W生展示了矩陣初等變換應(yīng)用的廣泛性，還拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新和探索的興趣。

注意到是可逆矩陣，可設(shè)，其中（）都為初等矩陣。于是，即對作次成對初等行列變換可化為。利用汽車記錄儀法，求矩陣的方法如下：

即當(dāng)變?yōu)閷蔷仃嚂r，的位置就變成了。

例1： 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。

解： 的矩陣為。對作成對初等行列變換：

所以線性變換可將二次型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：。

2 用相抵標(biāo)準(zhǔn)形給出求解線性方程組的新算法，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性思維

2.1 汽車記錄儀法化矩陣為相抵標(biāo)準(zhǔn)形

汽車記錄儀法還可用于矩陣化相抵標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣如能經(jīng)過一系列初等變換化為矩陣，則稱與相抵。矩陣的秩為當(dāng)且僅當(dāng)能經(jīng)過一系列初等變換化為。把稱為的相抵標(biāo)準(zhǔn)形（也稱等價標(biāo)準(zhǔn)形）。但只這個結(jié)論、寫出相抵標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)果是不夠的，數(shù)學(xué)非常關(guān)注過程，即如何從原矩陣變換成相抵標(biāo)準(zhǔn)形的，這也是培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和全面性的基本要求。因此，相抵標(biāo)準(zhǔn)形的基本問題是：對于矩陣，如何找到可逆陣和（不唯一），使得。欲求和，可以利用汽車記錄儀法：對矩陣的前行作初等行變換，前列作初等列變換，當(dāng)變?yōu)橄嗟謽?biāo)準(zhǔn)形時，和的位置分別就是和。由于右下角的零分塊未參與變換，所以可不必寫出。

例2： 將矩陣化為相抵標(biāo)準(zhǔn)形。

解：

所以，，矩陣可化為如下相抵標(biāo)準(zhǔn)形：

2.2 用相抵標(biāo)準(zhǔn)形求解齊次線性方程組

為了讓學(xué)生深刻理解并體會到相抵標(biāo)準(zhǔn)形的重要意義，我們介紹了矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形在解線性方程組中的應(yīng)用，并創(chuàng)造性的給出解線性方程組的一個新的算法。這有助于拓展了學(xué)生的視野，引導(dǎo)學(xué)生去探索問題，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維。設(shè)矩陣的秩，且的相抵標(biāo)準(zhǔn)形為，其中和可逆。下面利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形分析的解空間的結(jié)構(gòu)。將矩陣按列分塊寫成：。因為可逆，所以線性無關(guān)。由于，所以（其中）以及（其中，表示第個分量為1、其余分量全為0的維列向量）。因為是可逆矩陣，從而（其中），于是（其中）是的個線性無關(guān)的解。由于構(gòu)成的一個基，所以任一解可設(shè)為。由于，所以，從而

于是，所以，即方程組的任一解都可用（其中）線性表示。因此（其中）是的基礎(chǔ)解系。以上證明了如下有用的結(jié)論：

命題1： 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形為，其中是階可逆陣，是階可逆陣。則的后列就是該方程組的一個基礎(chǔ)解系。

由該命題可給出求解齊次線性方程組的一個新算法：

（1）利用初等行變換將系數(shù)矩陣化為行階梯矩陣或行最簡矩陣；

（2）根據(jù)秩來判斷是否有非零解；

（3）如果有非零解，求出相抵標(biāo)準(zhǔn)形中的矩陣；

（4）利用的后列寫出方程組的通解。

例3： 解下列齊次線性方程組：。

解 ： 由例2可知系數(shù)矩陣的秩為2，并且。所以解空間維數(shù)為2，并且通解為，其中為任意數(shù)。

3 特征值和特征向量在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)理論應(yīng)用的廣泛性

學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣的特征值和特征向量等抽象概念時往往感到很枯燥，而在傳統(tǒng)教學(xué)中通常介紹這些內(nèi)容在矩陣的相似對角化求矩陣方冪的應(yīng)用或者求斐波拉契數(shù)列通項公式的應(yīng)用，很少介紹它們的實際應(yīng)用背景，導(dǎo)致學(xué)生對這些概念的理解不夠深刻。我們在教學(xué)中通過引入實際背景，介紹特征值和特征向量在實際問題中的應(yīng)用，有助于學(xué)生對特征值和特征向量等概念的深刻認(rèn)識和理解，擴(kuò)大學(xué)生對實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力，激發(fā)學(xué)生積極探索問題的興趣。

我們介紹了矩陣特征值和特征向量在研究一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的巧妙應(yīng)用。在社會經(jīng)濟(jì)活動中，不同產(chǎn)業(yè)之間存在不同程度的相互依存關(guān)系。比如鐵路運輸建設(shè)需要鋼鐵、電器材料等其他產(chǎn)業(yè)的投入；相應(yīng)的，這些其他產(chǎn)業(yè)也需要鐵路運輸產(chǎn)業(yè)來運輸它們的原材料和產(chǎn)品。這種供需關(guān)系形成了一個復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)，在數(shù)學(xué)上可以利用矩陣的方法來研究這種復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。設(shè)現(xiàn)有個產(chǎn)業(yè)，并且每生產(chǎn)1個單位的要直接消耗掉個單位的，其中，。將矩陣稱為消耗系數(shù)矩陣。消耗系數(shù)矩陣是我們研究和掌握經(jīng)濟(jì)活動的重要工具之一，矩陣計算以及特征值、特征向量等數(shù)學(xué)理論在這里就派上了用場。

例4： 設(shè)有三個產(chǎn)業(yè)，其消耗系數(shù)矩陣為。設(shè)初始投入的數(shù)量為，其中。試分析對初始投入的數(shù)量滿足什么要求，才能使一年后這三個產(chǎn)業(yè)按照相同百分比增長（即同步增長），所增長的百分比能達(dá)到多少。

解： 令，設(shè)一年后三個產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)數(shù)量分別為，令。可以簡化為初始投入在一年后恰好消耗完，由于生產(chǎn)個單位的，直接消耗個單位的，所以初始投入的數(shù)量應(yīng)滿足：

即有，由此可得。因為要求一年后三個產(chǎn)業(yè)以相同百分比增長，所以，其中為一個正常數(shù)。于是，從而。因此，是的一個特征向量，是的一個正特征值，增長的百分比為。

下面代入相應(yīng)數(shù)值，由，可得的特征值為（負(fù)值舍去）。對于特征值，解齊次線性方程組，可利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形求出其一個基礎(chǔ)解系：。因此，初始投入數(shù)量應(yīng)當(dāng)按照2：1：2的比例，就能使一年后這三個產(chǎn)業(yè)按照相同百分比增長，并且增長百分比等于，約為。

結(jié)語

本文是作者在線性代數(shù)課程一線教學(xué)過程中對一些概念和理論的教學(xué)體會和思考。通過將抽象的數(shù)學(xué)方法具體化和形象化、將抽象的概念和理論生動化和直觀化，以此來適應(yīng)大學(xué)生的思維方式，提高教學(xué)效果和質(zhì)量，讓學(xué)生學(xué)有所獲，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新性意識，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的熱情，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孟道驥. 高等代數(shù)與解析幾何（第三版，上冊、下冊）[M]. 北京：科學(xué)出版社，2004.

[2] 丘維聲. 高等代數(shù)（第二版，上冊、下冊）[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2010.

[3] 唐爍，朱士信. 線性代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4] 張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤. 數(shù)學(xué)教育學(xué)[M]. 南昌：江西教育出版社，2003.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

基金項目：安徽建筑大學(xué)教學(xué)研究質(zhì)量工程項目（2023jy45，HYB20230132，2021xskc01），高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教改項目（CMC20210414），安徽省高?？茖W(xué)研究重點項目（2023AH050178）作者簡介：袁健（1988- ），男，漢族，安徽肥西人，博士，講師，研究方向：代數(shù)編碼。