雙重孔隙流體飽和介質(zhì)彈性波散射二維IBIEM模擬

收稿日期：2021-07-09""" 修回日期：2022-03-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助項(xiàng)目（No.51878434）；天津市杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目資助項(xiàng)目（No.19JCJQJC62900）；天津市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（No.2020YJSS074）

作者簡(jiǎn)介：劉中憲，教授。E-mail： zhongxian1212@163.com

引用格式：

劉中憲，孫珺， 黃磊， 等.雙重孔隙流體飽和介質(zhì)彈性波散射二維IBIEM模擬［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2024，41（3）：708-718.

LIU Zhongxian，SUN Jun，HUANG Lei，et al.Two-dimensional IBIEM simulation of elastic wave scattering in double-porous fluid-saturated media［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：708-718.

文章編號(hào)：1000-4939（2024）03-0708-11

摘" 要：基于平面波勢(shì)函數(shù)，采用間接邊界積分方程法（indirect boundary integral equation method，IBIEM）研究了雙孔隙流體飽和介質(zhì)中彈性波入射下二維孔洞的散射特性。推導(dǎo)得到了雙孔隙介質(zhì)中全空間二維線源動(dòng)力格林函數(shù)，并給出了各散射波的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。在數(shù)值精度驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，以雙孔隙二維飽和全空間中孔洞為例，解決了平面P、SV波入射下的地震波散射問題。數(shù)值結(jié)果表明：雙重孔隙介質(zhì)中的位移幅值、環(huán)向應(yīng)力幅值、孔隙壓力變化規(guī)律與不同入射波形，入射頻率，孔隙率和邊界排水條件密切相關(guān)，位移幅值在低頻（無(wú)量綱頻率η≤2）入射時(shí)出現(xiàn)峰值。環(huán)向應(yīng)力幅值與干土條件相比更為復(fù)雜，基質(zhì)孔壓與裂縫孔壓的存在增大了雙重孔隙飽和介質(zhì)的能量效應(yīng)，總體震動(dòng)趨勢(shì)大于干土條件，環(huán)向應(yīng)力放大可達(dá)62%。

關(guān)鍵詞：雙重孔隙飽和介質(zhì);彈性波散射;間接邊界積分方程法;雙孔隙介質(zhì)動(dòng)力格林函數(shù)

中圖分類號(hào)：P315.9;TU435" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.025

Two-dimensional IBIEM simulation of elastic wave scattering in double-porous fluid-saturated media

LIU Zhongxian1，2，SUN Jun2，HUANG Lei1，2，ZHAO Ruibin1

（1.Tianjin Key Laboratory of Soft Soil Characteristics and Engineering Environment，Tianjin Chengjian University，

300384 Tianjin，China;

2.School of Civil Engineering，Tianjin Chengjian University，300384 Tianjin，China）

Abstract：The scattering characteristics of a two-dimensional cavity under the incidence of elastic waves in a double-porous fluid-saturated medium are studied by the indirect boundary integral equation method （IBIEM） in this article，which is based on the plane wave potential function. The dynamic Greens function of two-dimensional line source in a saturated full space with double pores is derived，and the displacement field and stress field of each scattered wave are given. Based on the verification of numerical accuracy，the problem of seismic wave scattering under the incidence of plane P and SV waves is solved by taking a cavity in the two-dimensional saturated full space with double pores as an example. Numerical results show that the displacement amplitude，hoop stress amplitude，and pore pressures changing regulation in dual-porous media are closely related to different incident waveforms，incident frequency，porosity，and boundary drainage conditions. The displacement amplitude peak appears at low frequency （dimensionless frequency η≤2） incidence.Compared with dry soil conditions，the hoop stress amplitude is more complicated. The existence of matrix pore pressure and crack pore pressure increases the energy effect of the double pore-saturated site，where the overall vibration trend is greater than that of the site under dry soil conditions，and the magnification can reach 62%.

Key words：dual-porous saturated media; elastic wave scattering; indirect boundary integral equation method; dual-porous media dynamic Greens function

土層內(nèi)地質(zhì)構(gòu)造通常是多孔的，充滿流體。BIOT［1］最早建立了單一孔隙流體飽和多孔介質(zhì)的基本理論并得出飽和介質(zhì)中存在3種體波，即快壓縮波（P1波）、慢壓縮波（P2波）和剪切波（S波）。之后，PLONA等［2-3］通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了BIOT描述的慢壓縮波。近幾十年來(lái)，眾多學(xué)者基于BIOT理論對(duì)含單一孔隙率的飽和多孔介質(zhì)中彈性波的傳播理論進(jìn)行了完善和補(bǔ)充［4-7］。

然而現(xiàn)實(shí)中，由于不同的物理和地質(zhì)過程，孔隙可能存在不同的孔隙率和滲透率。非均質(zhì)儲(chǔ)層具有多孔網(wǎng)絡(luò)：一個(gè)是基質(zhì)孔隙度，另一個(gè)是裂縫孔隙度，基質(zhì)孔隙度占據(jù)了儲(chǔ)層的大部分體積，而裂縫孔隙度占據(jù)了非常小的體積［8］。如果假設(shè)裂縫孔隙消失，即簡(jiǎn)化為有效的BIOT理論［1］。對(duì)于在宏觀尺度上具有基質(zhì)孔隙度和細(xì)觀上具有互連裂縫系統(tǒng)的材料，由于這些不同尺寸孔隙之間的流動(dòng)交換機(jī)制，雙孔隙度雙滲透率模型相比單孔隙度模型，能更好的反映地震波的衰減規(guī)律。

BERRYMAN等［8］根據(jù)雙孔隙介質(zhì)中的能量守恒原理，首次提出了雙孔隙度/雙滲透率模型，包括基質(zhì)孔隙度和裂縫孔隙度，考慮了宏觀和微觀孔隙中的彈性位移和流體位移，建立并求解了波在雙孔隙介質(zhì)中傳播的色散關(guān)系。這一理論得到了PRIDE等［9］的進(jìn)一步改進(jìn)，考慮孔隙的壓縮性與頻率相關(guān)，描述了多孔組分之間的宏觀流體轉(zhuǎn)移，模擬了平面波入射引起的流體流動(dòng)造成的實(shí)際衰減。巴晶［10］通過研究雙孔隙介質(zhì)中的局域流機(jī)制，推導(dǎo)了雙孔波動(dòng)方程，分析了地震波的速度頻散與能量衰減規(guī)律。之后，SHARMA［11］的研究表明了SV波入射波頻率、孔隙流體黏度和骨架滲透率對(duì)雙孔隙度雙滲透率材料中波的傳播和衰減的影響。ZHENG等［12］研究了雙孔隙巖石中介觀流動(dòng)引起的彈性波衰減和頻散，并比較了存在介觀流動(dòng)和不存在介觀流動(dòng)時(shí)第一波（P1波）、第二波（P2波）、第三縱波（P3波）以及橫波（S波）的衰減曲線。然而以上學(xué)者的研究重點(diǎn)在于雙孔隙介質(zhì)對(duì)地震波傳播的影響，忽略了雙孔隙介質(zhì)中的不規(guī)則地形對(duì)地震波的散射效應(yīng)。

本研究采用間接邊界積分方程法（indirect boundary integral equation method，IBIEM），求解雙重孔隙流體飽和介質(zhì)中地下孔洞對(duì)地震波的散射，詳細(xì)分析了全空間中的孔洞對(duì)雙孔隙飽和介質(zhì)中的位移幅值、環(huán)向應(yīng)力幅值、孔隙壓力的影響規(guī)律。本研究IBIEM對(duì)于解決無(wú)限域問題具有降低問題求解維數(shù)，自動(dòng)滿足無(wú)限遠(yuǎn)輻射條件等優(yōu)勢(shì)。為了處理格林函數(shù)的奇異性，本研究在虛擬波源的設(shè)置上，與散射體的實(shí)際邊界保持一定距離。方法最初源于KUPRADZE等［13］的研究工作，從離散形式上看，該方法也屬于一種無(wú)網(wǎng)格方法，因此數(shù)值模擬前后處理十分簡(jiǎn)便。

1" 模型計(jì)算

如圖1（a）所示，假定全空間介質(zhì)為各向同性的雙孔隙流體飽和介質(zhì)，內(nèi)部存在一無(wú)限長(zhǎng)圓柱形孔洞。兩種孔隙形態(tài)為：基質(zhì)孔隙（孔隙）和裂縫孔隙（裂隙）（圖1b）。前者是由處于更松弛狀態(tài)并且?guī)r石顆粒相對(duì)較小的構(gòu)架組成，因此這類孔隙較容易被壓縮并且具有較低的滲透率，是孔隙主要形態(tài)。后者是由體積較大并且?guī)r石顆粒相對(duì)較為堅(jiān)硬的構(gòu)架組成，因此這類孔隙具有相對(duì)較高的滲透率和較大的流體容積，是流體流動(dòng)的主要通道。故其力學(xué)行為由固體骨架、基質(zhì)孔隙流體和裂縫孔隙流

體及其相互作用共同決定［14］。

考慮平面P、SV波從左側(cè)水平入射（θα=90°），波面垂直于孔洞縱軸，待求問題為平面應(yīng)變狀態(tài)下的彈性波散射。基于單層位勢(shì)原理，可在孔洞內(nèi)部一虛擬源面S1上施加虛擬波源以構(gòu)建散射波場(chǎng)，本研究取Rs=0.5R0，Rs為虛擬波源面S1的半徑，R0為孔洞的半徑。根據(jù)孔洞邊界（D0）連續(xù)性邊界條件構(gòu)建方程以求解波源強(qiáng)度，進(jìn)而計(jì)算散射場(chǎng)位移與應(yīng)力，將其和自由場(chǎng)位移與應(yīng)力疊加即得到總場(chǎng)位移與應(yīng)力。

1.1" 傳播特性

在雙重孔隙飽和介質(zhì)中存在著3類壓縮波P1，P2，P3和1類剪切波S。P1、P2、P3和S波的波數(shù)分別為h1，h2，h3和ks，勢(shì)函數(shù)分別為φ1、φ2、φ3、ψ。Φf1、Ψf1為基質(zhì)孔隙流體相應(yīng)的位勢(shì)函數(shù)，Φf2、Ψf2為裂縫孔隙流體相應(yīng)的位勢(shì)函數(shù)，函數(shù)滿足下列等式。

φ=φ1+φ2+φ3（1a）

Ψf1=∧1sψ（1b）

Ψf2=∧2sψ（1c）

Φf1=∧1p1φ1+∧1p2φ2+∧1p3φ3（1d）

Φf2=∧2p1φ1+∧2p2φ2+∧2p3φ3（1e）

基于位移矢量和兩種流體相對(duì)位移矢量Helmholtz分解［15］，可推導(dǎo)得出

ux=φx+ψz（2a）

uy=φy－ψx

（2b）

wf1，x=Φf1x+Ψf1z（3a）

wf1，y=Φf1y－Ψf1x（3b）

wf2，x=Φf2x+Ψf2z（3c）

wf2，y=Φf2y－Ψf2x（3d）

式中：ux，uy，wf1，x，wf1，y，wf2，x，wf2，y分別為固體框架的x、y方向位移，基質(zhì)孔隙流體相對(duì)于固體框架的x、y方向位移，裂縫孔隙流體相對(duì)于固體框架的x、y方向位移。根據(jù)ZHENG等的推導(dǎo)［12］，可確定上式中的∧1p1、∧1p2、∧1p3、∧1s、∧2p1、∧2p2、∧2p3、∧2s為基質(zhì)孔隙勢(shì)函數(shù)系數(shù)與裂縫孔隙勢(shì)函數(shù)系數(shù)表達(dá)式。定義壓縮波P1、P2、P3的波速分別為c1、c2、c3，SV波的波速為cs，可通過牛頓迭代法確定［8］。

1.2" 格林函數(shù)推導(dǎo)

1.2.1" 壓縮波

壓縮波勢(shì)函數(shù)為

φk=H20（hkr）" k=1，2，3（4）

式中：r=（x－x′）2+（y－y′）2表示觀察點(diǎn)x與波源點(diǎn)x′之間的標(biāo)準(zhǔn)距離；下標(biāo)k=1，2，3分別表示P1波、P2波和P3波；hk

表示P1、P2、 P3波的波數(shù)，hk=ωck；H20（hkr）是以hk與r的乘積為自變量的0階第二類漢克爾函數(shù)。

根據(jù)位移勢(shì)函數(shù)的波動(dòng)方程可得

ux，k=φkx（5a）

uy，k=φky（5b）

基質(zhì)孔隙流體和裂縫孔隙流體相對(duì)于固體框架位移分別為

w1x，k=－∧1pkux，k（6a）

w1y，k=－∧1pkuy，k（6b）

w2x，k=－∧2pkux，k（7a）

w2y，k=－∧2pkuy，k（7b）

根據(jù)式（6）～（8），平面壓縮波作用下的位移、兩種流體相對(duì)土骨架位移格林函數(shù)表達(dá)式為

ux，k=－h(huán)kxH211，2，hkr/r（8a）

uy，k=－h(huán)kyH211，2，hkr/r （8b）

w1x，k=－∧1pkhkxH211，2，hkr/r（9a）

w1y，k=－∧1pkhkyH211，2，hkr/r（9b）

w2x，k=－∧2pkhkxH211，2，hkr/r（10a）

w2y，k=－∧2pkhkyH211，2，hkr/r（10b）

基于ZHENG等［12］提出的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式，土骨架應(yīng)力，兩種流體孔隙壓力格林函數(shù)為

σxx，k=－c12ξ1k－c13ξ2k+c11－23μek+2μexx，k （11a）

σyy，k=－c12ξ1k－c13ξ2k+（c11－23μ）ek+2μeyy，k（11b）

σxy，k=2μexy，k（12）

p1k=－c11ek+c22ξ1k+c23ξ2k（13a）

p2k=－c12ek+c23ξ1k+c33ξ2k（13b）

式中，e，ξ分別為土骨架和流體的體積應(yīng)變。

本構(gòu)關(guān)系系數(shù)的具體表達(dá)式如下

c11=a22a33－a223Δ（14a）

c12=a13a23－a12a33Δ（14b）

c13=a12a23－a13a22Δ（14c）

c22=a11a33－a213Δ（14d）

c33=a11a22－a212Δ（14e）

c23=a12a13－a11a23Δ（14f）

式中：Δ=detA=a11－a12－a13－a12a22a23－a13a23a33，a11、a12、a13、a22、a23、a33的具體表達(dá)式已由ZHENG等［12］推導(dǎo)得到。

1.2.2" 剪切波

剪切波勢(shì)函數(shù)為

ψ=H20（ksr）（15）

式中：ks表示SV波的波數(shù)，ks=ωcs。

剪切波作用下的位移和兩種流體相對(duì)位移格林函數(shù)表達(dá)式

ux，s=－ksyH211，2，ksr/r（16a）uy，s=ksxH211，2，ksr/r（16b）

w1x，s=－∧1sksy

H211，2，ksr/r（16c）

w1y，s=∧1sksxH211，2，ksr/r（16d）

w2x，s=－∧2sksyH211，2，ksr/r（16e）

w2y，s=∧2sksxH211，2，ksr/r（16f）

土骨架應(yīng)力，兩種流體孔隙壓力格林函數(shù)為

σxx，s=2μxy2ksr3H21（ksr）-k2sr2H20（ksr）（17a）

σyy，s=－σxx，s（17b）

σxy，s=μy2－x22ksr3H21（ksr）-k2sr2H20（ksr）（17c）

p1s=0（18a）

p2s=0（18b）

1.3" 波場(chǎng)分析

首先將總波場(chǎng)分解為自由場(chǎng)和散射場(chǎng)。當(dāng)介質(zhì)中不含散射體時(shí)，自由場(chǎng)為彈性波入射下的波場(chǎng)解。WONG推導(dǎo)得出了自由場(chǎng)下的位移表達(dá)式［16］，根據(jù)1.2節(jié)的推導(dǎo)過程可得到自由場(chǎng)下的應(yīng)力。當(dāng)介質(zhì)中存在散射體時(shí)，全空間中將會(huì)發(fā)生波的散射?；趩螌游粍?shì)理論，散射場(chǎng)由雙重飽和介質(zhì)中的3種壓縮波源和剪切波源產(chǎn)生。

假設(shè)波源在散射體內(nèi)部虛擬面S1上均勻分布，則雙孔隙飽和介質(zhì)無(wú)限域中散射場(chǎng)的位移、應(yīng)力，兩種流體的相對(duì)土骨架位移和相對(duì)孔隙流體壓力可表示為

usi（x）=∫S1［b1（x′）Gi，1（x，x′）+c1（x′）Gi，2（x，x′）+d1（x′）Gi，3（x，x′）+es（x′）Gi，s（x，x′）］dS（x′）（19）

σsij（x）=

∫S1［b1（x′）Tij，1（x，x′）+c1（x′）Tij，2（x，x′）+d1（x′）Tij，3（x，x′）+e1（x′）Tij，s（x，x′）］dS（x′）（20）

w1si（x）=

∫S1［b1（x′）W1i，1（x，x′）+c1（x′）W1i，2（x，x′）+d1（x′）W1i，3（x，x′）+e1（x′）W1i，s（x，x′）］dS（x′）

（21）

w2si（x）=∫S1［b1（x′）W2i，1（x，x′）+c1（x′）W2i，2（x，x′）+d1（x′）W2i，3（x，x′）+e1（x′）W2i，s（x，x′）］dS（x′）

（22）

p1s（x）=

∫S1［b1（x′）

P11（x，x′）+c1（x′）P12（x，x′）+d1（x′）P13（x，x′）+e1（x′）P1s（x，x′）］dS（x′）（23）

p2s（x）=

∫S1［b1（x′）P21（x，x′）+c1（x′）P22（x，x′）+d1（x′）P23（x，x′）+e1（x′）P2s（x，x′）］dS（x′）（24）

式中，x∈D0，x′∈S1。b1（x′）、c1（x′）、d1（x′）、es（x′） 分別表示在虛擬波源面S1上對(duì)應(yīng)波源P1，P2，P3，SV波的散射密度。Gi，k（x，x′）=ui，k，Tij，k（x，x′）=σij，k，W1i，k（x，x′）=w1i，k，W2i，k（x，x′）=w2i，k，P1k（x，x′）=p1k和

P2k（x，x′）=p2k分別表示雙孔隙介質(zhì)飽和空間中對(duì)應(yīng)的固體位移、應(yīng)力，兩種孔隙流體相對(duì)土骨架位移和兩種孔隙流體壓力的格林函數(shù)（下標(biāo)i，j=x，y，

分別表示x軸與y軸方向）。

1.4" 邊界條件與求解

當(dāng)邊界情況為透水時(shí)，邊界條件為：土骨架應(yīng)力為0，基質(zhì)孔隙流體壓力為0以及裂縫孔隙流體壓力為0。根據(jù)邊界條件，建立連續(xù)方程

σsnn+σfnn=0（25a）

σsnt+σfnt=0（25b）

p1s+p1f=0（25c）

p2s+p2f=0（25d）

式中σnn，σnt分別為土骨架的正應(yīng)力和切應(yīng)力，上標(biāo)s， f 分別表示散射場(chǎng)和自由場(chǎng)。σnn，σnt與σxx，σxy，σyy之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

σnn=σxxn2x+σyyn2y+2σxynxny（26a）

σnt=（－σxx+σyy）nxny+σxy（n2x－n2y） （26b）

式中nx，ny分別為單元法向量與x軸和y軸的方向余弦。

邊界條件為不透水情況時(shí)， 邊界條件為：土骨架應(yīng)力為0，基質(zhì)孔隙流體與裂縫孔隙流體的軸向相對(duì)土骨架位移分別為0。式（25c）、（25d）可替換為

w1sn+w1fn=0（27a）

w2sn+w2fn=0（27b）

式中w1n，w2n分別為基質(zhì)孔隙流體和裂縫孔隙流體的軸向相對(duì)土骨架位移。w1n，w2n與w1x，w1y，w2x，w2y之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

w1n=w1xnx+w1yny（28a）

w2n=w2xnx+w2yny（28b）

將式（25）移項(xiàng)并表達(dá)為

∑N1l=1［b1（xl）Tnn，1（xn，xl）+c1（xl）Tnn，2（xn，xl）+d1（xl）Tnn，3（xn，xl）+e1（xl）Tnn，s（xn，xl）］=-σfnn（xn）（29）

∑N1l=1［b1（xl）Tnt，1（xn，xl）+c1（xl）Tnt，2（xn，xl）+d1（xl）Tnt，3（xn，xl）+e1（xl）Tnt，s（xn，xl）］=-σfnt（xn）（30）

∑N1l=1［b1（xl）P11（xn，xl）+c1（xl）P12（xn，xl）+d1（xl）P13（xn，xl）+e1（xl）P1s（xn，xl）］=-p1f（xn）（31）

∑N1l=1［b1（xl）P21（xn，xl）+c1（xl）P22（xn，xl）+d1（xl）P23（xn，xl）+e1（xl）P2s（xn，xl）］=-p2f（xn）（32）

對(duì)于孔洞邊界條件為不透水情況時(shí)，式（31～32）可替換為

∑N1l=1［b1（xl）W1n，1（xn，xl）+c1（xl）W1n，2（xn，xl）+d1（xl）W1n，3（xn，xl）+e1（xl）W1n，s（xn，xl）］=-w1fn（xn）（33）

∑N1l=1［b1（xl）W2n，1（xn，xl）+c1（xl）W2n，2（xn，xl）+d1（xl）W2n，3（xn，xl）+e1（xl）W2n，s（xn，xl）］=-w2fn（xn）（34）

根據(jù)界面D0處的連續(xù)性邊界條件，可以得到透水邊界和不透水邊界條件下空洞的矩陣方程，即

Tnn，1Tnn，2Tnn，3Tnn，sTnt，1Tnt，2Tnt，3Tnt，sP11P12P13P1sP21P22P23P2sb1c1d1e1=－σfnn－σfnt－p1f－p2f（35）

Tnn，1Tnn，2Tnn，3Tnn，sTnt，1Tnt，2Tnt，3Tnt，s

W1n，1W1n，2W1n，3W1n，sW2n，1W2n，2W2n，3W2n，sb1c1d1e1=－σfnn－σfnt－w1fn－w2fn（36）

式（35）～（36）可以采用逆矩陣法求解，即可求得波源密度，進(jìn)而求得散射場(chǎng)，然后疊加上自由場(chǎng)得到總波場(chǎng)解。

2" 精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本研究方法在雙孔隙飽和介質(zhì)中散射的正確性與適用性，將本節(jié)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［17-18］的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，參數(shù)取值設(shè)置為與文獻(xiàn)相同，見表1。首先定義無(wú)量綱計(jì)算頻率η。

η=aωπcs（37）

2.1" 參數(shù)驗(yàn)證

考慮雙重孔隙飽和介質(zhì)波散射問題，首先需要準(zhǔn)確計(jì)算自由場(chǎng)反應(yīng)，圖2給出了本研究結(jié)果與ZHENG等［17］計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。位移頻譜結(jié)果表明本研究結(jié)果與文獻(xiàn)［17］匹配良好。

2.2" 退化驗(yàn)證

由于目前沒有解析解或者數(shù)值解對(duì)該問題進(jìn)行過研究，圖3給出了雙孔隙飽和介質(zhì)中孔洞退化結(jié)果與IBEM方法結(jié)果的對(duì)比［18］。如表1所示，將基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)均取為0.001，黏性系數(shù)取為0，流體體積模量與流體質(zhì)量密度分別取2×10-9GPa、1kg·m－3。由此將雙孔隙飽和介質(zhì)退化到彈性介質(zhì)，無(wú)量綱入射頻率η=0.5，相對(duì)應(yīng)彈性介質(zhì)計(jì)算參數(shù)：泊松比v=0.457，固體體積模量K1=10GPa，固體質(zhì)量密度ρs=2650kg/m3?？梢妰烧呓Y(jié)果吻合良好，進(jìn)一步表明了本研究方法的正確性。

3" 算例分析

為了揭示流體飽和雙孔隙介質(zhì)對(duì)地震波散射的基本規(guī)律，以含孔洞地形的二維雙孔隙飽和全空間為例，采用本研究方法進(jìn)行參數(shù)分析，解決不同孔隙率下的平面P波和SV波入射時(shí)地震波散射問題，計(jì)算模型如圖1（a）所示。基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)取0.178與0.36，裂縫體積分?jǐn)?shù)分別取0.0178與0.036，其他參數(shù)均與第2節(jié)中退化驗(yàn)證用到的參數(shù)相同。另外，本章節(jié)數(shù)值模擬分析，假設(shè)P波和SV波沿負(fù)x軸平行入射（圖1a），計(jì)算的位移幅值，環(huán)向應(yīng)力幅值，表面孔隙流體壓力幅值均經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理。

3.1" 雙孔隙介質(zhì)中二維孔洞在P、SV波入射下的位移幅值

為了研究雙孔隙介質(zhì)中二維孔洞表面位移變化規(guī)律，圖4、5分別給出了P、SV波入射時(shí)干土和透水情況下二維孔洞的表面位移幅值頻譜結(jié)果?？锥磮A心與表面觀測(cè)點(diǎn)的連線與水平方向的夾角θ=45°、90°、135°、180°。定義無(wú)量綱頻率η范圍為0.0～5.0。圖4結(jié)果表明：P波入射時(shí)，孔洞模型的位移幅值依賴于頻率的變化，位移峰值大多在低頻率出現(xiàn)。隨著入射頻率的增加，位移逐漸減小。例如觀測(cè)點(diǎn)位于θ=180°時(shí)，基質(zhì)

孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.36，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.036時(shí)，x方向的位移峰值在干土與透水情況下均在頻率為0.0～2.0之間達(dá)到峰值2.45和2.56。同樣孔隙率的透水條件下的位移峰值明顯大于干土條件下的位移峰值?；|(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.178，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.0178時(shí)，y方向的位移峰值在干土條件下與透水條件下分別為1.02與1.22，增大了約20%。另外，在孔隙率相同的情況下，不同的觀測(cè)點(diǎn)的位移有著明顯的差異，如x方向的位移在觀測(cè)點(diǎn)位于θ=180°時(shí)最大，y方向的位移在觀測(cè)點(diǎn)位于θ=45°時(shí)最大。相同的土質(zhì)情況下，孔隙率增大，位移峰值隨之增大。P波入射時(shí)，干土條件下的x，y方向的位移峰值均隨孔隙率增大而增大，x方向的位移峰值在基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.178，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.0178時(shí)為2.37，基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.36，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.036時(shí)為2.56，增大了約8%，y方向的位移峰值在基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.178，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.0178時(shí)為1.06，基質(zhì)孔隙體積分?jǐn)?shù)n1=0.36，裂縫體積分?jǐn)?shù)v2=0.036時(shí)為1.33，增大了約25%。圖5結(jié)果表明：SV波入射情況下，孔洞周圍各觀測(cè)點(diǎn)的位移明顯受到土質(zhì)條件的影響。

在θ=135°時(shí)，干土條件下的頻率η=2時(shí)的x方向位移幅值為4.92，土質(zhì)條件變?yōu)橥杆畷r(shí)，x方向的位移幅值變?yōu)?.39，增大了約30%。干土情況下的位移峰值隨著孔隙率的增加而增加，透水情況下的位移峰值隨著孔隙率的增加而減小。干土情況下的x方向位移峰值在基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036時(shí)為6.28，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)降低到0.178、0.0178時(shí)，x方向的位移峰值減小到5.09，減小了約24%。透水情況下的位移峰值在基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.0178、0.0178時(shí)為8.09，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)增大到0.36、0.036時(shí)，x方向的位移峰值減小到6.67，減小了約22%。

3.2" 雙孔隙介質(zhì)中二維孔洞在P、SV波入射下的表面環(huán)向應(yīng)力幅值

為了研究雙孔隙介質(zhì)中二維空洞表面環(huán)向應(yīng)力變化規(guī)律，圖6、7分別給出了P、SV波入射時(shí)干土和透水情況下二維空洞的表面環(huán)向應(yīng)力幅值結(jié)果。無(wú)量綱頻率η取值為0.25、0.5、1.0、2.0。圖6結(jié)果表明：P波入射時(shí)，空洞周圍環(huán)向應(yīng)力幅值和空間分布受到土質(zhì)條件的影響；干土情況下的應(yīng)力幅值隨著孔隙率的增加而減少，相反，透水情況下的應(yīng)力幅值隨著孔隙率的增加而增加；干土情況下的環(huán)向應(yīng)力在兩種孔隙率下的峰值分別為1.15和1.02，減少了約13%，透水情況下的環(huán)向應(yīng)力峰值分別為1.28和1.81，增大了約13%；隨著入射頻率的增加，兩種情況下的應(yīng)力幅值逐漸減小，在透水情況下，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178時(shí)，4種入射頻率下的環(huán)向應(yīng)力幅值分別為1.28、1.05、0.73、0.47。

圖7結(jié)果表明：SV波入射下，空洞周圍環(huán)向應(yīng)力幅值和空間分布在透水條件下更加復(fù)雜，產(chǎn)生了地震波散射現(xiàn)象，空洞周圍各觀測(cè)點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值存在差異；兩種情況下的環(huán)向應(yīng)力隨著孔隙率的增加變化不大，如干土情況下，η=0.25時(shí)的環(huán)向應(yīng)力幅值在基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178時(shí)為4.22，在基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036時(shí)為4.18，減小了約1%。隨著入射頻率的增加，兩種土質(zhì)下的環(huán)向應(yīng)力峰值逐漸減??；透水情況下，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178時(shí)，入射頻率η=0.25、0.5、1.0、2.0下的環(huán)向應(yīng)力峰值分別為4.06、3.77、3.51、2.3。

3.3" 雙孔隙介質(zhì)中二維空洞在P、SV波入射下的表面孔隙流體壓力

為了研究雙孔隙介質(zhì)中二維空洞表面空隙流體壓力的變化規(guī)律，圖8、9分別給出了透水情況下的

平面P、SV波入射下二維空洞的表面孔隙流體壓力幅值。定義無(wú)量綱入射頻率η=0.25、0.5、 1.0、2.0。

圖8結(jié)果表明：P波入射下，隨著入射頻率的增加，兩種孔隙流體壓力均增大；在透水條件下，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036時(shí)，入射頻率η=0.25、0.5、1.0、2.0下的基質(zhì)孔壓峰值依次為1.35、2.67、5.18、9.18；隨著孔隙率的增加，基質(zhì)孔壓略微增大，裂縫孔壓明顯減小，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178下的基質(zhì)孔壓峰值為9.05，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036下的基質(zhì)孔壓峰值為9.18，增大了約1%；基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178下的裂縫孔壓峰值為8.51，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036下的裂縫孔壓峰值為5.59，減小了約52%。圖9結(jié)果表明：SV波入射下的兩種孔隙流體壓力變化規(guī)律比P波入射下的結(jié)果復(fù)雜，兩種孔隙壓力的變化更為劇烈。兩種孔隙壓力均隨著入射頻率的增大而增大；基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036下的基質(zhì)孔壓在入射頻率η=0.25、0.5、1.0、2.0時(shí)分別為0.80、2.26、4.79、10.17；孔隙率增大，兩種孔隙壓力均減?。慌c基質(zhì)孔壓相比，裂縫孔壓減小的幅度更大；基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、0.0178下的基質(zhì)孔壓峰值為10.83，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036下的基質(zhì)孔壓峰值為10.17，減小了約6%；基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.178、

0.0178下的裂縫孔壓峰值為10.68，基質(zhì)體積分?jǐn)?shù)與裂縫體積分?jǐn)?shù)分別為0.36、0.036下的裂縫孔壓峰值為9.31，減小了約15%。

4" 結(jié)" 論

本研究采用一種高精度的間接邊界積分方程法（IBIEM），推導(dǎo)得到全空間雙孔隙介質(zhì)中二維線源動(dòng)力格林函數(shù)，計(jì)算了雙孔隙二維飽和全空間空洞在平面P波和SV波入射下的地震波散射的位移幅值、環(huán)向應(yīng)力幅值、基質(zhì)孔壓與裂縫孔壓，研究了雙重孔隙飽和介質(zhì)中地下洞室的彈性波的散射規(guī)律。結(jié)論如下。

1）對(duì)于孔洞表面位移幅值，隨著入射頻率的增加，雙孔隙飽和介質(zhì)中的在低頻時(shí)達(dá)到峰值，隨后趨于平緩。在干土與透水兩種土質(zhì)條件下，透水條件下的位移幅值的震動(dòng)趨勢(shì)更為明顯。隨著孔隙率的增加，P波入射下的位移幅值明顯增大了約20%，SV入射下的位移幅值增大了約30%。

2）對(duì)于孔洞表面環(huán)向應(yīng)力幅值，隨著入射頻率的增加，P波入射下的環(huán)向應(yīng)力幅值減小了62%，SV波入射下的環(huán)向應(yīng)力幅值減小了52%；隨孔隙率增大，在干土和透水兩種土質(zhì)條件下的環(huán)向應(yīng)力幅值均增大，P波入射下的環(huán)向應(yīng)力幅值增加了42%。

3）對(duì)于雙孔隙飽和介質(zhì)中的基質(zhì)孔壓與裂縫孔壓，隨著入射頻率的增大均增大，SV波入射下的孔隙壓力與P波相比更為劇烈，變化更為復(fù)雜；P波入射下時(shí)的裂縫孔壓明顯減小，減小了約52%；SV波入射下的兩種孔壓均減小，基質(zhì)孔壓減小了約7%，裂縫孔壓比基質(zhì)孔壓減小的幅度大，減小了約15%。

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（編輯" 呂茵）