“導數(shù)法”在含參函數(shù)極值、最值問題中的應用

陳余杰

摘要：利用導數(shù)法研究函數(shù)的極值、最值問題需要具備一定的數(shù)學知識和技能，既要了解導數(shù)的定義和性質(zhì)，掌握一定的求導技巧，還要掌握函數(shù)的極值、最值的判定方法，以及分類討論的技巧，考查學生對函數(shù)思想的運用.本文中對利用導數(shù)法研究函數(shù)的極值、最值問題進行探究，并結(jié)合具體案例進行分析，助力學生對這些知識和技能的掌握，以便好地利用導數(shù)來研究函數(shù)的極值、最值問題.

關(guān)鍵詞：導數(shù)法；函數(shù)；極值；最值

導數(shù)在高中數(shù)學中扮演著重要的角色，為解決數(shù)學相關(guān)問題提供了新的解決途徑.與傳統(tǒng)方法相比，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值和極值問題更為高效，能夠幫助學生快速提升解題速度并更深入地理解函數(shù)知識.導數(shù)的應用極大地擴展了數(shù)學問題的解決思路，讓學生能夠更靈活地運用數(shù)學知識解決各種問題［1-2］.因此，導數(shù)在高中數(shù)學教育中具有重要意義，對學生的數(shù)學學習和能力提升都有積極影響.

1 函數(shù)的極值問題探究

函數(shù)的極值問題是高中數(shù)學的常見問題.求函數(shù)的極值，可以通過分析函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)f（x）在定義域上的極大值和極小值.其求解的過程通常如下：首先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），令f′（x）=0，求解出方程的根，然后判斷f′（x）在方程根兩邊的符號，從而確定函數(shù)f（x）的極值.求解過程中需要注意函數(shù)的定義域，特別是對于復雜的函數(shù)和多變量函數(shù)，其定義域的情況會較為復雜，需要判斷所求極值點是否符合定義域［3］.下面以一道例題為例進行講解.

例1? 已知函數(shù)f（x）=1x-x+aln x.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個極值點，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.

①若a≤2，則f′（x）≤0，當且僅當a=2，x=1時，f′（x）=0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

②若a>2，令f′（x）=0，解得

x=a-a2-42或x=a+a2-42.

故當x∈0，a-a2-42∪a+a2-42，+∞時，f′（x）<0；當x∈a-a2-42，a+a2-42時，f′（x）>0.

所以，當a＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為0，a-a2-42和a+a2-42，+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為a-a2-42，a+a2-42.

（2）證明：由（1）知，當a>2時f（x）存在兩個極值點.

由于x1，x2滿足x2-ax+1=0，

所以x1x2=1，x1+x2=a.

不妨設(shè)x11，則有

f（x1）-f（x2）x1-x2=a＼5ln x1-ln x2x1-x2-1x1x2-1=a＼5ln x1-ln x2x1-x2-2=a＼5-2ln x21x2-x2-2.

要證f（x1）-f（x2）x1-x2

即證1x2-x2+2ln x2<0.

令g（x）=1x-x+2ln x（x＞1），則由（1）知函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.又g（1）=0，所以當x∈（1，+∞）時，g（x）<0，故1x2-x2+2ln x2<0.

故證得f（x1）-f（x2）x1-x2

點評：函數(shù)極值的探究以函數(shù)的單調(diào)性為基礎(chǔ)，首先通過求導的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的極值點，這是處理極值問題的策略.

2 函數(shù)的最值問題探究

關(guān)于函數(shù)的最值問題，最常見的是求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，即求解給定函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上的最值［4］.

運用導數(shù)法求函數(shù)的最值是一種十分簡捷有效的方法，具體解題思路是：先明確函數(shù)f（x）的定義域，然后求導，利用導函數(shù)分析原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值，再結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f（a），f（b）進行大小比較，從而確定函數(shù)的最值［5］.

例2? 已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當x∈［0，1］時，函數(shù)f（x）的最小值為-1，最大值為1，求a，b的值.

思路分析：第（1）問，求出方程f′（x）=0的兩根，比較兩根的大小并分類討論，就可以求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；第（2）問，利用（1）中的單調(diào)區(qū)間對f（x）在［0，1］上的最值進行分類討論，分類討論的標準是單調(diào)區(qū)間的端點與0，1的大小關(guān)系，從而確定函數(shù)在［0，1］上的最值，最終確定參數(shù)a，b的值.

解：（1）易得f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，解得x=0或x=a3.

①若a>0，則當x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）時，f′（x）>0；當x∈0，a3時，f′（x）<0.故函數(shù)f（x）在（-∞，0）和a3，+∞上單調(diào)遞增，在0，a3上單調(diào)遞減.

②若a=0，則f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增.

③若a<0，則當x∈-∞，a3∪（0，+∞）時，f′（x）>0；當x∈a3，0時，f′（x）<0.故函數(shù)f（x）在-∞，a3和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在a3，0上單調(diào)遞減.

（2）①當a≤0時，由（1）知，函數(shù)f（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，所以f（x）max=f（1）=2-a+b=1，f（x）min=f（0）=b=1，解得a=0，b=-1.

②當a≥3時，由（1）知，函數(shù)f（x）在［0，1］上單調(diào)遞減，所以有f（x）min=f（1）=2-a+b=-1，f（x）max=f（0）=b=1，解得a=4，b=1.

③當0

若-a327+b=-1，b=1，則a=332，與0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，則a=33或a=-33或a=0，與0

綜上，當且僅當a=0，b=-1，或a=4，b=1時，f（x）在區(qū)間［0，1］的最小值為-1，最大值為1.

點評：最值討論策略——當函數(shù)的圖象連續(xù)，討論其在閉區(qū)間上的最值時，要將函數(shù)在該區(qū)間上的極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行大小比較，在極值和區(qū)間端點函數(shù)值中，最大者為最大值，最小者為最小值.

另外，已知函數(shù)在某點處有極值或最值，求參數(shù)的

取值范圍時，通常采用以下方法：（1）采用逆

向思維先將參數(shù)當作常數(shù)，按照求極值的一般方法

求解，再依據(jù)極值與導數(shù)的關(guān)系，列等式（不等式）

求解；（2）根據(jù)函數(shù)在該點的導數(shù)列出等

式（不等式），再根據(jù)極值與導數(shù)的關(guān)系及題意

求解［6］.

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題是高中數(shù)學的重要學習內(nèi)容，函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值則是函數(shù)相對于整個定義域而言的.運用導數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，可以快速找到函數(shù)的極值點和最值，掌握函數(shù)的性質(zhì)和特點，從而對問題作出解答.

參考文獻：

［1］趙學慧.導數(shù)在求函數(shù)極值、最值問題中的應用［J］.中學

生數(shù)理化（學習研究），2019（4）：19.

［2］謝麗英.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問題［J］.中學生

數(shù)理化（教與學），2021（3）：87.

［3］鄧家利.高中數(shù)學解題中導數(shù)的應用分析——以“導數(shù)求解函數(shù)”為例［J］.數(shù)學之友，2022（24）：34-36.

［4］司春炎.利用導數(shù)求解函數(shù)極值和最值的方法探究［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（15）：16-17.

［5］郭惠英.利用導數(shù)求函數(shù)最值的三種方法［J］.中學數(shù)學，2023（11）：75-76.

［6］黃惠強.探究導數(shù)與函數(shù)極值、最值的實際運用［J］.數(shù)理化解題研究，2020（4）：11-13.