高中數(shù)學(xué)課堂環(huán)境建設(shè) 涵育邏輯推理素養(yǎng)

賁維維

課題信息：南通市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向邏輯推理素養(yǎng)涵育的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究”，課題編號為GH2021111.

1 課堂環(huán)境要素分析，涵育邏輯推理素養(yǎng)

1.1 教師的教學(xué)行為

教師在課堂上的表現(xiàn)會對課堂環(huán)境產(chǎn)生重要影響，如教師的授課方式、語言提示、情緒控制等.

1.2 學(xué)生的態(tài)度

學(xué)生的態(tài)度包括學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)態(tài)度，興趣，學(xué)生的參與度，以及師生、生生之間的互動反饋與交流.而在這一點上學(xué)生的參與度普遍不高，也許這與緊張的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)、學(xué)生的思維發(fā)展層次有關(guān).

1.3 課堂評價體制

教師對學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)情況的評價和反饋，它包括評價的標(biāo)準(zhǔn)、評價的內(nèi)容、評價的形式和評價的時間等方面.傳統(tǒng)的課堂評價體制主要依靠考試、作業(yè)、測驗等形式來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)成績和能力，注重量化的結(jié)果和結(jié)果的比較.而現(xiàn)代的課堂評價體制則更加注重學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)，強調(diào)過程性和發(fā)展性評價，注重評價的個性化和多樣性.

2 涵育邏輯推理素養(yǎng)的課堂環(huán)境建設(shè)措施

（1）在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)啟發(fā)引導(dǎo)，進(jìn)行有效的思維訓(xùn)練.

作為教師，我們都有這樣的感受：一道題講了不下三遍，可學(xué)生還是掌握得不好.是學(xué)生上課根本沒有聽懂嗎？那倒不是.人腦在大部分情況下，過一段時間學(xué)過的新東西如果不鞏固就會遺忘.我們教師所能做的就是讓學(xué)生學(xué)會推理，運用已掌握的知識從某個題眼出發(fā)進(jìn)行分析，加深每個個體處理問題的印象.鼓勵學(xué)生提出自己的想法，并給予適時恰當(dāng)?shù)目隙?

例如，下面這道試題，教師在講解時可以從不同的角度對題目進(jìn)行引導(dǎo)和剖析，學(xué)生便會產(chǎn)生不同的解題方法，獲得成功的體驗.

題目? △ABC中，AB=4，AC=2，∠A=2π3，D為邊BC上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

題眼1：由AD⊥AC聯(lián)想建立坐標(biāo)系（如圖1），關(guān)鍵是求點D的坐標(biāo).

由C，B，D三點共線，

可知CB∥CD.設(shè)D（0，t）.

又CB=（-4，23），CD=（-2，t），所以可得

t=3.

故S△ABD=12×3×4×sin 30°=3.

題眼2：通過解三角形求AD的長度.

在△ABC中，先由余弦定理求出BC=27，再由正弦定理求出sin C=217，在Rt△ADC中可以進(jìn)一步算出AD的長度.

題眼3：D為邊BC上一點，考慮到AD將△ABC進(jìn)行了分割，從面積比的角度可得

S△ABDS△ACD=BDCD=12AB×AD×sin 30°12AC×AD=1.

所以D為BC中點.

故S△ABD=12S△ABC=3.

題眼4：D為邊BC上一點，S△ABD相對于S△ABC而言，本質(zhì)上是求D為BC的幾等分點，如圖2，從幾何作圖的角度可想到過B點向AC作垂線（垂足為H），易得A為HC的中點，故D為BC的中點.

教師在一題多解和一題多變的基礎(chǔ)上讓學(xué)生思考問題解決的通性通法，學(xué)會優(yōu)選，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

（2）教師在推理的教學(xué)過程中注重數(shù)學(xué)模塊知識與方法的歸納、整合與優(yōu)化，從邏輯關(guān)系上構(gòu)建知識框架，從知識的本源進(jìn)行再創(chuàng)造.

例如，高三一輪復(fù)習(xí)中對直線的平行與垂直進(jìn)行知識建構(gòu)時，教師可以參考蘇教版選擇性必修一教材中的鏈接內(nèi)容，將直線的法向量、求軌跡方程的基本方法進(jìn)行有效整合，設(shè)計出既簡潔又蘊含重要方法的問題鏈.設(shè)直線l的法向量為n=（A，B），l上的定點Q（x0，y0），任意一點P（x，y），則由n＼5PQ=0，得A（x-x0）+B（y-y0）=0，

即Ax+By+C=0.

若l1⊥l2，n1=（A1，B1），n2=（A2，B2），則n1·n2=A1A2+B1B2=0.

類似地，當(dāng)l1∥l2時，你能得到什么結(jié)論？

借助直線的法向量的這種關(guān)系，還可以推出圓的直徑式方程，你會推導(dǎo)嗎？

應(yīng)用：若點P在圓C上，求在點P處圓的切線方程.（利用向量的垂直關(guān)系即可推導(dǎo).）

思考：若P（x0，y0）在圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外，過點P作圓C的切線，切點分別為M，N，求切點弦MN所在直線的方程.

思維一：切點M，N在以CP為直徑的隱圓上，又在圓C上，所以可以用兩圓方程相減得公共弦MN所在直線方程，這里求隱圓的過程直接用向量解決.

思維二：由應(yīng)用知在M（x1，y1）處的切線方程為

（x1-a）（x-a）+（y1-b）（y-b）=0;①

在N（x2，y2）處的切線方程為

（x2-a）（x-a）+（y2-b）（y-b）=0.②

因兩條切線均過點P（x0，y0），故點P既滿足①式，也滿足②式，所以切點弦MN所在的直線方程為

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=0.

這樣不僅用向量的知識從平行、垂直關(guān)系上梳理了一條邏輯主線，而且能讓學(xué)生在親身體驗推演的過程中學(xué)會更多的思想方法，鍛煉了思維的深刻性.

（3）鼓勵學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行質(zhì)疑和思考，對自己所犯的每個錯誤點進(jìn)行反思和改進(jìn)，培養(yǎng)他們批判性思維和分析問題的能力.

要鼓勵學(xué)生自主思考，站在多個角度思考問題，并運用邏輯推理的方法進(jìn)行思考和分析.教學(xué)中不僅講究解題策略，更要強化逆向思維、等價轉(zhuǎn)化思想、反證法的應(yīng)用，注重概念教學(xué)的生成和辨析，尤其要利用好充分必要條件、充分不必要條件等概念說明前后邏輯之間的關(guān)系.

在一次模擬考試中，有一道多選題：

設(shè)a，b是兩個非零向量，且|a+b|<|a|+|b|，則下列結(jié)論中正確的是（? ）.

A.|a-b|≤|a|+|b|

B.|a-b|<|a+b|

C.a，b的夾角為鈍角

D.若a=λb成立，則λ<0

本題答案是“AD”，但有一半的學(xué)生未選A，原因是沒有厘清條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.條件是向量夾角θ∈（0，π］，而A的結(jié)論為θ∈［0，π］，很多同學(xué)誤認(rèn)為二者不等價時就是錯誤的，并未理解真命題的含義（條件結(jié)論，即由小可推大）.

（4）強化推理證明教學(xué)，營造合作、民主、互動交流的學(xué)習(xí)氛圍.

教師運用目標(biāo)分析教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明，讓學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)定理和公式背后的原理.對于難題，可以利用合作、探究的方式讓學(xué)生進(jìn)行集體思考和合作解決，促進(jìn)彼此之間的互動和交流.鼓勵學(xué)生分享自己的思考過程和解題思路，互相學(xué)習(xí)和借鑒，在碰撞中產(chǎn)生思維的火花.同時配以鍛煉學(xué)生推理能力的開放性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解題能力.

（5）創(chuàng)設(shè)多元化的情境教學(xué)，讓學(xué)生產(chǎn)生探究欲.

以生動活潑、寓教于樂的方式，喚起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲.可以運用故事、畫圖象、舉實例等方式，讓抽象的邏輯推理問題更加具體和可感知.此外，教師還應(yīng)將現(xiàn)代教育信息技術(shù)融入課堂，通過合作、討論、探究等方式，賦予學(xué)生多維度的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，彌補以往過程性教學(xué)中的學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗方面的不足.

（6）建立教師評價與學(xué)生小組評價相結(jié)合的課堂表現(xiàn)評價體制.

教師要了解班上的每一位學(xué)生，對于內(nèi)斂型的學(xué)生要多鼓勵，多肯定他們在課堂上提出的每個想法，鼓勵他們參與到小組合作和交流中去；對于外向懶散型的學(xué)生，上課多給他們表現(xiàn)的機(jī)會，讓他們找到自己的不足，針對每次的學(xué)習(xí)成果多去總結(jié)和制訂下一階段的目標(biāo).教師通過與學(xué)生的交流也會發(fā)現(xiàn)自己教學(xué)中的不足，改進(jìn)教學(xué).在課堂的開始環(huán)節(jié)，教師的有效調(diào)動，才能使學(xué)生產(chǎn)生好奇心從而更快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)；在課堂上對于學(xué)生的創(chuàng)新性想法教師要給予及時的肯定，以培育他們深度思維的習(xí)慣；課堂的結(jié)尾部分，讓學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié)本節(jié)課的知識點和思想方法，這樣他們會有滿滿的成就感.在一節(jié)課結(jié)束之前，教師可以對學(xué)生的參與度進(jìn)行點評，在情緒上加以激勵等.

教師是課堂的組織者，學(xué)生是課堂的參與者，課堂評價體制的建立可以促進(jìn)學(xué)與教的有機(jī)融合.教師在課前的精心設(shè)計，課中的適時鼓勵，學(xué)生在課末的反思和質(zhì)疑，都與涵育邏輯推理素養(yǎng)的課堂環(huán)境分不開，一個數(shù)學(xué)課堂是否高效，主要取決于學(xué)生的思維參與度.

因此，教師不僅要深入鉆研自己的學(xué)科教學(xué)，更要掌握科學(xué)的推理思維方式用于指導(dǎo)學(xué)生深度思考，以學(xué)情為基礎(chǔ)，以培養(yǎng)興趣為契機(jī)，通過數(shù)學(xué)課堂主陣地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造性思維，提高他們的邏輯推理素養(yǎng).