輪-阜機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模擬

收稿日期：2021-11-16""" 修回日期：2022-11-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.12072300）

通信作者：袁衛(wèi)鋒，教授。E-mail： yuanweifeng@swust.edu.cn

引用格式：袁迪，袁衛(wèi)鋒. 輪-阜機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模擬［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)， 2024， 41（3）：659-665.

YUAN Di，YUAN Weifeng.Dynamics modelling of the wheel-hump mechanism［J］.Chinese journal of applied mechanics， 2024，41（3）：659-665.

文章編號(hào)：1000-4939（2024）03-0659-07

摘" 要：受滾木運(yùn)輸?shù)膯l(fā)，設(shè)計(jì)了一種輪-阜復(fù)擺互動(dòng)機(jī)構(gòu)，通過(guò)在兩個(gè)平面上分別構(gòu)造擺輪和凸臺(tái)陣列，可實(shí)現(xiàn)平面之間的平穩(wěn)滑動(dòng)。為了研究滑動(dòng)中接觸面間法向力和切向力的關(guān)系，建立了輪-阜機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程，并基于Runge-Kutta方法提出一種迭代算法對(duì)之求解，計(jì)算擺輪和凸臺(tái)相互碰撞所產(chǎn)生的滑動(dòng)阻力。數(shù)值仿真結(jié)果表明，合理設(shè)置輪-阜機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)，可以減少接觸面相互滑動(dòng)中的能量損耗，從而大幅提高法向載荷和等效切向阻力之間的比值。在理論分析的基礎(chǔ)上，制造了相應(yīng)的實(shí)物模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果顯示該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)的滑動(dòng)，且切向驅(qū)動(dòng)力可低于法向載荷的百分之一，從而驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)的可行性。

關(guān)鍵詞：剛體碰撞；動(dòng)力學(xué)仿真；輪-阜結(jié)構(gòu)；Runge-Kutta方法；摩擦副

中圖分類號(hào)：TB122;TH122" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.019

Dynamics modelling of the wheel-hump mechanism

YUAN Di，YUAN Weifeng

（School of Manufacturing Science and Engineering，Southwest University of Science and Technology，Mianyang，621010，China）

Abstract：Inspired by transportation using rolling logs，a compound-pendulum-hump interaction mechanism was designed.Through constructing an array of pendulum wheels and humps on the two surfaces，respectively，smooth relative sliding between the surfaces can be achieved.To investigate the relationship between the normal force and the tangential force in the sliding，the dynamical differential equations of the wheel-hump mechanism were established.An iterative algorithm was proposed based on Runge-Kutta method to solve the equations to calculate the sliding resistance induced by the collision between the pendulum wheels and the humps.The simulation results indicated that the energy loss in the sliding could be reduced by setting proper geometrical parameters of the proposed mechanism，so that the ratio of the normal load to the equivalent transversal resistance could be improved significantly.Based on the theoretical analysis，a prototype was fabricated for experimental verification.The results showed that smooth sliding could be achieved.Meanwhile，the tangential driving force could be less than one percent of the normal load，verifying the feasibility of the mechanism.

Key words：rigid body collision；dynamics simulation；wheel-hump mechanism；Runge-Kutta method；friction pair

人類最早使用滾木運(yùn)輸巨石是為了方便運(yùn)輸［1］，減少運(yùn)輸過(guò)程中的阻力，以達(dá)到使用較小的拉力來(lái)運(yùn)送更重貨物的目的。滾木與木板之間相互作用的過(guò)程可以看作多剛體的相互碰撞。然而，滾木運(yùn)輸有個(gè)比較嚴(yán)重的缺陷，如圖1（a），為保證運(yùn)輸過(guò)程的連續(xù)性，需要在木板前進(jìn)方向下部不斷投入滾木，而滾木移動(dòng)后不能復(fù)位，既效率低下又損耗人力。輪子的出現(xiàn)極大地方便了重物運(yùn)輸，和滾木相比，輪軸機(jī)構(gòu)將輪子始終置于重物之下，不需要在重物移動(dòng)的前方填放圓木，故而輪-軸組合的應(yīng)用一直延續(xù)到今。滾木和輪-軸機(jī)構(gòu)以滾動(dòng)接觸代替了滑動(dòng)接觸，減小了運(yùn)動(dòng)阻力，降低了材料磨損，提高了運(yùn)輸效率。盡管如此，傳統(tǒng)的輪-軸機(jī)構(gòu)中，因滑動(dòng)接觸引起的磨損現(xiàn)象依然存在，導(dǎo)致材料和能源的損耗［2-3］REF_Ref94966839＼r＼h＼#\"0〗\"。

接觸面間的滑動(dòng)摩擦力和表面結(jié)構(gòu)有關(guān)［4］，后者可以改變表面的摩擦特性，如受蓮花的自清潔效應(yīng)［5］、壁虎腳的干黏附作用［6-7］和鯊魚(yú)皮［8-9］啟發(fā)而研制的仿生材料等［10］，在工業(yè)和日常生活［11］中具有不同方向的潛在應(yīng)用。YUAN等［12］設(shè)計(jì)的力-構(gòu)耦合表面微結(jié)構(gòu)，能夠在宏觀尺度下觀察到負(fù)摩擦系數(shù)的出現(xiàn)。而本研究受滾木運(yùn)輸?shù)膯l(fā)，改變表面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種如圖1（b）所示輪-阜復(fù)擺互動(dòng)結(jié)構(gòu)。和傳統(tǒng)的滾木搬運(yùn)巨石的原理相比，輪-阜互動(dòng)機(jī)構(gòu)在兩個(gè)相互運(yùn)動(dòng)的平面上構(gòu)造不同的結(jié)構(gòu)，其中主表面上有等間距排列的凸臺(tái)，從表面排列有圓形輪廓的擺輪。擺輪由彈簧和表面連接固定，彈簧既提供了連接作用又為擺輪偏轉(zhuǎn)時(shí)提供回復(fù)力，擺輪在彈簧拉力作用下做復(fù)擺運(yùn)動(dòng)并與從表面上排列的凸臺(tái)依次發(fā)生周期性接觸與分離，保證了運(yùn)輸過(guò)程的連續(xù)性。輪-阜機(jī)構(gòu)避免了軸的使用，不但有助于減少滑動(dòng)摩擦磨損，而且放寬了輪子結(jié)構(gòu)的尺寸下限，將輪-阜尺寸縮小至毫米、微米尺寸，使在接觸表面上制備輪-阜微結(jié)構(gòu)成為可能。

帶有輪-阜結(jié)構(gòu)的兩個(gè)表面相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，擺輪和凸臺(tái)之間發(fā)生周期性的接觸和脫離，二者之間的互動(dòng)屬于碰撞問(wèn)題［13］。碰撞問(wèn)題是多體動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要的研究方向，而多體動(dòng)力學(xué)［14］是設(shè)計(jì)和控制復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的重要理論基礎(chǔ)，在航空航天、車(chē)輛運(yùn)輸、機(jī)械制造等［15］REF_Ref97021876＼r＼h等方面有重要的應(yīng)用。研究多剛體碰撞問(wèn)題［16-18］REF_Ref97023714＼r＼h的方法一般分為兩種：①動(dòng)量平衡法或離散化方法［19］，利用各種恢復(fù)系數(shù)來(lái)模塊化碰撞過(guò)程中能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程；②連續(xù)接觸模型法［20］，即將碰撞過(guò)程看成一個(gè)有限時(shí)間內(nèi)接觸碰撞力的作用過(guò)程，利用連續(xù)力-位移關(guān)系進(jìn)行處理。動(dòng)量平衡法計(jì)算較為簡(jiǎn)單，對(duì)于單向滑動(dòng)狀態(tài)，應(yīng)用恢復(fù)系數(shù)可簡(jiǎn)化計(jì)算，但對(duì)于其他碰撞狀態(tài)，計(jì)算恢復(fù)系數(shù)意義不大［21］REF_Ref97021886＼r＼h。隨著系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，N-E法［22］REF_Ref97021891＼r＼h、R-W法［23］、Kane法［24-25］REF_Ref97024531＼r＼h和L-E法［26］等建模方法逐步完善了碰撞問(wèn)題的處理方法。碰撞又分為系統(tǒng)體外碰撞與體內(nèi)碰撞，而在實(shí)際的問(wèn)題中，都可以進(jìn)行簡(jiǎn)化。對(duì)于剛體碰撞問(wèn)題，可以采用實(shí)驗(yàn)［27］、計(jì)算［28-29］REF_Ref97021905＼r＼h、有限元模擬［30］等方法進(jìn)行處理。

本工作采用連續(xù)接觸模型法，使用拉格朗日方程推導(dǎo)了輪-阜機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，并開(kāi)發(fā)相應(yīng)的計(jì)算程序求解。介紹滑動(dòng)阻力的計(jì)算方法，定義運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的等效阻力，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理，以研究能量與擺輪周期的關(guān)系。最后制造了相應(yīng)的實(shí)物模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以期為設(shè)計(jì)超低摩擦系數(shù)滑動(dòng)摩擦副提供參考依據(jù)。

1" 運(yùn)動(dòng)方程的建立

對(duì)圖1（b）中單個(gè)擺輪與軌道的結(jié)構(gòu)化為力學(xué)模型，零件結(jié)構(gòu)都視為剛體，添加彈簧與阻尼來(lái)模擬實(shí)際碰撞過(guò)程中材料的變形。按照接觸面劃分，可以分為兩個(gè)表面：主表面和從表面。圖2為輪-阜機(jī)構(gòu)力學(xué)模型，從表面由平面、擺輪和彈簧k1組成，其中彈簧k1下端固定在平面上，上端和擺輪圓心相連接，并且限制彈簧k1兩端的平動(dòng)自由度，使其只能進(jìn)行旋轉(zhuǎn)與拉伸。在彈簧k1的拉力作用下，擺輪可以沿著平面進(jìn)行往復(fù)滾動(dòng)。主表面由平面、方形凸臺(tái)和彈簧k2組成，凸臺(tái)在x方向上由彈簧k2連接固定在平面上，同樣限制彈簧k2的平動(dòng)自由度，在凸臺(tái)受到x方向的作用力時(shí)會(huì)發(fā)生左右振動(dòng)。平面上的凸臺(tái)等間距排列，凸臺(tái)最低點(diǎn)與擺輪圓弧最高點(diǎn)y軸坐標(biāo)相同。

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，固定從表面，主表面以恒定的速度v沿x軸正方向移動(dòng)，此時(shí)凸臺(tái)與附著平面保持相對(duì)靜止。在主表面移動(dòng)一定的距離后，凸臺(tái)會(huì)與擺輪發(fā)生接觸，假定接觸過(guò)程中擺輪與凸臺(tái)不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，即保持純滾動(dòng)狀態(tài)。在接觸階段，由于阻力的存在，擺輪會(huì)跟隨凸臺(tái)會(huì)發(fā)生滾動(dòng)和偏轉(zhuǎn)，其中偏轉(zhuǎn)角為θ，當(dāng)凸臺(tái)與擺輪分離時(shí)，擺輪頂部圓弧滾動(dòng)過(guò)的弧長(zhǎng)距離為2θR。分離之后，擺輪將作帶有阻尼的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，直到下一次與軌道凸臺(tái)發(fā)生接觸。如圖1（b）所示，在實(shí)際應(yīng)用中，可以并排有多個(gè)擺輪形成連續(xù)的滾動(dòng)，保證整體的平衡和穩(wěn)定性。

對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析：當(dāng)擺輪和軌道凸臺(tái)相互接觸時(shí)，擺輪受阻力作用將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為θ。擺輪在y方向上受到來(lái)自凸臺(tái)的壓力N、彈簧拉力F在y方向分力和沿y軸正方向的支持力，所以在y方向擺輪所受到合外力為0。而在x方向上擺輪受到阻力f和彈簧拉力F沿x方向上分力的作用，當(dāng)阻力f大于彈簧拉力F在x方向分力時(shí)，擺輪可以移動(dòng)，所以擺輪偏轉(zhuǎn)滾動(dòng)時(shí)受到的阻力主要來(lái)源于彈簧的拉力，而與正壓力N大小無(wú)關(guān)，即阻力與正壓力是相互獨(dú)立的，增大正壓力N的值并不影響x方向的阻力，即該結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)使用較小拉力拉動(dòng)質(zhì)量較大的載荷。

動(dòng)力學(xué)分析系統(tǒng)內(nèi)各部件的運(yùn)動(dòng)方式：分別得到各自的動(dòng)能與勢(shì)能，再使用拉格朗日方程求偏導(dǎo)，即可得到擺輪與凸臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方程。由圖2幾何關(guān)系可知，圓心處平移速度與偏轉(zhuǎn)角關(guān)系為

Vc=Rθ·（1）

而擺輪運(yùn)動(dòng)可分解為沿x軸方向的平動(dòng)和繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)，異形輪子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與輪子形狀有關(guān)，記為Jc。所以擺輪的動(dòng)能可表示為

E=12m1R2θ·2+12Jcv2R2（2）

勢(shì)能主要由彈簧的變形產(chǎn)生，而彈簧長(zhǎng)度變形量與偏轉(zhuǎn)角關(guān)系為

ΔL=R1cosθ－1（3）

所以可以推導(dǎo)彈簧勢(shì)表達(dá)式，即

U=12k1R21cosθ－12（4）

式（2）減去式（4）即可得到拉格朗日函數(shù)

L=12m1R2θ·2+12Jcv2R2－12k1R21cosθ－12（5）

再分別對(duì)θ、θ·進(jìn)行求導(dǎo)，并考慮廣義力和阻尼的存在，化簡(jiǎn)后得出擺輪運(yùn)動(dòng)方程

m1Rθ··

+k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ=2f－c1θ·（6）

對(duì)于凸臺(tái)來(lái)說(shuō)，其運(yùn)動(dòng)是典型的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，從圖2坐標(biāo)與幾何關(guān)系可知，xj為第j個(gè)凸臺(tái)的實(shí)時(shí)坐標(biāo)，Xj表示第j個(gè)凸臺(tái)原始位置的坐標(biāo)，二者差值為凸臺(tái)的位移，因?yàn)橥古_(tái)與軌道所受阻力大小相等方向相反，所以凸臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方程為

m2x··j+c2x·j－v+k2xj－Xj－vt=－f（7）

式中：m2為凸臺(tái)質(zhì)量；c2、k2分別表示凸臺(tái)上彈簧阻尼與剛度；v為軌道速度；設(shè)置彈簧k2不同的阻尼與剛度，可以模擬不同材料的凸臺(tái)對(duì)碰撞的影響。聯(lián)立式（6）、（7）可得到式（8），對(duì)式（8）求解即可得到系統(tǒng)任意時(shí)刻系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

m1Rθ··+k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ=2f－c1θ·m2x··j+c2x·j－v+k2xj－Xj－vt=－f（8）

整個(gè)系統(tǒng)按照運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可劃分為3個(gè)部分：擺輪、凸臺(tái)和軌道。其中擺輪和凸臺(tái)為含阻尼的振動(dòng)，軌道為勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不考慮外力對(duì)其速度的影響。因?yàn)閿[輪的質(zhì)量較軌道質(zhì)量小，擺輪與凸臺(tái)發(fā)生接觸后，其線速度將與凸臺(tái)速度保持相同，擺輪與凸臺(tái)在阻力的作用下發(fā)生振動(dòng)。若擺輪與凸臺(tái)沒(méi)有發(fā)生接觸時(shí)，兩者各自為帶有阻尼的自由振動(dòng)狀態(tài)。

考慮在靜力狀態(tài)時(shí)，擺輪偏轉(zhuǎn)到最大角度，此時(shí)擺輪的角加速度θ··i+1和角速度θ·i+1都為零，式（6）中所有動(dòng)力項(xiàng)可以消去化簡(jiǎn)為

fmax=12k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ（9）

根據(jù)幾何關(guān)系，此時(shí)θ與凸臺(tái)寬度c的關(guān)系為

tanθ=c2R（10）

即fmax可以表示為

fmax=ck1R1－4R2+c24R2+c23（11）

由式（11）可知，當(dāng)擺輪半徑R遠(yuǎn)大于凸臺(tái)寬度c時(shí)，阻力最大值fmax可以繼續(xù)簡(jiǎn)化為

fmax=－ck14R（12）

即最大阻力fmax可以達(dá)到極小值，這意味著使用極小的拉力就可以使輪-阜結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。從式（12）看出，最大的阻力fmax僅和表面結(jié)構(gòu)的幾何和材料參數(shù)相關(guān)，其大小與法向力N無(wú)關(guān)。以上分析基于單個(gè)擺輪受力分析，實(shí)際在兩表面相互滑動(dòng)過(guò)程中會(huì)有兩個(gè)擺輪同時(shí)與凸臺(tái)發(fā)生接觸，以保持凸臺(tái)表面的平穩(wěn)。

以上分析基于剛性接觸假設(shè)，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，材料受力將發(fā)生變形，擺輪的幾何尺寸會(huì)發(fā)生細(xì)微的變化，最大阻力fmax將受到法向力N的一些影響。然而，通過(guò)調(diào)整擺輪的幾何尺寸（如半徑）和材料的物理常數(shù)（如剛度），接觸區(qū)域結(jié)構(gòu)的受力變形能夠被控制在很小的量級(jí)，fmax可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N，即實(shí)現(xiàn)極低的滑動(dòng)阻力。

2" 程序設(shè)計(jì)與仿真

為了對(duì)本研究推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行驗(yàn)證，編寫(xiě)程序進(jìn)行計(jì)算與仿真。程序利用Runge-Kutta方法求解運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值解，然后輸出位移并使用動(dòng)畫(huà)的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，同時(shí)引入了迭代的方法計(jì)算碰撞過(guò)程中的相互作用力。

程序采用數(shù)值分析對(duì)二階微分方程進(jìn)行求解，而且涉及到動(dòng)力學(xué)接觸問(wèn)題，時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)該足夠小，否則會(huì)產(chǎn)生非理想的接觸和能量損失。時(shí)間步長(zhǎng)h與系統(tǒng)剛度、質(zhì)量的關(guān)系可表示為

f=12πk1m1，h=1nf（13）

式中：n為正數(shù)；f為擺輪的固有頻率；k1為擺輪上彈簧的剛度；m1代表擺輪的質(zhì)量；h為時(shí)間步長(zhǎng)，當(dāng)h小于等于1/nf時(shí)，計(jì)算結(jié)果才能較為準(zhǔn)確，所以程序?qū)⑹紫葘?duì)步長(zhǎng)、分析時(shí)間、質(zhì)量和剛度等進(jìn)行初始化。

軌道為勻速直線運(yùn)動(dòng)且上表面有多個(gè)凸臺(tái)，因此需要確定每個(gè)凸臺(tái)的坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系以判斷是否觸發(fā)了接觸條件。確定好位移參數(shù)后，程序每一次執(zhí)行需要對(duì)每個(gè)凸臺(tái)的位置進(jìn)行判斷，以防止漏判。如果發(fā)生了接觸，首先假設(shè)初始條件，即

Fi+1=Fi+ΔF（14）

式中：Fi為擺輪與凸臺(tái)在水平方向的作用力，即阻力；ΔF為迭代過(guò)程中力的增量。

初始值可以設(shè)置為任意數(shù)值，后期程序會(huì)對(duì)其進(jìn)行迭代更新。然后使用Runge-Kutta方法對(duì)式（7）進(jìn)行求解，得到軌道上凸臺(tái)的加速度x··i+1、速度x·i+1和位移xi+1等參數(shù)。

根據(jù)圖2幾何與運(yùn)動(dòng)關(guān)系

x··i+1=2θ··i+1Rx·i+1=2θ·i+1Rxi+1=2Rθi+1－θi－c（15）

計(jì)算得到擺輪的角加速度θ··i+1、角速度θ·i+1和角位移θi+1，利用擺輪的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，利用式（6）計(jì)算其受到的阻力F^。但是此時(shí)擺輪和凸臺(tái)所受到阻力Fi的大小還不一定相同，可以進(jìn)行迭代處理，首先引入中間變量ΔF^，且

ΔF^=F^－Fi（16）

ΔF^為擺輪受到的阻力F^與凸臺(tái)的阻力Fi的差值，然后進(jìn)行判斷。

ΔF^－ΔF≤ε（17）

當(dāng)中間變量ΔF^與增量ΔF差值小于極小值ε（如1×10－5）時(shí)，認(rèn)為擺輪與凸臺(tái)受到的阻力大小相同，退出迭代循環(huán)，否則ΔF取二者平均值。

ΔF=ΔF^+ΔF2（18）

再返回式（9）處繼續(xù)進(jìn)行迭代循環(huán)，直到滿足接觸條件。如果沒(méi)有觸發(fā)接觸條件，則擺輪和凸臺(tái)各自為自由振動(dòng)，二者之間沒(méi)有相互作用力，僅計(jì)算各自的位移。在程序運(yùn)行過(guò)程中，擺輪的角位移θi+1和凸臺(tái)的位移xi+1同時(shí)輸出到動(dòng)畫(huà)窗口，可以模擬其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，本程序的程序框圖如圖3所示。

3" 數(shù)據(jù)分析

將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行導(dǎo)出，可得阻力f隨時(shí)間t變化的規(guī)律。設(shè)置不同彈簧的剛度k1，擺輪擺動(dòng)的固有頻率將發(fā)生改變。在軌道速度v保持不變的情況下，只改變剛度k1，碰撞結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)不同的結(jié)果。

在不同擺動(dòng)周期T1下，阻力f分別對(duì)位移x進(jìn)行積分，即可得到阻力所做的功W。對(duì)于圖4的4種情況，各計(jì)算4個(gè)凸臺(tái)間隔周期T2的時(shí)間，對(duì)應(yīng)阻力所做功分別為：W1=0J，W2=0.0029J，W3=0.0049J，W4=0.0063J。單純使用能量無(wú)法表示阻力的大小，此處，定義等效阻力f

的表達(dá)式為

f=∫t0f·vdt∫t0vdt（19）

同樣對(duì)前4個(gè)T2的時(shí)間進(jìn)行積分，借助式（19）計(jì)算圖4中4種情況下的等效阻力：f1=0N，f2=0.0116N，f3=

0.0197N，f4=0.0253N。由圖4可知，當(dāng)擺輪的擺動(dòng)周期是軌道間隔周期的2倍時(shí)，等效阻力為0，阻力所做功也為零，即能量耗散最小，此時(shí)軌道凸臺(tái)對(duì)擺輪所做的功全部被擺輪反饋。

4" 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對(duì)輪-阜機(jī)構(gòu)可行性進(jìn)行驗(yàn)證，制造了金屬模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。因恒定大小的拉力較難實(shí)現(xiàn)，故搭建圖5所示的斜面實(shí)驗(yàn)臺(tái)，利用重力沿斜面方向的分量提供穩(wěn)定的滑動(dòng)驅(qū)動(dòng)力。通過(guò)測(cè)量擺輪平面和凸臺(tái)平面發(fā)生相對(duì)平穩(wěn)滑動(dòng)時(shí)的傾斜角α，可計(jì)算切向拉力和法向載荷的比值，即tanα。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由可調(diào)節(jié)傾角的斜面軌道和擺輪平面組成，擺輪沿著x、y軸方向的排列分布如圖5（a），既保證了平面滑行的穩(wěn)定又縮小了擺輪平面的尺寸。實(shí)驗(yàn)中取擺輪個(gè)數(shù)N為12，保證前后排至少同時(shí)有4個(gè)擺輪與軌道接觸，裝置實(shí)物如圖5（b）所示。

斜面軌道長(zhǎng)度為1m，底部?jī)蓚?cè)都有旋鈕可調(diào)整傾斜角α，試驗(yàn)時(shí)測(cè)量?jī)蓚?cè)高度差h，即可得到tanα，進(jìn)而求出切向力。在擺輪表面添加3種載荷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果列在表1中。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，隨著法向載荷的增大，滑動(dòng)所需的切向力幾乎沒(méi)有增加，所以切向力與法向力之比有減小的趨勢(shì)。通過(guò)使用該機(jī)構(gòu)，使用較小的拉力即可以拉動(dòng)上百倍大小的載荷，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了該機(jī)構(gòu)的確有減小阻力的作用，證明了模型的可行性。

5" 結(jié)" 論

本研究提出一種輪-阜復(fù)擺互動(dòng)機(jī)構(gòu)，利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法研究其運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)程序模擬仿真與實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，得到以下結(jié)論。

1）本研究設(shè)計(jì)的輪-阜機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定可靠，通過(guò)擺輪與軌道的相互配合，能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)的滑動(dòng)過(guò)渡，并且拉力大小恒定與載荷重量無(wú)關(guān)，在凸臺(tái)和擺輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度合適耦合狀態(tài)良好的條件下，對(duì)能量利用率較高。

2）在實(shí)際應(yīng)用中，可利用該原理設(shè)計(jì)一種宏觀運(yùn)輸機(jī)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)極小的拉力運(yùn)輸較大的載荷，在倡導(dǎo)節(jié)能減排、增加能源利用率的當(dāng)下，減少能源消耗具有非常重要的意義。輪阜機(jī)構(gòu)還可縮小尺寸以應(yīng)用于微觀表面，為固體超滑提供新的思路。

3）擺輪結(jié)構(gòu)利用彈簧使其復(fù)位，但此處的彈簧僅為力學(xué)構(gòu)件，可以替換為簧片等其他結(jié)構(gòu)，甚至直接使用3D打印技術(shù)整體打印成型。

4）本研究目前還存在一些局限，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)微分方程是基于輪-阜皆為剛體的假設(shè)上建立的，在實(shí)際應(yīng)用中結(jié)構(gòu)尺寸會(huì)發(fā)生形變，滑動(dòng)阻力會(huì)因此受到法向載荷細(xì)微的影響。

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（編輯" 張璐）