Mathematica在高中物理習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用

謝文海

［摘 要］Mathematica 能對物理規(guī)律進(jìn)行精確動態(tài)的仿真模擬。帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動是高考考查的重點情境之一。文章以Mathematica可視化帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡為例，探討如何借助Mathematica優(yōu)化習(xí)題教學(xué)過程，提高教學(xué)效率，以此幫助學(xué)生構(gòu)建直觀的物理圖像和掌握物理規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力及解決實際問題的能力。

［關(guān)鍵詞］Mathematica；磁場；動態(tài)圓；習(xí)題教學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0043-03

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提倡教學(xué)方式多樣化，要求教師通過多樣化的教學(xué)方式，利用現(xiàn)代信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生理解物理學(xué)的本質(zhì)［1］。教師應(yīng)積極將信息技術(shù)與物理教學(xué)進(jìn)行深度融合，提高物理教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。借助Mathematica可以將物理概念可視化，動態(tài)直觀地展示物理過程的變化，從而幫助學(xué)生理解物理概念和探究物理規(guī)律，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

Mathematica［2］是集符號計算、數(shù)值模擬、圖形繪制和仿真模擬于一體的強大數(shù)學(xué)軟件。借助Mathematica繪制二、三維圖像，不僅可以動態(tài)旋轉(zhuǎn)圖像，還可以調(diào)節(jié)參數(shù)實時改變圖像進(jìn)行人機交互，甚至可以進(jìn)行動畫模擬。目前，Mathematica的應(yīng)用已經(jīng)涵蓋高中物理的各個方面，有較復(fù)雜的計算過程求解，如單擺任意擺角下的振動［3］；有物理實驗數(shù)據(jù)的處理，如伏安特性曲線的處理［4］；有物理過程的模擬和物理圖像的描繪，如光的干涉和衍射［5-6］、波的干涉和衍射［7］、簡諧波的合成［8］等。本文主要借助Mathematica強大的數(shù)值模擬能力、圖像繪制能力和人機交互能力，展示其在高中物理習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用。

帶電粒子在磁場中的運動不僅是高中物理教學(xué)的重難點，還是高考頻頻考查的知識內(nèi)容。而帶電粒子在電磁場中復(fù)雜多變的運動情境，是對學(xué)生推理能力、建模能力、分析能力和解決問題能力的綜合考查。在高中物理習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生在構(gòu)造動態(tài)圓模型、找出粒子的臨界運動軌跡、發(fā)現(xiàn)規(guī)律等方面存在諸多困難。本文以Mathematica可視化帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡為例，探討如何借助Mathematica優(yōu)化習(xí)題教學(xué)過程，提高教學(xué)效率，以此幫助學(xué)生構(gòu)建直觀的物理圖像和掌握物理規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力及解決實際問題的能力［9-10］。

一、粒子速度方向相同、大小不同時，帶電粒子的運動軌跡

（一）例題展示

［例1］如圖1所示，邊長為[2L]的等邊三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，一束質(zhì)量為m、電荷量為[-q（q>0）]的同種帶電粒子（不計重力），從AB邊的中點，以不同速率沿平行于BC邊的方向射入磁場區(qū)域（均垂直于磁場方向射入），那從BC邊射出的粒子最小速率為多少？

如圖2所示，借助Mathematica軟件模擬給出了帶電粒子在三角形磁場中的運動軌跡。帶電粒子在磁場中運動的速度越大，半徑就越大。當(dāng)速度較小時，粒子從[AB]邊射出磁場，如圖2（1）所示。當(dāng)速度增大到運動軌跡恰好與[BC]邊相切時，帶電粒子從[BC]邊射出磁場的速度最小，運動軌跡如圖2（2）所示。此時，從幾何關(guān)系的角度不難算出圓的半徑滿足關(guān)系[R1=12Lcos30°=34L]，進(jìn)而求出速度的大小為[vmin=3qBL4m]。

（二）問題拓展

1.拓展一

本題還可以進(jìn)一步討論帶電粒子從[AB]和[AC]邊射出的速度范圍。如圖3所示，當(dāng)粒子的速度不同時，借助Mathematica軟件模擬給出了運動軌跡的縮放圓。此程序?qū)⑷肷渌俣萚v]看成放在微分方程的邊界條件中的一個參數(shù)，使用Mathematica軟件中的ParametricNDSolve命令可以計算出微分方程依賴參數(shù)[v]的數(shù)值解。此外，還使用Table函數(shù)對[v]賦不同的數(shù)值，并用ParameterPlot命令將在不同入射速度[v]的情況下帶電粒子在磁場中的運動軌跡都呈現(xiàn)在圖中，如圖3所示。

相同帶電粒子在同一勻強磁場中做勻速圓周運動，速度越大半徑越大，從圖3中可以看出，當(dāng)速度較小時，粒子從AB邊射出，而當(dāng)速度增大到運動軌跡與BC邊相切時，從AB邊射出的速度最大，如圖2（2）所示。因此，粒子從磁場AB邊射出的范圍為[03qBLm]時，帶電粒子從AC邊射出，如圖2（4）所示。

2.拓展二

借助Mathematica不僅能討論從BC邊入射速度[v]的臨界值，還可以討論當(dāng)質(zhì)量、電荷量和帶電粒子在磁場中的初始位置不同時，甚至射入磁場的角度不同時，從BC邊射出磁場時的速度的臨界值。

如圖4所示，當(dāng)使用進(jìn)度條改變磁感應(yīng)強度、射入磁場的初始位置以及入射角度的大小時，Mathematica程序自動更新了帶電粒子恰好從BC邊射出磁場速度達(dá)臨界值時的運動軌跡。如圖4（1）所示，當(dāng)帶電粒子的質(zhì)量、電荷量、射入磁場的初始位置和入射角度都不變時，僅僅改變磁感應(yīng)強度的大?。▓D中用符號顏色透明度表示磁感應(yīng)強度大小），不僅有利于學(xué)生直觀地感受磁場強度對帶電粒子偏轉(zhuǎn)規(guī)律的影響，而且增強了程序的直觀視覺效果。如圖4（2）、（3）所示，當(dāng)其他條件不變時，僅改變帶電粒子射入磁場的初始位置，Mathematica程序便給出了帶電粒子從BC邊射出的臨界運動軌跡。

圖中的初始位置代表帶電粒子射入點離O點的距離。當(dāng)改變帶電粒子射入磁場的初始位置時，Mathematica程序自動更新了帶電粒子從磁場BC邊射出的臨界軌跡和臨界速度的公式。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始位置離A點越近時，帶電粒子從BC邊射出的運動半徑就越大，臨界速度就越大，離A點越遠(yuǎn)時，臨界速度就越小。

同理，當(dāng)改變?nèi)肷浣嵌葧r，粒子從[BC]邊射出磁場的臨界速度[v]如圖4（4）所示。教師可以引導(dǎo)學(xué)生計算出速度的大小，并對圖中的結(jié)果進(jìn)行驗證。教師還可以拖動進(jìn)度條改變參數(shù)，直觀動態(tài)地將粒子的運動軌跡呈現(xiàn)出來。

二、粒子速度大小相同、方向不同時，帶電粒子的運動軌跡

（一）例題展示

［例2］如圖5所示，在直角坐標(biāo)系[xOy]中，x軸上方有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為[B]，磁場方向垂直于紙面向外。許多質(zhì)量為m、電荷量為[+q]的粒子，以相同的速率v沿紙面向內(nèi)，由x軸負(fù)方向與y軸正方向之間的各個方向從原點O射入磁場區(qū)域。不計重力及粒子間的相互作用，畫出帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域（其中[R=mvqB]）。

如圖6所示，借助Mathematica軟件模擬給出了可視化旋轉(zhuǎn)圓的運動軌跡。在Mathematica程序中，僅僅改變帶電粒子的入射角度，帶電粒子圓周運動的軌跡就開始旋轉(zhuǎn)。當(dāng)帶電粒子沿[x]軸負(fù)方向運動的時候，其軌跡如圖6所示，是一個完整的圓，隨著粒子的出射角度向[y]軸正方向逐漸轉(zhuǎn)動，這個圓逐漸沿順時針方向轉(zhuǎn)動；當(dāng)帶電粒子沿[y]軸正方向運動的時候，其軌跡為一個半圓。根據(jù)分析，在這個軌跡圓轉(zhuǎn)動的過程中，圖中完整的圓與半圓相交的部分不會有帶電粒子經(jīng)過。

（二）問題拓展

本題還可以進(jìn)一步討論，當(dāng)帶電粒子帶負(fù)電、磁場向里以及帶電粒子的速度方向范圍不同時，帶電粒子可能通過的區(qū)域。

如圖7所示，借助Mathematica軟件模擬給出了當(dāng)帶電粒子帶負(fù)電、磁場向里以及帶電粒子的速度方向范圍不同時，帶電粒子可能通過的區(qū)域。當(dāng)帶電粒子為負(fù)電荷時，通過的范圍如圖7（1）所示，僅僅為半圓的面積。如圖7（2）所示，當(dāng)帶電粒子為負(fù)電荷，磁場方向垂直于紙面向里時，帶電粒子在磁場中通過的區(qū)域與磁場方向垂直于紙面向外的正電荷運動的區(qū)域相同。如圖7（3）所示，借助Mathematica軟件模擬給出了當(dāng)帶電粒子入射方向與[x]軸正方向的角度在[π4 ]～[ 3π4]范圍內(nèi)時帶電粒子通過的區(qū)域。

帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動是高考考查的重要情境之一。此情境不僅注重基礎(chǔ)知識、物理概念的考查，還對學(xué)生的圖文獲取能力、幾何素養(yǎng)、推理能力和模型建構(gòu)能力以及學(xué)科素養(yǎng)、思維水平和綜合能力有較高的要求。

教師可以將Mathematica程序做成課件或者動畫呈現(xiàn)在課堂教學(xué)中，給學(xué)生創(chuàng)造出可視化和動態(tài)化的教學(xué)情境，從而大大降低學(xué)生對磁場習(xí)題的理解難度。此外，教師也可以利用Mathematica提高學(xué)生的課堂參與度，如讓學(xué)生親自移動Mathematica程序中的進(jìn)度條進(jìn)而改變物理量，然后觀察帶電粒子在磁場中運動軌跡的實時動態(tài)更新。這樣，不僅能讓學(xué)生在參與的過程中加深對磁場中動態(tài)圓運動規(guī)律的理解，而且能使課堂更加有趣和高效。教師還可以通過Mathematica程序?qū)α?xí)題進(jìn)行拓展性講解，這樣不僅能夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，而且能提高學(xué)生對知識的遷移能力和靈活運用能力。使用Mathematica演示動態(tài)圓程序，不僅能突破難點，而且能幫助學(xué)生完成從抽象思維向形象思維的轉(zhuǎn)變，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

基于Mathematica軟件仿真程序，將信息技術(shù)與物理教學(xué)進(jìn)行深度融合，模擬出帶電粒子在磁場中運動的動態(tài)圓軌跡，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)可視化、動態(tài)化的教學(xué)情境，能促進(jìn)學(xué)生有效掌握物理規(guī)律，突破學(xué)習(xí)難點。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 沃爾夫雷姆.MATHEMATICA［M］.赫孝良，周義倉，譯.西安： 西安交通大學(xué)出版社，2002.

［3］? 謝忠偉.應(yīng)用Mathematica計算單擺任意擺角下的振動曲線［J］.亞太教育，2016（35）：117.

［4］? 尹芬芬，王應(yīng).Mathematica在伏安法測試電阻實驗的應(yīng)用［J］.集成電路應(yīng)用，2019（6）：76-77.

［5］? 任繼陽，劉心益.運用Mathematica描繪光的多縫衍射圖樣［J］.玉溪師范學(xué)院學(xué)報， 2011（4）：61-64.

［6］? 陳學(xué)文，羅源源，張家偉，等.光的衍射的理論分析及Mathematica仿真模擬［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018（11）：156-161.

［7］? 陳顯盈，尤愛惠.用Mathematica演示波的衍射、干涉現(xiàn)象［J］.物理通報，2010（11）：95-96.

［8］? 陳大偉，斯小琴.Mathematica模擬簡諧振動的合成［J］.物理通報， 2017（4）：111-114.

［9］? 滕艷萍，郭桂周，楊碩.應(yīng)用Mathematica軟件優(yōu)化高中物理教學(xué)研究［J］.物理通報，2018（1）：73-78.

［10］? 谷程鵬，陳武靜，文偉.Mathematica交互式程序在高中物理教學(xué)的應(yīng)用［J］.物理通報，2022（11）：132-136.

（責(zé)任編輯 黃春香）