高速公路平面坐標系建立問題的探討

摘 要：【目的】解決高速公路平面坐標系的建立問題，提高平面坐標系的測設精度，有效確保工程建設質量?！痉椒ā扛鶕?jù)高斯正形投影誤差計算公式和誤差限差理論，分析高斯正形投影誤差的組成及各部分的大小，利用平移量計算高速公路平面坐標系的中央子午線和投影高，將標準坐標系下控制點坐標轉化為新坐標系下坐標。【結果】對新坐標進行精度驗算，兩點間通過坐標反算獲得的平距與實測平距的差值處于允許范圍之內，建立了滿足高速公路工程精度需要的新坐標系。【結論】實踐表明：高速公路平面坐標系可根據(jù)計算所得的中央子午線和投影高來建立具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系，且新建平面坐標系下各控制點的變形量都能滿足規(guī)范精度與設計要求。

關鍵詞：平面控制測量；任意帶；高斯投影；高程投影面

中圖分類號：P217????? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1003-5168（2024）08-0066-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.08.013

Exploration Problems of Establishing the Plane Coordinate System for

Highways

HU Yi

（Sichuan Transportation Survey and Design Research Institute Co.， Ltd.， Chengdu 610017， China）

Abstract： [Purposes] This paper aims to solve the problem of establishing a plane coordinate system for highways， improve the measurement accuracy of the plane coordinate system， and effectively ensure the quality of engineering construction. [Methods] Based on the calculation formula and error tolerance theory of Gaussian conformal projection error， the author analyzed the composition of Gaussian conformal projection error and the size of each part. Using the translation amount， the central meridian and projection height of the highway plane coordinate system were calculated， and the control point coordinates under the standard coordinate system were transformed into coordinates under the new coordinate system. [Findings] The accuracy of the new coordinates was checked， and the difference between the horizontal distance obtained through coordinate inverse calculation and the measured horizontal distance between the two points was within the allowable range. A new coordinate system was established to meet the accuracy requirements of highway engineering. [Conclusions] Practice has shown that the plane coordinate system of highways can be established into any Gaussian orthomorphic projection plane rectangular coordinate system with compensated elevation plane based on the calculated central meridian and projection height， and the deformation of each control point under the new plane coordinate system can meet the specification accuracy and design requirements.

Keywords： plane control survey; arbitrary band; gaussian projection; elevation projection surfaces

0 引言

隨著我國高速公路建設由平原丘陵地區(qū)向山區(qū)不斷延伸，工程建設技術要求不斷提高，新興勘察技術不斷地被應用，國家統(tǒng)一的3°帶高斯正形投影平面直角坐標系［1］難以滿足現(xiàn)階段高速公路建設的需要，特別是特大橋、特長隧道的投影變形量應遠遠小于基本變形量25 mm/km［2］，因此，在高速公路初步設計階段，結合線路走向、線路設計高度、沿線重要構筑物尺寸等，建立合理有效的線路平面坐標系，以控制投影變形對工程建設的影響，從而保證工程各階段的順利實施。

具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系不僅能高效控制投影變形，還能與3°帶高斯正形投影平面直角坐標系建立聯(lián)系，被廣泛應用于工程建設各個階段。通過分析投影變形引起的誤差，可以建立滿足項目需求且具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系［3-6］，從而作為高速公路的平面坐標系。

1 投影變形分析

地球形狀是橢球形，是一種立體的形狀，應使用三維坐標才能對其進行表達。然而，在工程建設中常使用二維坐標。為了將三維坐標轉化為二維坐標，通常使用高斯正形投影將橢球面上的元素投影到平面上。在這個過程中，角度不發(fā)生變化，但長度會發(fā)生變形。這個變形量的大小由實測邊長歸算到橢球面上時產生的變形量和橢球面上邊長歸算到高斯投影面上時產生的變形量共同決定［7］?？捎墒剑?）、式（2）、式（3）求得。

[△s1= -sHmR] （1）

[△s2≈s0y2m2R2m] （2）

[△s=△s1+△s2≈ y2m2R2m-HmRs]?? （3）

以上式中：[Hm]為歸算邊高出參考橢球面的平均高度，m；[s]為歸算邊的長度，m；[R]為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑，m；[ym]為歸算邊兩端點橫坐標平均值，m；[Rm]為參考橢球面平均曲率半徑，m；[s0]為投影到參考橢球面上的歸算邊長度，m，[s0=s+△s1]。

當取[Rm]≈R=6 371 393 m時，根據(jù)式（3）計算可得每公里投影變形隨[ym]和[Hm]變化的情況，見表1。

由式（1）、式（2）、式（3）和表1，可以歸納出高斯投影變形有以下特征：①在將地面實測長度歸算至參考橢球體面上時，長度總是變短。變形量的大小與歸算邊相較于參考橢球面的平均高度的差值呈正相關。②橢球面上長度歸算至高斯面上，長度總是變長，距離中央子午線越遠變形越大。③以上兩種變形符號相反，且在一定的范圍內，可以實現(xiàn)兩種變形的相互抵消。

2 建立原理

高速公路工程是典型的線性工程，呈帶狀，沿線地形地貌變化多端，特別是線路呈東西走向、橫跨國家統(tǒng)一3°帶或者處于地形起伏變化巨大的地區(qū)時，投影變形量幾乎無法滿足25 mm/km的基本要求。因此，需要根據(jù)具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系的特性，選擇合適的中央子午線、投影面高度，建立高速公路平面坐標系。結合投影變形計算公式，滿足投影變形要求的條件式可以表示為式（4）。

[|y2m2R2m-HmR|≤140 000]??????? （4）

式（4）展開后得式（5）。

[ y2m2Rm-R4 000≤Hm≤y2m2Rm+R4 000]???????? （5）

式中：[R]、[Rm]近似相等。

3 平面坐標系的建立

本研究以某全長約60 km、呈南北走向，且全線處于國家3°帶坐標系第35帶中的高速公路工程為實例，結合具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系的建立原理，建立高速公路工程的平面坐標系。

3.1 控制點埋設測量及變形驗算

根據(jù)該高速公路初步設計階段基本穩(wěn)定的線路平面及設計高度，依據(jù)相應規(guī)范，在路線沿線埋設90個控制點。利用4臺GNSS接收機，采用邊連式的方式對控制點進行觀測，并與3個國家點進行聯(lián)測，以獲得90個控制點在國家3°帶高斯正形投影平面直角坐標系中的坐標。依據(jù)式（3）檢驗各控制點處的每公里投影變形量，最小變形量為-60.6 mm/km，最大變形量為-106.9 mm/km。由于沒有控制點滿足25 mm/km的投影變形要求，因此無法直接使用國家3°帶高斯正形投影平面直角坐標系作為線路平面坐標系，需要另行設計。

3.2 繪制[ym—Hm]斷面圖

根據(jù)各控制點的[ym]值和[Hm]值，繪制控制點[ym—Hm]斷面。為了直觀顯示各控制點處的投影變形量與目標量之間的差距，根據(jù)式（5）繪制滿足25 mm/km要求的投影變形區(qū)域界限，如圖1所示。

圖1中滿足25 mm/km投影變形要求的區(qū)域位于兩條二次曲線之間，所有控制點的斷面均不滿足投影變形要求。為了使斷面處于允許的變形區(qū)域內，需要改變投影面的高度或移動中央子午線。因此，可以采用具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系作為線路平面坐標系。

3.3 投影高和中央子午線經度的確定

將控制點[ym—Hm]斷面線移動，使其處于投影變形要求的區(qū)域內，如圖2所示。沿[Hm]軸方向移動導致投影面高度發(fā)生變化，沿[ym]軸方向移動導致中央子午線發(fā)生變化。

在圖2中，可直接獲取在[Hm]軸、[ym]軸方向上的平移量[-H0]、[-y0]。對直線[y=y0]與設計路線的交點（[x0]，[y0]），進行高斯投影坐標反算獲得其大地坐標（[B0]，[L0]），最終獲得抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系的中央子午線為[L0]，投影高為[H0]。

經計算，某高速公路平面坐標系的中央子午線經度為105°07′17″，投影面高580 m。

3.4 線路平面坐標系下的變形驗算

根據(jù)線路平面坐標系的投影高及中央子午線，將各控制點的3°帶坐標轉換為路線平面坐標系下的坐標，將各控制點的大地高換算為相對于新的投影面的高程。然后對線路平面坐標系下的各控制點進行投影變形驗算，以及對實測邊的邊長相對中誤差進行計算，以確保各控制點的投影變形和相對中誤差滿足設計要求?？刂泣c變形驗算結果見表2，邊長相對中誤差見表3。

各控制點處的投影變形量最小值為0.3 mm/km、最大值為23.3 mm/km；邊長相對中誤差最小值為-1/624 726、最大值為1/40 413。檢驗結果表明：中央子午線為105°07′17″、投影高為580 m的具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系能夠滿足工程需要。

4 結論與建議

具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系是一種能夠高效控制投影變形的坐標系統(tǒng)。通過選擇合適的中央子午線和投影高，建立具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系，可以作為高速公路的平面坐標系。本研究同時提出以下幾點建議。

①在控制點埋設時，相鄰控制點之間以及控制點與設計路線之間的高差應盡量小，以防止因高差引起的變形量過大。

②在計算控制點處的投影誤差時，使用的高度是相對于投影面的大地高度。

③當路線呈東西走向或者路線設計中的標高高差起伏過大，一個平面坐標系無法滿足全線的投影變形要求時，可以采用分段建立具有不同抵償高程面、不同帶高斯正形投影平面的直角坐標系作為第二平面坐標系。為了保證兩個平面坐標系的良好銜接，需要確保兩個平面坐標系有一定的重疊區(qū)域，并且重疊區(qū)域的投影變形在兩個平面坐標系中均要小于或等于25 mm/km，且兩個平面直角坐標系的分割區(qū)域不能位于重大的構筑物內。

參考文獻：

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［7］孔祥元，郭際明.控制測量學［M］.武漢：武漢大學出版社，2006.

收稿日期：2023-08-11

作者簡介：胡毅（1989—），男，本科，工程師，研究方向：工程測量、激光雷達數(shù)據(jù)處理。