三角函數(shù)中的最值類型探析

張亞明

求三角函數(shù)的最值涉及范圍廣、靈活性強(qiáng)，是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，三角函數(shù)的最值問題經(jīng)常出現(xiàn)在考題中.本文中對(duì)三角函數(shù)最值問題的常見類型進(jìn)行探析.

1 形如y=asin x+b型

本類型的特點(diǎn)是含有正弦或余弦函數(shù)，并且是一次式，函數(shù)種類僅有一種.解決此類問題的關(guān)鍵是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式或利用三角函數(shù)的有界性.

例1? 已知y=asin x+b的最大值為3，最小值為－１，求a，b的值.

解：當(dāng)a＞0時(shí)，由a+b=3，-a+b=-1，得a=2，b=1.

當(dāng)a＜0時(shí)，由-a+b=3，a+b=-1，得a=-2，b=1.

所以，a=±2，b=1.

評(píng)注：設(shè)t=sinx，原題化為一次函數(shù)y=at+b在閉區(qū)間t∈［-1，1］上的最值問題.本題的解法較多，除了代數(shù)函數(shù)最值的求法外，常見的還有數(shù)形結(jié)合法，轉(zhuǎn)化為斜率問題和三角函數(shù)的有界性求解，其中利用三角函數(shù)的有界性求解是最基本的方法.

2 化成y=Asin（ωx+φ）的形式

（1）y=asin ωx+bcos ωx+c型

本類型的特點(diǎn)是含有正弦與余弦函數(shù)且是一次式.解決的關(guān)鍵是把所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)的形式.一般地，可引進(jìn)輔助角

φtan φ=ba，化為y=a2+b2sin（ωx+φ）+c型，再利用正弦、余弦的有界性解之.

例2? 已知-π2≤x≤π2，求函數(shù)f（x）=5sin x+53cos x的最值.

解：

f（x）=5sin x+53cos x=10sinx+π3.設(shè)t=x+π3，則-π6≤t≤5π6.

由y=sin t，t∈-π6，5π6

的圖象可知，當(dāng)t=π2時(shí)，sin t取得最大值1，故f（x）的最大值為10.

評(píng)注：求解本題的關(guān)鍵是借助輔助角公式把函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)的形式，結(jié)合三角函數(shù)有界性求解.如果函數(shù)是條件函數(shù)，則常常借助三角函數(shù)的圖象來解題.

（2）y=asin2x+bsin xcos x+cos2x型

本類型的特點(diǎn)是含有sin x，cos x的二次式，處理方式是可先降次，然后整理化為（1）中的類型，再求y=Asin 2x+Bcos 2x+C型函數(shù)的最值.

例3? 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+3sin 2x+m（m∈R）.若x∈

0，π2，且f（x）的最小值是2，求m的值.

解：由已知得f（x）=1+cos 2x+3sin 2x+m=2sin（2x+π6）+m+1.當(dāng)x∈0，π2時(shí)，2x+π6∈π6，7π6，所以當(dāng)2x+π6=7π6時(shí)，f（x）取得最小值，則2×-12+m+1=2，解得m=2.

點(diǎn)評(píng)：解決這類題目的思路是把函數(shù)化歸為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，一般而言，

f（x）max=|A|+k，f（x）min=-|A|+k，但若附加了x的取值范圍，最好的方法是通過圖象加以解決.

（3）形如y=a+bsin xc+dcos x型

分離出sin x及cos x，化為m=Asin x+Bcos x型，利用三角函數(shù)的有界性去處理；也可以用數(shù)形結(jié)合法（常用直線斜率的幾何意義）求解.

例4? 求函數(shù)y=1+sin x3+cos x的最值.

解：函數(shù)解析式可整理為sin x-ycos x=3y-1，所以

y2+1sin（x+φ）=3y-1，其中tan φ=-y.因?yàn)閨sin（x+φ）|≤1，所以y2+1≥|3y-1|，解得0≤y≤34.

因此，所求函數(shù)的最大值為34，最小值為0.

評(píng)注：求形如y=a+bsin xc+dcos x（a，b，c，d∈R）的最值通常利用輔助角公式asin x+bcos x=a2+b2＼5sin（x+φ）及正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法.雖然本題可以使用萬能公式，也可以利用圓的參數(shù)方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡單易行，有興趣的同學(xué)不妨試一試其他解法.

3 形如y=csin x+dasin x+b型

例5? 求函數(shù)f（x）=3sin x-1sin x+2的最大值與最小值.

解：因?yàn)閒（x）=3 sin x-1sin x+2=3-7sin x+2，所以當(dāng)sin x=1時(shí)，f（x）max=23，

當(dāng)sin x=-1時(shí)，f（x）min=-4.

點(diǎn)評(píng)：除上述分離常數(shù)法外，形如y=asin x+bcsin x+d的函數(shù)還可反解出sin x，利用正弦函數(shù)的有界性求最值.

4 形如y=asin2x+bsin x+c型

本類型的特點(diǎn)是含有sin x或cos x的二次式，處理方式是降冪，再換元處理.設(shè)t=sin x，先化為二次函數(shù)y=at2+bt+c形式，再求其在閉區(qū)間t∈［-1，1］上的最值.

例6? （2017全國新課標(biāo)Ⅱ卷理）函數(shù)f（x）=sin2x+3cos x-34x∈0，π2的最大值是.

解：f（x）=1-cos2x+3cos x-34=-cos2 x+3cos x+14=-cos x-322+1.

由x∈0，π2，可得cos x∈［0，1］，所以當(dāng)cos x=32時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值1.

點(diǎn)評(píng)：利用誘導(dǎo)公式、降冪公式、二倍角公式，把不同名的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名的關(guān)于

y=asin2x+bsin x+c，或y=acos2x+bcos x+c，或y=atan2x+btan x+c（a≠0）的二次函數(shù)最值問題.其中一定要注意x的取值范圍.

5 形如y=sin x+asin x型

例7? 求y=sin x+2sin x（0＜x＜π）的最小值.

解：設(shè)u=sin x，則y=u+2u（0＜u≤1）.易知函數(shù)y=u+2u在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù).

故當(dāng)u=1時(shí)，ymin=1+21=3.

點(diǎn)評(píng)：若由sin x+2sin x≥2sin x＼52sin x=22，可得最小值22是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)楫?dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，sin x=2sin x，即sin x=2＞1是不可能的.利用基本不等式求最值即化為y=ax+bx（ab＞0）形式，主要抓住如何利用同角三角函數(shù)的關(guān)系sin2x+cos2x=1，tan x＼5cot x=1等，以及降冪公式、二倍角公式，將變量化為定值.

6 形如y=asin xcos x+b（sin x±cos x）+c型

含有sin x+cos x，sin x-cos x，sin xcos x的函數(shù)式，設(shè)t=sin x±cos x，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間t∈［-2，2］上的最值問題.

例8? 求函數(shù)y=4sin xcos x+3（sin x+cos x）+3的最值.

解：令sin x+cos x=t，則

sin xcos x=t2-12，t∈［-2，2］.

原函數(shù)可化為y=2t2+3t+1，t∈［-2，2］.

故當(dāng)t=-34時(shí)，ymin=-18；當(dāng)t=2時(shí)，ymax=5+32.

點(diǎn)評(píng)：sin x+cos x，sin x-cos x，sin xcos x這三者之間有著相互制約、不可分割的密切聯(lián)系.其中sin xcos x是紐帶，三者之中知其一，可求其二.令t=sin x-cos x換元后，依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值.

7 利用對(duì)偶式巧求最值

例9? 已知sin x+sin y=1，求cos x+cos y的最大值.

解：令t=cos x+cos y，于是可得（sin x+sin y）2+（cos x+cos y）2=1+t2.整理得

2+2cos（x-y）=1+t2，所以-2≤t2-1≤2.又t2≥0，則0≤t2≤3，即-3≤t≤3，故所求最大值為3.

點(diǎn)評(píng)：此題要用整體代換法求解.形如sin 2A+cos 2B+asin Acos B的式子都可以用對(duì)偶式法求最值.

8 形如y=sin xcos 2x型

本類型的特點(diǎn)是函數(shù)式為關(guān)于sin x，cos x的三次式（cos 2x是cos x的二次式），幾乎所有三角函數(shù)中類似的三次式的最值問題都用均值不等式或?qū)?shù)求解.利用均值不等式時(shí)，需要注意是否符合應(yīng)用的條件，最主要的是等號(hào)能否取得.

例10? 若x∈（0，π），求函數(shù)y=（1+cos x）·sinx2的最大值.

解：因?yàn)閥=2cos2x2·sin x2>0，所以可得y2=4cos 4x2sin2x2=2cos2x2cos2x2·2sin2x2≤2＼5

cos2x2+cos2x2+2sin2x23

3=1627，故0

點(diǎn)評(píng)：本題的角和函數(shù)都很難統(tǒng)一，并且還會(huì)出現(xiàn)次數(shù)較高的情況，關(guān)鍵是抓住cos2x+sin2x＝1.