求解逆變分不等式的二階動力系統(tǒng)方法

郭洋俊驍 李軍

DOI：10.16246/j.issn.1673-5072.2024.04.005

收稿日期：2023-05-31? 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11871059）

作者簡介：郭洋俊驍（2000—），男，碩士研究生，主要從事優(yōu)化理論及其應(yīng)用研究。

通信作者：李軍（1974—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事優(yōu)化理論及其應(yīng)用研究。 E-mail：junli@cwnu.edu.cn

引文格式：郭洋俊驍，李軍.求解逆變分不等式的二階動力系統(tǒng)方法［J］.西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，45（4）：375-380.［GUO Y J X，LI J.Second-order dynamical system method for solving inverse variational inequalities［J］.Journal of China West Normal University （Natural Sciences），2024，45（4）：375-380.］

摘? 要：在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的條件下，在Euclidean空間中提出了一種新的求解逆變分不等式的二階動力系統(tǒng)方法。首先，給出了逆變分不等式解的存在性和唯一性。進(jìn)一步地，改進(jìn)了Vuong等構(gòu)建的二階動力系統(tǒng)，并以此來求解逆變分不等式，而且在Lipschitz連續(xù)性的條件下，該動力系統(tǒng)具有唯一強(qiáng)全局解。最后，利用在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的假設(shè)下逆變分不等式唯一解的誤差界，來證明此條件下該動力系統(tǒng)的唯一強(qiáng)全局解是指數(shù)收斂的。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)單調(diào)；Lipschitz連續(xù)性；逆變分不等式；二階動力系統(tǒng)；強(qiáng)全局解；指數(shù)收斂

中圖分類號：O221??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A??? 文章編號：1673-5072（2024）04-0375-06

逆變分不等式在各個(gè)學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。Scrimali［1］將逆變分不等式應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的市場均衡問題。此外，在交通運(yùn)輸、電信網(wǎng)絡(luò)和政策設(shè)計(jì)問題中出現(xiàn)的一些規(guī)范性流量控制問題，同樣可以用逆變分不等式來解釋［2-4］。求解逆變分不等式的算法相繼被眾多學(xué)者研究應(yīng)用。He等［5］提出了一種求解逆變分不等式的基于鄰點(diǎn)的算法，并將其應(yīng)用于其中的一個(gè)三方市場均衡問題。He和Liu［6］研究了一種新的求解逆變分不等式的投影型方法。

近年來，一階和二階動力系統(tǒng)方法在解決不動點(diǎn)問題、變分不等式和單調(diào)包含問題等方面得到了廣泛的研究［4，7-11］。Vuong等［4］提出并研究了一個(gè)求解逆變分不等式的一階動力系統(tǒng)，其關(guān)鍵思想是將逆變分不等式重新表述為一個(gè)適當(dāng)算子的不動點(diǎn)問題，然后通過考慮一個(gè)與不動點(diǎn)映射相關(guān)聯(lián)的動力系統(tǒng)來接近逆變分不等式的解集。這類似于文獻(xiàn)［7］使用的關(guān)于單調(diào)包含和變分不等式的策略，在強(qiáng)偽單調(diào)性和Lipschitz連續(xù)性下，證明了一階動力系統(tǒng)生成的軌跡指數(shù)收斂于唯一解。而文獻(xiàn)［10］在Hilbert空間中構(gòu)建了求解均衡問題的二階動力系統(tǒng)，在溫和條件下，證明了該二階動力系統(tǒng)強(qiáng)全局解的存在唯一性，并建立了在強(qiáng)偽單調(diào)性和Lipschitz連續(xù)性的條件下軌跡的指數(shù)收斂性。而本文則在Euclidean空間中，對此二階動力系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)，用于求解逆變分不等式，并證明了改進(jìn)后的二階動力系統(tǒng)具有唯一的強(qiáng)全局解，從而建立了在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的條件下軌跡的指數(shù)收斂性。

本文具體研究內(nèi)容如下：首先介紹了本文所涉及的一些基本定義、引理等；其次證明了逆變分不等式解的存在性，并給出了逆變分不等式解的唯一性條件，以及其唯一解的誤差界；然后改進(jìn)Vuong［10］構(gòu)建的二階動力系統(tǒng)，提出了求解逆變分不等式的二階動力系統(tǒng)方法，并證明了在Lipschitz連續(xù)性的條件下該動力系統(tǒng)具有唯一強(qiáng)全局解；最后利用在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的假設(shè)下逆變分不等式唯一解的誤差界，來證明此條件下該動力系統(tǒng)的唯一強(qiáng)全局解是指數(shù)收斂的。

1? 預(yù)備知識和基本概念

設(shè)Sn，稱S為仿射集，若集合S中任意兩點(diǎn)所確定的直線仍包含于S，即有下式成立

x，y∈S，θ∈（1－θ）x+θy∈S。

稱S為凸集，若集合S中任意兩點(diǎn)的連線仍包含于S，即有下式成立

x，y∈S，α∈［0，1］（1－α）x+αy∈S。

給定函數(shù)f：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］，稱集合domf={x∈nf（x）<+

SymboleB@ }為f的有效域，稱集合epif={（x，r）∈n×f（x）

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］是正常的，若x∈n，使得f（x）<+

SymboleB@ 。對任意集合Sn，包含S的最小的仿射集稱為仿射包，記為affS。設(shè)x∈S，則稱x為S的相對內(nèi)點(diǎn)，若存在x的某鄰域U，使得U∩ affSS。S的所有相對內(nèi)點(diǎn)的集合稱為S的相對內(nèi)部，記為riS。

n中的內(nèi)積和范數(shù)分別記為〈·，·〉和‖·‖。若沒有特別說明，本文始終假設(shè)M是n中的一個(gè)非空閉凸子集，令A(yù)：n→n是一個(gè)連續(xù)算子。本文考慮逆變分不等式問題由IVI（A，M）表示：x∈n，使得Ax∈M有

〈x′－Ax，x〉0，? x′∈M，（1）

IVI（A，M）的解集表示為Sol（A，M）。

定義1［12］? 假設(shè)A：n→n的一個(gè)單值映射。稱：

（i）A是γ-強(qiáng)單調(diào)，如果存在γ>0，使得〈Ax－Ay，x－y〉γ‖x－y‖2對任意的x，y∈n都成立；

（ii）A是L-Lipschitz連續(xù)，如果存在L>0，使得‖Ax－Ay‖L‖x－y‖對任意的x，y∈n都成立。

定義2［12］? 設(shè)Sn為非空集合，對任意的x-∈S，定義在x-處的切錐Ts（x-），即

Ts（x-）={y∈nlimk→

SymboleB@ αk（xk－x-）=y，limk→

SymboleB@ xk=x-，xk∈S，αk>0，k=1，2，…}。

對任意錐Cn，C的極錐C*定義為C={y∈n〈y，x〉0，x∈C}。則切錐Ts（x-）的極錐Ts（x-）*稱為S在x-處的法錐，記為Ns（x-），Ns（x-）={z∈n〈z，y〉0，y∈Ts（x-）}。當(dāng)S為凸集時(shí)，法錐可以表示為Ns（x-）={z∈n〈z，x－x-〉0，x∈S}。

定義3［12］? 給定正常凸函數(shù)f：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］，考慮任意一點(diǎn)x∈domf，定義f在點(diǎn)x處的次微分為f（x）∶={ζ∈nf（y）－f（x）〈ζ，y－x〉，y∈n}。

定義4［12］?? 設(shè)Sn為非空凸集，稱S中與點(diǎn)x∈n距離最近的點(diǎn)為x在S上的投影，記為PS（x），即PS（x）為S中滿足如下條件的點(diǎn)：‖x－PS（x）‖=min{‖x－z‖z∈S}。

引理1［12］? 設(shè)Sn為非空凸集，則對任意點(diǎn)x∈n，x在S上的投影PS（x）存在且唯一，并滿足：〈x－PS（x），z－PS（x）〉0， z∈S，和‖PS（x）－PS（y）‖‖x－y‖，? x，y∈n。

引理2? ［12］? 若≠Sn為凸集，x∈S，則必有Ns（x）={ξ∈n〈ξ，y－x〉0，y∈S}=δs（x），其中函數(shù)δs為給定集合Sn的示性函數(shù)，定義為δs（x）=0，x∈S，+

SymboleB@ ，xS。

引理3［12］? 對于正常凸函數(shù)F：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］與任意實(shí)數(shù)λ>0，必有

（λF）（x）=λF（x），x∈n。（2）

除此以外，給定正常凸函數(shù)Fi：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］（i=1，…，m），則有

F1（x）+…+Fm（x）（F1+…+Fm）（x），x∈n。（3）

若ri domF1∩…∩ri domFm≠，則（3）式中的反包含關(guān)系成立。

2? 解的存在性和唯一性

以下均令G（x，y）=〈y－Ax，x〉，其中x，y∈n。顯然G（x，Ax）=0。令x∈n，對每個(gè)λ>0，定義一個(gè)函數(shù)φλ：n→M，

φλ（x）=argminy∈MλG（x，y）+12‖y－Ax‖2=argminy∈nλG（x，y）+12‖y－Ax‖2+δM（y）

=argminy∈Mλ［〈y－Ax，x〉］+12‖y－Ax‖2

=argminy∈M‖y－（Ax－λx）‖2

=PM（Ax－λx），λ>0，（4）

其中argmin表示使目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)的變量值。由于y

MT ExtraaA@ G（x，y）在n上是凸的，則對于每一個(gè)x∈M和λ>0，問題（4）是一個(gè)強(qiáng)凸問題，因此它有唯一解。因而φλ是良定的且在M上只有一個(gè)值。

定理1? 對λ>0，x∈n，x∈Sol（A，M）當(dāng)且僅當(dāng)Ax=PM（Ax－λx）。

證明?? 對任意x∈n，設(shè)z=φλ（x）是問題（4）的唯一解，則z∈M，且由引理2和引理3可得0∈λG（x，z）+z－Ax+NM（z）。所以，存在s∈G（x，z），使得0∈λs+z－Ax+NM（z）。因此，由法錐定義可知，

〈Ax－z－λs，y－z〉0 y∈M。（5）

又由于s∈G（x，z），則有

G（x，y）－G（x，z）〈s，y－z〉? y∈M。（6）

對λ>0，結(jié)合（5）式、（6）式得，

λ（G（x，y）－G（x，z））〈λs，y－z〉〈Ax－z，y－z〉? y∈M。（7）

充分性：若Ax=PM（Ax－λx）=φλ（x）=z， 由G（x，Ax）=0，結(jié)合（7）式得G（x，y）0。因此，對于任意的y∈M，G（x，y）0，即x∈Sol（A，M）。

必要性：設(shè)x∈Sol（A，M），因?yàn)閦∈M，且G（x，Ax）=0，則在（7）式中令y=Ax可以得到，‖Ax－z‖2λG（x，Ax）－λG（x，z）=－λG（x，z）0，且‖Ax－z‖20，所以‖Ax－z‖=0，因此Ax=z=φλ（x）=PM（Ax－λx）。

引理4［4］? 令A(yù)：n→n是γ－強(qiáng)單調(diào)和L-Lipschitz的，則逆變分不等式問題IVI（A，M）有唯一解。假設(shè)λ>L24γ時(shí)，且設(shè)x*是逆變分不等式問題IVI（A，M）的唯一解，則對x∈n，有下式成立

〈Ax－PM（Ax－λx），x－x*〉4λγ－L24λ2γ‖Ax－PM（Ax－λx）‖2，（8）

‖x－x*‖4λ4λγ－L2‖Ax－PM（Ax－λx）‖。（9）

3? 二階動力系統(tǒng)

為了求解逆變分不等式問題IVI（A，M），考慮如下形式的二階動力系統(tǒng)：

x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）（Ax（t）－PM（Ax（t）－λx（t）））=0，

x（0）=x0， x·（0）=v0。（10）

其中t∈［0，+

SymboleB@ ），x（t），x·（t），x¨（t）∈n，α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是Lebesgue可測函數(shù)，λ>0，且x0，v0∈n。

定義5［10］? 稱x：［0，b］→n（其中b>0）是絕對連續(xù)的，如果下列等價(jià)性質(zhì)之一成立：

（i）存在一個(gè)可積函數(shù)y：［0，b］→n使得x（t）=x（0）+∫t0y（s）ds?? t∈［0，b］；

（ii）x是連續(xù)的，并且其分布導(dǎo)數(shù)x·在［0，b］上是Lebesgue可積的。

定義6［10］? 稱x：［0，+

SymboleB@ ）→n是動力系統(tǒng)（10）的一個(gè)強(qiáng)全局解，如果滿足以下性質(zhì)：

（i）x，x·：［0，+

SymboleB@ ）→n 局部絕對連續(xù)，即對b∈（0，+

SymboleB@ ），x，x·在每個(gè)區(qū)間［0，b］上絕對連續(xù)；

（ii）對t∈［0，+

SymboleB@ ），x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）（Ax（t）－PM（Ax（t）－λx（t）））=0幾乎處處成立；

（iii）x（0）=x0，??? x·（0）=v0。

定理2? 設(shè)α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是Lebesgue可測函數(shù)，使得α，β∈L1loc（［0，+

SymboleB@ ））（即對b∈（0，+

SymboleB@ ），α，β在［0，b］上絕對值可積）。令A(yù)：n→n是一個(gè)L－Lipschitz連續(xù)算子。則對于每個(gè)x0，v0∈n，存在動力系統(tǒng)（10）的唯一強(qiáng)全局解。

證明? 令x∈n，定義Tx∶=Ax－PM（Ax－λx）∈n，則動力系統(tǒng)（10）可以等價(jià)地改寫為：

x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）Tx（t）=0，x（0）=x0， x·（0）=v0。（11）

由定理1可知，逆變分不等式IVI（A，M）的解集與T的零點(diǎn)集合等價(jià)。對任意x，x-∈n，且λ>0，因?yàn)锳是L-Lipschitz連續(xù)的，然后由引理1和Cauchy-Schwarz不等式可得

‖Tx－Tx-‖=‖Ax－PM（Ax－λx）－Ax-+PM（Ax-－λx-）‖

‖Ax－Ax-‖+‖PM（Ax－λx）－PM（Ax-－λx-）‖

‖Ax－Ax-‖+‖Ax－λx－Ax-+λx-‖

2‖Ax－Ax-‖+λ‖x－x-‖（2L+λ）‖x－x-‖，

即T是l-Lipschitz連續(xù)的，這里l=2L+λ>0。動力系統(tǒng)（11）可以被等價(jià)地改寫成乘積空間n×n中的下述一階動力系統(tǒng)

Y·（t）=F（t，Y（t））， Y（0）=（u0，v0），（12）

Y：［0，+

SymboleB@ ）→n×n， Y（t）=（x（t）， x·（t）），

F：［0，+

SymboleB@ ）×n×n→n×n， F（t，u，v）=（v，－α（t）v－β（t）Tu）。

賦予n×n的內(nèi)積〈（u，v），（u-，v-）〉n×n=〈u，u-〉+〈v，v-〉和相應(yīng)的范數(shù)‖（u，v）‖n×n=‖u2‖+‖v2‖。則對任意的u，v，u-，v-∈n，和t0，由T是l-Lipschitz連續(xù)的，可得

‖F(xiàn)（t，u，v）－F（t，u-，v-）‖n×n=‖v－v-‖2+‖α（t）（v－v-）+β（t）（Tu-－Tu）‖2

（1+2α2（t））‖v－v-‖2+2l2β2（t）‖（u-－u）‖2

（1+2α2（t））+2l2β2（t）‖（（u，v）－（u-，v-））‖n×n

（1+2α（t）+2lβ（t））‖（（u，v）－（u-，v-））‖n×n，

因?yàn)棣?，β∈L1loc（［0，+

SymboleB@ ）），所以F（t，·，·）是1+2α（t）+2lβ（t）-Lipschitz連續(xù)的，并且Lipschitz系數(shù)是局部可積的。對任意的u，v∈n，和b>0，可以得到

∫b0‖F(xiàn)（t，u，v）‖n×ndt=∫b0‖v‖2+‖α（t）v+β（t）Tu‖2dt

∫b0（1+2α2（t））‖v‖2+2β2（t）‖Tu‖2dt

∫b0（（1+2α（t））‖v‖+2β（t）‖Tu‖）dt，

即可得到F（·，u，v）∈L1loc（［0，b］，n×n）。因此，由一階動力系統(tǒng)的Cauchy-Lipschitz-Picard定理［13］，動力系統(tǒng)（12）存在唯一的強(qiáng)全局解。故動力系統(tǒng)（10），（11）均存在唯一的強(qiáng)全局解。

4? 全局指數(shù)收斂

定理3? 假設(shè)x*是逆變分不等式問題IVI（A，M）的唯一解，A是L-Lipschitz連續(xù)和γ-強(qiáng)單調(diào)的，且λ>L24γ，k=4λγ－L24λ2γ>0。設(shè)對每個(gè)t∈［0，+

SymboleB@ ），α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是局部絕對連續(xù)函數(shù)，并且滿足：

（i）1<ω<α（t）k（4λγ－L2）216λ2β（t）+1；

（ii）α·（t）0且ddt（α（t）β（t））0；

（iii）α2（t）－α（t）－2β（t）k0。

則當(dāng)t→

SymboleB@ 時(shí)，由動力系統(tǒng)（10）生成的強(qiáng)全局解x（t）指數(shù)收斂到x*，即存在μ>0，η>0使得

‖x（t）－x*‖μ‖x（0）－x*‖e－ηt，t0。

證明? 對所有t∈［0，+

SymboleB@ ），考慮函數(shù)h（t）=12‖x（t）－x*‖2。則有h·（t）=〈x（t）－x*，x·（t）〉， h··（t）=‖x·（t）‖2+〈x（t）－x*，x··（t）〉。令z（t）∶=PM（Ax（t）－λx（t）），對t∈［0，+

SymboleB@ ），由動力系統(tǒng)（10）可得h··（t）+α（t）h·（t）+β（t）〈x（t）－x*，Ax（t）－z（t）〉=‖x·（t）‖2，由（8）式可得h··（t）+α（t）h·（t）+kβ（t）‖Ax（t）－z（t）‖2‖x·（t）‖2，其中k=4λγ－L24λ2γ>0。再由動力系統(tǒng)（10）可知，

h··（t）+α（t）h·（t）+k2β（t）‖Ax（t）－z（t）‖2+k2β（t）‖x··（t）+α（t）x·（t）‖2‖x·（t）‖2。（13）

結(jié)合（9），（13）式可得，

h··（t）+α（t）h·（t）+k1β（t）h（t）+k2β（t）‖x··（t）‖2+（kα2（t）2β（t）－1）‖x·（t）‖2+kα（t）β（t）〈x··（t），x·（t）〉0，（14）

其中k1=k（4λγ－L2）216λ2。由ddt‖x·（t）‖2=2〈x··（t），x·（t）〉，對t∈［0，+

SymboleB@ ），設(shè)a（t）∶=k1β（t）， b（t）∶=kα（t）2β（t），c（t）∶=kα2（t）2β（t）－1， u（t）∶=‖x·（t）‖2，去除（14）式中的非負(fù)項(xiàng)k2β（t）‖x··（t）‖2，可得

h··（t）+α（t）h·（t）+a（t）h（t）+b（t）u·（t）+c（t）u（t）0，（15）

在（15）式兩邊同時(shí)乘上et>0，并使用恒等式：

eth··（t）=ddt（eth·（t））－eth·（t），

eth·（t）=ddt（eth（t））－eth（t），

etu·（t）=ddt（etu（t））－etu（t），

可以得到

ddt（eth·（t））+（α（t）－1）ddt（eth（t））+（a（t）+1－α（t））eth（t）+b（t）ddt（etu（t））+（c（t）－b（t））etu（t）0。（16）

由假設(shè)條件（i）和（iii）可知a（t）+1－α（t）0， c（t）－b（t）0 t∈［0，+

SymboleB@ ），因此（16）式可改寫成

ddt（eth·（t））+（α（t）－1）ddt（eth（t））+b（t）ddt（etu（t））0。（17）

因（α（t）－1）ddt（eth（t））=ddt［（α（t）－1）eth（t）］－α·（t）eth（t）和b（t）ddt（etu（t））=ddt（b（t）etu（t））－b·（t）etu（t），結(jié)合（17）式可以得到

ddt（eth·（t））+ddt［（α（t）－1）eth（t）］－α·（t）eth（t）+ddt（b（t）etu（t））－b·（t）etu（t）0。（18）

由假設(shè)條件（ii），對t∈［0，+

SymboleB@ ），α·（t）0且b·（t）0。因此由（18）式可得到ddt（eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t））0。這說明函數(shù)t

MT ExtraaA@ eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t）是單調(diào)遞減的；因此，存在M0，使得eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t）M。又因?yàn)閎（t），u（t）0，則有h·（t）+（α（t）－1）h（t）Me－t;因此，對t∈［0，+

SymboleB@ ），h·（t）+（ω－1）h（t）Me－t;即對t∈［0，+

SymboleB@ ），有

ddt［e（ω－1）th（t）］Me（ω－2）t。（19）

對（19）式兩邊同時(shí)積分可得：

（i）若1<ω<2，則有0h（t）（h（0）－Mω－2）e－（ω－1）t；

（ii）若ω>2，則有0h（t）h（0）e－（ω－1）t+Mω－2e－t（h（0）+Mω－2）e－t；

（iii）若ω=2，則有0h（t）（h（0）+Mt）e－t。

由此可得，x（t）指數(shù)收斂到x*。

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Second-order Dynamical System Methodfor Solving Inverse Variational Inequalities

GUO Yang-jun-xiao，LI Jun

（a.School of Mathematics & Information，b.Key Laboratory of Optimization Theory and Applications atChina West Normal University of Sichuan Province，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：In this paper，a new second-order dynamical system method for solving inverse variational inequalities is proposed in Euclidean space under the conditions of strong monotonicity and Lipschitz continuity.Firstly，the existence and uniqueness of solutions to inverse variational inequalities is given.Then，a second-order dynamical system method based on Vuong et al.is improved to solve inverse variational inequalities.Furthermore，the dynamical system has a unique strong global solution under the condition of Lipschitz continuity.Finally，the error bound of the unique solution to inverse variational inequalities is employed to prove that the unique strong global solution of the dynamical system is exponentially convergent under the assumption of strong monotonicity and Lipschitz continuity.

Keywords：strong monotonicity；Lipschitz continuity；inverse variational inequality;second-order dynamical system；strong global solution；exponential convergence