基于核心素養(yǎng)的高中概率統(tǒng)計的教學感悟

李菲菲

課題信息：南京市第十二期個人課題“基于核心素養(yǎng)的高中概率統(tǒng)計的教學研究”，課題編號為Ec317.

在“概率與統(tǒng)計”實際教學中，教師應重視學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學處理、數(shù)據(jù)建模等能力的培養(yǎng)，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，掌握數(shù)據(jù)分析的方法.筆者結(jié)合“概率與統(tǒng)計”中的幾個典型案例，談談對“概率與統(tǒng)計”教學的感悟.

1 明晰概率模型

概率主要是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科，其在生活中隨處可見，有著重要的應用價值，它是統(tǒng)計的思想基礎(chǔ)，也是重要的工具.概率的模型眾多，如高中階段的概率初步模型中有幾何概型、古典概型、互斥事件概率、條件概率等，隨機變量模型中包括幾何分布、正態(tài)分布、二項分布等.因其模型眾多，為此理解并掌握這些概率模型成為了概率與統(tǒng)計的重點、難點和關(guān)鍵點.縱觀歷屆高考容易發(fā)現(xiàn)，造成失分的主要原因就是很多學生對這些概率模型理解不深，在解題時常常張冠李戴.為此，在教學中教師要充分利用好教材資源，挖掘各種概率模型之間的區(qū)別和聯(lián)系，揭示概率模型的本質(zhì)特征，進而便于學生在解題時可以準確選擇模型，順利求解.

例1? 現(xiàn)將號碼各不相同的100張卡片放在抽獎箱中，從中任意抽取1張記錄后，將其重新放回抽獎箱，重復20次.證明：p<91019<1e2（其中p表示抽得的20個號碼互不相同的概率）.

證法1：由已知可知這100張?zhí)柎a各不相同，這樣若從中任意抽取1張則有100種結(jié)果，另外因為抽取并記錄后又將其放回，為此連續(xù)抽取20次就有10020種結(jié)果，其中20個號碼互不相同的有A20100種結(jié)果，每個結(jié)果都是等可能的，因此由古典概型的計算公式可得p=A2010010020，于是證明A2010010020<91019<1e2（不等式證明略）.

證法2：因為抽取的20張卡片各不相同，為此在計算時可以分步進行.第1次抽取是在100張各不相同的卡片中抽取，則任抽1張的概率為100100；第2次同樣有100張卡片，但因為第1次已經(jīng)抽取了一張，則第2次抽出互不相同卡片的概率為99100；依次類推，第20次抽取時，卡片的總數(shù)依舊為100張，然前面已抽取了19次，則抽出互不相同卡片的概率為81100.由條件概率的計算公式得p=100100×99100×98100×……×81100，不等式證明略.

從學生解題的反饋來看，大多數(shù)學生從已知條件出發(fā)，根據(jù)題設信息判斷其符合有限性、等可能性兩大特點，所以選擇應用古典概型來解決問題.不過在具體實施過程中，部分學生對結(jié)果是否有序理解不清，給出的答案為p=C2010010020，顯然整體事件中包括了同一種號碼排列順序不同的情況，所以其正解不是p=C2010010020，而是p=A2010010020；也有的學生認為每次抽出后又放回，這樣每次抽出已知號碼概率均為1100，所以選擇利用二項分布解決問題，但是從二項分布事件發(fā)生的次數(shù)為0，1，2……顯然不適合二項分布.

為了讓學生能夠準確識別并應用各種概率模型，在完成例1的講解后，筆者給出了如下變式題目進行強化練習.

變式1? 現(xiàn)有10張編號由1到10的卡片，從中任取3張，求恰好有2張?zhí)柎a能被3整除的概率.

變式2? 現(xiàn)有10張編號由1到10的卡片，從中任意抽取1張，記錄號碼后放回，重復3次，則隨機抽取的3張卡片中，有2張恰好被3整除的概率是多少？

可見，概率問題是非常靈活多變的，稍加修改其解題思路就會完全不同，另外即使同一問題也可能蘊含著不同的概率模型.

為此，若想順利求解，必須要掌握各個模型的本質(zhì)特征，從而準確地識模用模.

2 熟識統(tǒng)計圖表

圖表可以直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，為此在統(tǒng)計分析時自然離不開圖表.識圖用圖也是高中數(shù)學教學的一項重要內(nèi)容，對于識圖，要具備能夠從不同圖表中提取重要信息的能力；對于用圖，學生要明晰圖表的功能，以便結(jié)合實際問題選擇合適的圖表，將使雜亂無章的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為可視化的圖表，進而使問題變得更加直觀明了.

例2? 某加工廠計劃購買2臺新機器，該機器的使用壽命為3年.機器上有一個零件極易破損，為此在購買新機器時可以同時購買一些易破損零件備用.若在購買新機器時同時購買，該零件每個只需200元，否則每個500元.為了尋求最佳的購買方案，該廠搜集并整理了100臺同樣型號機器3年內(nèi)更換零件個數(shù)（如圖1）.

以100臺機器更換該零件的頻率代替1臺機器更換該零件的概率，記X表示2臺機器3年內(nèi)共更換該零件的個數(shù)，n表示購買2臺機器時購買該零件的個數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值.

解析：由圖1可知，1臺機器在3年內(nèi)更換的易損零件數(shù)分別為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.令x1表示第一臺機器3年內(nèi)更換易損零件個數(shù)，x2表示第二臺機器3年內(nèi)更換易損零件個數(shù)，則兩臺計機器3年更換該零件個數(shù)如表1所示：

表1

x1

x2

891011

8（8，8）（8，9）（8，10）（8，11）

9（9，8）（9，9（9，10）（9，11）

10（10，8）（10，9（10，10）（10，11）

11（11，8）（11，9（11，10）（11，11）

這樣結(jié)合表1，可得7種不同的結(jié)果.根據(jù)頻數(shù)易得P（X=16）=P（x1=8）P（x2=8）=0.2×0.2=0.04；P（X=17）=P（x1=9）P（x2=8）+P（x1=8）＼5P（x2=9）=2×0.2×0.4=0.16.同理可得

P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;

P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;

P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;

P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08;

P（X=22）=0.2×0.2=0.04.

于是，可得X分布列如表2所示：

表2

X16171817202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）由表2可知，P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，故滿足P（X≤n）≥0.5的n的最小值為19.

由此可見，例2的兩個問題主要考查了學生識圖和用圖的能力，利用圖表逐漸將問題向簡單化和直觀化轉(zhuǎn)化，大大提升了解題效率.

3 分解復雜事件

解決復雜事件時，一般先將事件字母化，即用字母A，B，C，Ai，Bj，Ck等表示所涉事件；然后將事件簡單化，即將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和或先求對立事件的概念，再運用公式求解.這樣將問題逐漸簡單化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的重要應用.

例3? 質(zhì)檢部針對某批出口產(chǎn)品制訂如下檢測方案：優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記作n.

先從這批產(chǎn)品中任取4件進行檢驗，這4件中符合以下兩種情況可以通過檢測.第一種情況：若n=4，再從這批產(chǎn)品中任意一件，若為優(yōu)質(zhì)品，則通過檢測；第二種情況：若n=3，再從這批產(chǎn)品中任抽4件進行檢測，若都為優(yōu)質(zhì)品，則通過檢測.假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為50%，求這批產(chǎn)品通過檢測的概率.

解析：首先將事件字母化.

A1=“第一次任取4件產(chǎn)品中，n=3”；

B1=“第一次任取4件產(chǎn)品中，n=4”；

B2=“第二次任取的4件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品”；

C2=“第二次任取1件為優(yōu)質(zhì)品”；

D=“通過檢測”.

易得D=（A1B2）∪（B1C2），A1B2與B1C2互斥，A1與B2，B1與C2相互獨立，任取4件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)服從二項分布.分析至此，問題可以迎刃而解.

在解題時不要急于求成，要根據(jù)已知條件進行逐層解讀，逐層分析，進而將復雜事件逐漸向簡單事件轉(zhuǎn)化，這樣可以應用計算公式輕松求解問題.

另外，數(shù)據(jù)處理也是學好概率與統(tǒng)計所必備的關(guān)鍵能力，其一般要經(jīng)過收集、整理、提取、建模等過程，綜合性更強，然限于篇幅，對于數(shù)學處理就不再詳細闡述.總之，基于核心素養(yǎng)的概率統(tǒng)計教學，有助于幫助學生走出教考困境，有助于培養(yǎng)學生的核心競爭力，有助于學生綜合學力的全面提升.