數(shù)學(xué)文化巧滲透，高考命題妙創(chuàng)新

張傳干

數(shù)學(xué)不僅僅是“科學(xué)的數(shù)學(xué)”，而且還是“文化的數(shù)學(xué)”.在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生深刻、清楚地認(rèn)識到數(shù)學(xué)的文化價值與底蘊(yùn)，并認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，更重要的是通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不斷豐富心靈、完善人格，從而真正領(lǐng)悟到中華傳統(tǒng)文化是我們民族之根，是中華民族延續(xù)的紐帶，更是“立德樹人”、繁衍發(fā)展的文化基因，蘊(yùn)含著強(qiáng)大感召力的文化積淀.

近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，經(jīng)常出現(xiàn)一些以數(shù)學(xué)文化為背景的新穎題型.這類試題蘊(yùn)含著濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想方法、傳統(tǒng)文化等融為一體，有效地考查學(xué)生在新情境下對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解，既弘揚(yáng)了中華傳統(tǒng)文化，又檢測了學(xué)生思維的廣度和深度，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

1 弘揚(yáng)數(shù)學(xué)名著成果

例1? 魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是一部關(guān)于數(shù)學(xué)測量的著作，其中就有涉及測量海島的高的方法.如圖1，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=（? ）.

A.表高×表距表目距的差+表高

B.表高×表距表目距的差-表高

C.表高×表距表目距的差+表距

D.表高×表距表目距的差-表距

分析：合理分析與理解題目條件并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用平面幾何圖形的直觀性，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，合理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系，結(jié)合線段之間的關(guān)系即可得出.

解析：如圖2所示，連接FD并延長交AB于點(diǎn)M，設(shè)∠BDM=α，∠BFM=β，則有AB=AM+BM=DE+BM，

而MF-MD=MBtan β-MBtan α=DF.

又易得tan β=FGGC，tan α=DEEH.

所以MBtan β-MBtan α=MB1tan β-1tan α=MB＼5GCFG-EHDE=MB·GC-EHDE=DF.

于是MB=DE·DFGC-EH=表高×表距表目距的差，所以AB=DE+BM=表高+表高×表距表目距的差.故選：A.

點(diǎn)評：該題以數(shù)學(xué)名著介紹的測量方法為問題背景，充分體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果與聰明才智.通過數(shù)形結(jié)合加以直觀想象，體驗(yàn)知識的形成過程，綜合考查直觀想象、數(shù)形結(jié)合以及邏輯推理等能力與素養(yǎng)，以及靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來分析與解決實(shí)際問題的能力.

2 彰顯數(shù)學(xué)名家成就

例2? （2023年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)二模試卷）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖3所示）.記大正方形和小正方形的面積分別為S1和S2，若S1S2=5，則直角三角形的勾（較短的直角邊）與股（較長的直角邊）的比值為.

分析：依題意可設(shè)直角三角形的短直角邊長為x，則長直角邊長為x+S2，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得以確定直角三角形的兩條直角邊長之間的關(guān)系，即可確定直角三角形的勾與股的比值.

解析：設(shè)直角三角形的短直角邊長為x，則長直角邊長為x+S2.

依題利用勾股定理，可以得到（S1）2=x2+（x+S2）2，并結(jié)合S1S2=5，解得x=S2或x=-2S2（舍去）.

所以較長的直角邊長為x+S2=2S2，較短的直角邊長為S2.因此，直角三角形的勾與股的比值為12.故填：12.

點(diǎn)評：以數(shù)學(xué)文化為問題背景，利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長，通過面積關(guān)系，進(jìn)一步確定勾與股的比值問題.該題考查了三角形中的幾何計算和勾股定理，考查代數(shù)運(yùn)算能力、邏輯推理能力等.

3 發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)藝術(shù)

例3? 〔2024屆云南省昆明市西南聯(lián)大研究院附中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷〕窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.窗花是農(nóng)耕文化的特色藝術(shù)，農(nóng)村生活的地理環(huán)境，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)特征以及社會的習(xí)俗方式，也使這種鄉(xiāng)土藝術(shù)具有了鮮明的中國民俗情趣和藝術(shù)特色.如圖4所示的四葉形窗花是由一些圓弧構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，若設(shè)外圍虛線正方形的邊長為a，則窗花的面積為（? ）.

A.22-1-π2a2

B.22-1+π2a2

C.（π+2-1）a2

D.π2+2-1a2

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用四葉形窗花所對應(yīng)平面圖形的對稱性，每一個“花瓣”（圖5陰影）的面積等于三角形ACE的面積減去扇形AOB，扇形DOE與三角形BCD的面積的和，即可求得窗花的面積.

解析：根據(jù)正方形以及四葉形窗花所對應(yīng)平面圖形的對稱性，可知窗花的一個“花瓣”（陰影部分）的面積S=S△ACE-2S扇形AOB-S△BCD，即

S=12a2-π4×22a2-12×a-22a2=22-14-π8a2.

所以窗花的面積為22-1-π2a2.故選：A.

點(diǎn)評：此題以我國傳統(tǒng)文化——“窗花”為背景考查數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用問題，巧妙融入平面幾何圖形與面積的分析求解，考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等基本核心素養(yǎng)，在核心素養(yǎng)的培育中滲入數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.

4 展現(xiàn)數(shù)學(xué)民間活動

例4? 〔2024屆廣東省茂名市信宜市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷〕“猜燈謎”又叫“打燈謎”，元宵節(jié)的一項(xiàng)活動，出現(xiàn)在宋朝.南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多.開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜.因?yàn)橹i語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道.假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等.任選一道燈謎，則甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率為.

分析：依題意分別設(shè)出對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，進(jìn)而確定對于任選一道燈謎時甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率.

解析：設(shè)事件A=“甲猜對該道燈謎”，事件B=“乙猜對該道燈謎”，事件C=“任選一道燈謎時恰有一個人猜對”，則依題可知P（A）=1220=35，P（B）=820=25.

因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，所以P（C）=P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P（A）＼5［1-P（B）］+［1-P（A）］P（B）=35×1-25+1-35×25=1325.故填：1325.

點(diǎn)評：以中華民族傳統(tǒng)的民間活動——“猜謎”為創(chuàng)新問題情境來巧妙設(shè)置數(shù)學(xué)文化問題，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率、獨(dú)立重復(fù)事件以及概率的加法等知識來交匯融合與綜合應(yīng)用，考查學(xué)生應(yīng)用概率知識來處理實(shí)際應(yīng)用問題的能力，以及概率與統(tǒng)計思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等核心素養(yǎng).

中國的文化與中國的數(shù)學(xué)文化歷史長遠(yuǎn)悠久，無論是理論層面還是實(shí)踐層面，中國古代數(shù)學(xué)及其相關(guān)的文化至今仍有很大的研究價值和現(xiàn)實(shí)意義.近幾年高考數(shù)學(xué)試題把其中的精華部分巧妙引入到數(shù)學(xué)考試內(nèi)容中去，合理創(chuàng)設(shè)，巧妙命題，融合數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化，充分發(fā)揮了春風(fēng)化雨、潤物無聲的作用；在弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化的同時，幫助學(xué)生樹立正確的人生觀、價值觀，增強(qiáng)民族自信心與自豪感.