圓環(huán)非線性恢復(fù)力的梁約束模型建模

收稿日期：2021-12-20""" 修回日期：2022-10-11

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（No.11872159；11902097）

通信作者：牛牧青。E-mail：niumuqing@hit.edu.cn

引用格式：

韓文舉，陸澤琦，牛牧青，等.圓環(huán)非線性恢復(fù)力的梁約束模型建模［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2024，41（3）：604-611.

HAN Wenju，LU Zeqi，NIU Muqing，et al.Nonlinear restoring force model of a circular ring based on the beam constraint model［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：604-611.

文章編號：1000-4939（2024）03-0604-08

摘" 要：圓環(huán)隔振器是一種以圓環(huán)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的非線性隔振器，圓環(huán)結(jié)構(gòu)在壓縮變形過程中會受到壓力和環(huán)面拉伸的耦合作用，從而產(chǎn)生非線性恢復(fù)力，對圓環(huán)結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的精確建模是研究隔振器性能的關(guān)鍵。將圓環(huán)結(jié)構(gòu)等分為多段曲梁，利用梁約束模型對每段曲梁建立計及幾何非線性的力-位移關(guān)系模型，結(jié)合曲梁間的力傳遞關(guān)系和幾何約束關(guān)系，建立了圓環(huán)整體在壓縮過程中的非線性恢復(fù)力模型，并計算了圓環(huán)變形過程中所有分段點處的正應(yīng)力。通過電子伺服疲勞試驗機對圓環(huán)結(jié)構(gòu)在壓縮過程中的恢復(fù)力進行了測量，驗證了梁約束模型的建模精度。研究結(jié)果表明，利用梁約束模型可以表征圓環(huán)結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力特性，其建模精度與橢圓積分法相當(dāng)，而模型表達式和求解過程都比橢圓積分法簡潔。圓環(huán)在壓縮量最大時正應(yīng)力最大，此時最大正應(yīng)力在圓環(huán)的上下端點。梁約束模型的建模精度隨著分段數(shù)的增加而提高，當(dāng)分段數(shù)大于12時，梁約束模型的恢復(fù)力計算誤差小于2%。

關(guān)鍵詞：圓環(huán)隔振器；非線性恢復(fù)力；梁約束模型；最大正應(yīng)力；橢圓積分法

中圖分類號：O31" 文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.013

Nonlinear restoring force model of a circular ring based on the beam constraint model

HAN Wenju1，LU Zeqi2，NIU Muqing1，CHEN Liqun1

（1.School of Science，Harbin Institute of Technology，518055 Shenzhen，China;2.Shanghai Institute

of Applied Mathematics and Mechanics， School of Mechanics and Engineering Science，Shanghai University，200072 Shanghai，China）

Abstract：The circular ring vibration isolator is a nonlinear vibration isolator based on a circular ring structure.The circular ring produces a nonlinear restoring force due to the coupling of the tension and the curvature caused by stretching.The key to studying the performance of the vibration isolator is the accurate modeling of the nonlinear restoring force of the circular ring.In this paper，the circular ring structure is equally divided into several segments of curved beams.The force-displacement relationship model considering geometric nonlinearity is established for each segment of the curved beam using the beam constraint model.Combined with the force transfer relationship and geometric constraint relationship between curved beams，the nonlinear restoring force model of the whole circular ring during the compression process is established.The normal stress at all segment points during the deformation of the circular ring can be calculated via the beam constraint model.The restoring force of the circular ring structure in the compression process is measured by an electronic servo fatigue testing machine，and the modeling accuracy of the beam constraint model is verified.The research results show that the nonlinear restoring force characteristics of the circular ring can be characterized by the beam constraint model.The modeling accuracy of the beam constraint model is comparable to that of the elliptic integration method，but the model expression and solution process are simpler than those of the elliptic integration method.When the compression of the circular ring is the largest，the normal stress is the largest，and the maximum normal stress is obtained at the upper and lower end points of the circular ring.The modeling accuracy of the beam constraint model increases with the increase of the number of segments.When the number of segments is greater than 12，the restoring force calculation error of the beam constraint model is less than 2%.This study provides a new method with concise form and convenient calculation for nonlinear restoring force modeling of the circular ring structure and establishes a foundation for the performance analysis of circular ring vibration isolators.

Key words：circular ring vibration isolator; nonlinear restoring force; beam constraint model; maximum normal stress; elliptic integral method

隨著工程中對于隔振需求的不斷提高，傳統(tǒng)線性隔振器難以滿足日益嚴(yán)苛的隔振要求，非線性隔振器可以實現(xiàn)寬頻高效隔振，因此受到了廣泛關(guān)注［1-4］。圓環(huán)隔振器是一種典型的非線性隔振器［5-8］，具有結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕便的特點，對圓環(huán)隔振器非線性恢復(fù)力的精確建模是研究其非線性隔振特性的基礎(chǔ)。

針對圓環(huán)結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力建模，本質(zhì)上是針對曲梁結(jié)構(gòu)的大變形建模，橢圓積分法針對這類問題提供了一種精確建模方法。LOVE［9］率先利用橢圓積分法研究了圓環(huán)結(jié)構(gòu)面內(nèi)、面外的平衡及其穩(wěn)定性，引領(lǐng)了圓環(huán)結(jié)構(gòu)的研究。文獻［10-11］研究了圓環(huán)結(jié)構(gòu)在拉伸和壓縮下的大變形特性。文獻［12-13］計算了圓環(huán)壓縮變形中節(jié)點彈性階段和波動彈性階段的剛度，并將推導(dǎo)過程中所涉及的參數(shù)進行了詳細(xì)說明。文獻［14］研究了受壓桿的大擾度失穩(wěn)和后屈曲特性。文獻［15-16］將等效伯努利-歐拉方程應(yīng)用于復(fù)合梁并采用擴展的Frisch-fay方法，將圓環(huán)壓縮變形過程分為節(jié)點彈性階段、波動彈性階段和負(fù)曲率變形階段，分三階段建立了壓縮變形下復(fù)合圓形梁的非線性力-位移關(guān)系式。橢圓積分法可以得到圓環(huán)結(jié)構(gòu)在壓縮變形下精確的力-位移關(guān)系，但該關(guān)系通過包含橢圓積分的隱式函數(shù)表達，各物理量間的關(guān)系不直觀，也無法利用該方法計算圓環(huán)上的應(yīng)力分布，且該方法需要對變形過程分階段進行積分求解，計算過程復(fù)雜且計算量大，這些缺點降低了橢圓積分法的實用性。

柔性結(jié)構(gòu)是指其幾何非線性因素在分析中影響較大而不可忽略的結(jié)構(gòu)，針對不同構(gòu)型的柔性結(jié)構(gòu)大變形已有一些建模方法，包括理論放大率模型［17］、基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)法［18］和梁約束模型［19］等，其中基于梁約束模型的建模方法成為了當(dāng)下研究的重點。AWTAR［19］在2004年首先提出了直梁的梁約束模型，這是一種計算梁非線性力-位移關(guān)系式的簡便近似求解方法。之后，文獻［20-21］利用直梁約束模型［19］對組合梁平行四邊形撓曲機構(gòu)進行了分析，驗證了直梁約束模型的準(zhǔn)確性。文獻［22-23］通過二維梁彎曲的廣義約束模型進一步推導(dǎo)出彎曲梁的梁約束模型。文獻［24-26］使用鏈?zhǔn)搅杭s束模型分析了柔順機構(gòu)中初始柔性梁的大擾度變形，得到了與五桿柔性機構(gòu)［27］一致的結(jié)論。文獻［28］使用梁約束模型完成了柔順機構(gòu)中兩對撓曲梁的非線性恢復(fù)力建模。用于隔振的薄壁圓環(huán)結(jié)構(gòu)也是一種柔性結(jié)構(gòu)，通過合理分段可以將圓環(huán)轉(zhuǎn)換為多段曲梁結(jié)構(gòu)，并利用梁約束模型進行較為精確和簡便的建模，但該方法的有效性和精度有待驗證，分段數(shù)的選取原則尚不明確。

研究圓環(huán)非線性恢復(fù)力的梁約束模型建模，旨在發(fā)展一套與橢圓積分法精度相當(dāng)而形式簡潔、計算量小的建模方法，獲得圓環(huán)在全壓縮過程中的力-位移關(guān)系，以及不同壓縮狀態(tài)下的應(yīng)力分布，探究圓環(huán)分段數(shù)對建模精度的影響。本研究的組織結(jié)構(gòu)如下：第1部分通過梁約束模型建立圓環(huán)結(jié)構(gòu)全壓縮變形過程中的力-位移關(guān)系，并建立圓環(huán)在不同壓縮狀態(tài)下的正應(yīng)力公式；第2部分通過算例對比了梁約束模型與橢圓積分法在處理圓環(huán)非線性恢復(fù)力問題時的精度，計算了圓環(huán)在全壓縮過程中的最大正應(yīng)力，并得出了鏈?zhǔn)搅杭s束模型計算圓環(huán)結(jié)構(gòu)時的最優(yōu)分段數(shù)；第3部分通過實驗驗證了梁約束模型計算結(jié)果的有效性；第4部分總結(jié)本研究的內(nèi)容。

1" 建模方法

圖1為半徑為R、厚度為H、寬度為W的圓環(huán)，圓環(huán)底部固定于基礎(chǔ)上，頂部端點B受集中力FA作用。圓環(huán)從自由狀態(tài)到B點與底座接觸前的全壓縮過程中始終保持左右對稱，B點只有豎直方向位移。

使用橢圓積分法［15］建模時，基于圓環(huán)的對稱性，如圖2所示，取1/4圓進行分析。將端點A處假設(shè)為固定端，頂部端點B處去掉約束后增加豎直方向力PB、水平方向力FB和彎矩M0。在這些力和彎矩的共同作用下端點B產(chǎn)生沿x軸、y軸的位移和曲率的變化。

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，曲梁上任意一點的彎矩與載荷引起的曲率變化成正比。參考相關(guān)文獻［10-11］，得到基本方程為

1ρx=M0E22I，M0=－PBy+FBR－x，PB=FA2

（1）

式中：1/ρx為變形后1/4圓環(huán)上各點的曲率變化量；I=WH3/12為慣性矩；E22為楊氏模量。

橢圓積分法將圓環(huán)壓縮變形過程分為3個階段；第1階段是小變形階段；第2階段從出現(xiàn)大變形開始到變形中出現(xiàn)負(fù)曲率為止；第3階段從變形中出現(xiàn)負(fù)曲率開始到圓環(huán)頂部與底部相接觸為止。3個階段的恢復(fù)力-位移關(guān)系如下。

第1階段［15］

ΔA=2R－42E22IpFAEp，π4－1－p22Fp，π4（2）

FA=8p2F2p，π4π2R2E22I （3）

式中：F（p，φ）和E（p，φ）分別為第一類和第二類不完全橢圓積分；p=2hλ；λ2=FA2E22I；h為1/4圓環(huán)變形后端點B與端點A的水平距離；ΔA為1/4圓環(huán)變形后端點B沿x軸的位移。

第2階段［15］

ΔA=22E22I·2π+1Fp，sin－11p2－2Ep，sin－11p2FA

（4）

FA=8F2p，sin－11p2π2R2E22I （5）

第3階段［15］

ΔA=2R－22E22I·4E（p）－2F（p）－2Ep，sin－11p2+Fp，sin－11p2FA

（6）

FA=82F（p）－Fp，sin－11p22π2R2E22I （7）

通過求解式 （2）～（7） 可得到圓環(huán)受壓變形全過程的理論解。雖然利用橢圓積分法可得到圓環(huán)壓縮變形的精確解，但該方法需要分階段求解，每個階段都要求解包含橢圓積分的隱式方程組，模型的表達和計算都較為復(fù)雜。

橢圓積分法建模時考慮了圓環(huán)的曲率非線性和變形后軸向載荷對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的幾何非線性。對于圓環(huán)結(jié)構(gòu)而言，圓環(huán)變形后軸向載荷產(chǎn)生的幾何非線性影響很大，不可忽略。而根據(jù)文獻［24］，將圓環(huán)結(jié)構(gòu)N等分為多段曲梁后，因為圓環(huán)在分段處理后可針對每一小段曲梁建立局部坐標(biāo)系，所以在局部坐標(biāo)系下圓環(huán)分段后每段曲梁變形后的曲率非線性影響很小。這里將圓環(huán)分段后每段曲梁變形后的曲率進行線性化近似表示，同時保留結(jié)構(gòu)變形后軸向載荷產(chǎn)生的幾何非線性，由此得到了圓環(huán)的鏈?zhǔn)搅杭s束模型［24］，從而避免了橢圓積分的求解，極大的簡化了計算過程，并且在處理大軸向變形梁時具有較高精度，可以精確地描述大軸向變形梁在其變形范圍內(nèi)的幾何非線性特性。因為梁約束模型要求κ≤0.1［23］，所以得到鏈?zhǔn)搅杭s束模型計算時的等分?jǐn)?shù)為

N≥［10ψ］ （8）

式中，ψ為圓弧的圓心角，頂部未變形時ψ =θ0=π。

如圖3所示，圓環(huán)頂部端點B受壓時關(guān)于y軸對稱。此時在頂點向下壓的過程中，使用鏈?zhǔn)搅杭s束模型［24］建模時，可以取右半圓進行分析，此時底部端點O為固定端，頂部端點B處去掉約束后增加豎直方向力PB、水平方向力FB和彎矩M0，在這些力的共同作用下端點B沿y軸的位移為ΔA，沿x軸方向沒有位移，并且端點B處的斜率保持不變。

根據(jù)式 （8） 將半圓進行32等分，第i個單元如圖4所示。Oixiyi為局部坐標(biāo)系，等分后的每一部分沿xi軸的長度為Li，每一段的斜率記為βi，Oxy為全局坐標(biāo)系。變形時，相對于全局坐標(biāo)系，每個節(jié)點Oi處的斜率表示為θi。

每個等分點Oi的斜率βi和坐標(biāo)值xi、yi表示為

βi=（i－1）πN，xi=Rsinβi，

yi=R（1－cosβi）" （1＜i≤N） （9）

每段沿xi軸的長度，以及無量綱化后的厚度和曲率分別為

Le=Li=RsinπN，

t=ti=HLe，κ=κi=LeR（10）

將圓環(huán)N等分后引入6N個變量：每一等分包括3個位移變量和3個力變量。對于第i個單元，用Fi、Pi和Mi分別表示徑向力、法向力和端點彎矩，Λi、Δi和αi分別表示相應(yīng)的徑向位移、法向位移和端點斜率變化。所有變量進行無量綱化為

pi=PiL2eE22I， fi=FiL2eE22I，mi=MiLeE22I，

λi=ΛiLe，δi=ΔiLe，αi=αi（11）

同時，頂部自由端的力和位移無量綱化表示為

pB=PBL2eE22I，fB=FBL2eE22I，m0=M0LeE22I，

x0=X0Le，y0=Y0Le，θ0=θ0 （12）

參考文獻［23-24］，利用梁約束模型并結(jié)合系統(tǒng)靜力平衡關(guān)系和幾何關(guān)系可得如下方程。針對圓環(huán)頂部受壓變形的情況，其梁約束模型的基本方程為［23］

fimi=12－6－64δiαi+pi65－110－110215δiαi+p2i－17001140011400－116300δiαi+piκ2κ12（13）

λi=t2pi12－κ2δi－κ12αi－12δiαi65－110－110215δiαi－piδiαi－17001140011400－116300δiαi+piκ360αi+piκ2720

（14）

圓環(huán)壓縮變形系統(tǒng)的固定端和頂部自由端的靜力平衡方程為

p1=pB，" f1=fB （15）

對圓環(huán)結(jié)構(gòu)進行分段分析后，其第i-1個單元和第i個單元的靜力平衡方程為i=2，…，N

cosθisinθi0－sinθicosθi01+λi－0.5κ+δi1fipimi=cosθi－1sinθi－10－sinθi－1cosθi－10001fi－1pi－1mi－1（16）

式中：－0.5κ+δi為第i個單元沿y軸的變形；θi可以通過下式得到，即

θ1=0，θi=βi+∑i－1k=1αki=2，3，…，N （17）

同時，有

mN=m0 （18）

圓環(huán)壓縮變形系統(tǒng)的幾何約束方程可表示為

∑Ni=11+λicosθi－（0.5κ+δi）sinθi=0∑Ni=11+λisinθi+（0.5κ+δi）cosθi=2R－ΔALeβN+∑Ni=1αi=π

（19）

式中，ΔA為圓環(huán)頂部的壓縮變形量。式 （13）～（19） 構(gòu)成了圓環(huán)頂部壓縮變形時的梁約束模型方程。

當(dāng)圓環(huán)頂部壓縮變形量為ΔA時，環(huán)上第i個分段點在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（Xi，Yi），其中

Xi=Le∑ii=11+λicosθi－（0.5κ+δi）sinθi

（20）

Yi=Le∑ii=11+λisinθi+（0.5κ+δi）cosθi

（21）

則此時第i個分段點處的正應(yīng)力記為σi［29］，且

σi=6M0－PBXi－FB2R－YiWT2 （22）

圓環(huán)從自由狀態(tài)壓縮到上下頂點接觸時的整個壓縮過程 （ΔA∈［0，2R］） 中，所有時刻所有分段點的最大正應(yīng)力記為σmax，即變形過程中圓環(huán)所受最大正應(yīng)力。

對比橢圓積分法，梁約束模型在整個壓縮過程中的表達式統(tǒng)一，且均為顯式方程表達，方程的數(shù)值求解不包含積分等復(fù)雜計算，求解速度較快。相比于橢圓積分法在計算過程中存在大量的橢圓積分運算，梁約束模型的計算過程更為簡潔，且梁約束模型可以計算圓環(huán)變形后各分段端點的正應(yīng)力，這樣就可以進一步研究結(jié)構(gòu)是否在變形過程中發(fā)生了屈曲。

2" 數(shù)值仿真

取寬度W=0.04m，半徑R=0.2m，厚度H=0.0008m，楊氏模量E22=2.06×1011Pa的彈簧鋼圓環(huán)進行研究，考慮圓環(huán)是對稱結(jié)構(gòu)，圓環(huán)頂點沿y軸做直線運動，因此運用梁約束模型對1/2圓進行分析。橢圓積分法和梁約束模型都適用于曲梁的大變形分析，因此兩種方法都適用于圓環(huán)頂部端點從不受力狀態(tài)到與底部固定端接觸前的全壓縮過程計算。對于頂點的給定位移ΔA，相應(yīng)的頂端坐標(biāo)和斜率表示為

X0=0，Y0=400－ΔA，θ0=π （23）

將式（23）代入梁約束模型式 （13）～（19） 中求解，可得到力PB，因此得到所需力

FA=－2PB （24）

圖5將梁約束模型與橢圓積分法［15］得到的圓環(huán)壓縮變形的力-位移曲線進行了比較。通過式 （2）～（7） 的求解，可得到如圖5（a）所示的橢圓積分法計算圓環(huán)壓縮變形的3個階段，梁約束模型得到的結(jié)果與橢圓積分法的結(jié)果吻合較好。由圖5（b）可知，兩種方法間的絕對誤差隨著圓環(huán)變形的增加而增大。通過計算，得出兩種方法間的最大絕對誤差為0.12N。當(dāng)不考慮曲梁的曲率非線性影響下，在曲梁變形較小時，梁約束模型得到的結(jié)果與橢圓積分法的結(jié)果絕對誤差較??；但隨著曲梁變形的增加，忽略曲梁的曲率非線性造成的計算誤差增大，因此梁約束模型得到的結(jié)果與橢圓積分的結(jié)果隨著圓環(huán)變形的增加而增大。

圓環(huán)結(jié)構(gòu)在整個壓縮過程中的正應(yīng)力通過式（22）計算?；趫A環(huán)的左右對稱結(jié)構(gòu)取右半圓進行分析，在壓縮變形最大時（即圓環(huán)上下端點即將接觸時）應(yīng)力最大，其應(yīng)力分布如圖6所示。

圖6中黑色實線表示右半圓環(huán)壓縮到頂部端點與底部固定端接觸圖；紅色劃線表示右半圓環(huán)上各點的正應(yīng)力圖。由圖6可知，上下1/4半圓的應(yīng)力呈對稱分布，從上（下）端點到右端點應(yīng)力絕對值先減小后增大，在上下端點處取到應(yīng)力最大值為σmax=610MPa。

圖7討論了梁約束模型的結(jié)果與橢圓積分法的結(jié)果之間的相對均方根誤差隨梁約束模型分段數(shù)的變化。如圖7所示，當(dāng)分段數(shù)較少時，二者的相對均方根誤差隨著梁約束模型分段數(shù)的增加而迅速減??；當(dāng)N＝12時，二者的相對均方根誤差小于2%；當(dāng)N繼續(xù)增大時，二者的相對均方根誤差變化不大，且梁約束模型的結(jié)果仍然大于橢圓積分法的結(jié)果。

3" 實驗驗證

采用寬W=0.04m，半徑R=0.2m，厚度H=0.0008m，楊氏模量E22=2.06×1011Pa的圓環(huán)進行實驗。圖8為測量圓環(huán)非線性恢復(fù)力的裝置，電子伺服疲勞試驗機（EF7000W，LSI）的壓力方向為圓環(huán)半徑方向，儀器在圓環(huán)每次受壓變形時記錄測試數(shù)據(jù)。實驗中從圓環(huán)頂部不受力開始持續(xù)下壓0.4m直至與底部基礎(chǔ)接觸，壓縮過程中控制位移均勻變化，整個壓縮過程歷時400s。

3次實驗結(jié)果吻合，以下取其中一次實驗結(jié)果進行分析。實驗使用65Mn彈簧鋼材料制作圓環(huán)，其屈服強度為784MPa，大于圓環(huán)的最大正應(yīng)力，因此實驗測量中圓環(huán)壓縮變形的整個過程都是線彈性的。

如圖9（a）所示，將梁約束模型得到的結(jié)果、橢圓積分法的結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)進行比較，兩種理論方法與實驗數(shù)據(jù)能較好吻合。觀察圖9（b）發(fā)現(xiàn)，梁約束模型和橢圓積分法得到的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相比絕對誤差都小于1N，并且具有相似的誤差規(guī)律。通過理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)間絕對誤差的均方根除以實驗數(shù)據(jù)的均方根得到兩者間的相對均方根誤差，計算后得到梁約束模型所得結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的相對均方根誤差為1.52%；橢圓積分法所得結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的相對均方根誤差為1.44%，梁約束模型的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的相對均方根誤差略大于橢圓積分法的結(jié)果。

4" 結(jié)" 論

本研究提出了圓環(huán)結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的建模方法。通過梁約束模型近似解析求解圓環(huán)結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力，得到圓環(huán)結(jié)構(gòu)承受單軸壓縮時的力-位移關(guān)系式。通過誤差分析比較了梁約束模型和橢圓積分法處理圓環(huán)力-位移關(guān)系的精度。通過梁約束模型計算了圓環(huán)結(jié)構(gòu)全壓縮過程中的正應(yīng)力。通過對梁約束模型與橢圓積分法結(jié)果之間的相對均方根誤差分析，得出了梁約束模型的最優(yōu)分段數(shù)。對圓環(huán)進行靜力壓縮實驗，驗證了梁約束模型計算圓環(huán)結(jié)構(gòu)時的有效性。主要結(jié)論如下。

1） 圓環(huán)隔振器在壓縮變形時的力-位移曲線呈現(xiàn)出剛度漸軟的非線性特征。

2） 梁約束模型處理圓環(huán)結(jié)構(gòu)力-位移關(guān)系式的結(jié)果與橢圓積分法精度相當(dāng)，但梁約束模型計算簡便且計算量要小于橢圓積分法。

3） 圓環(huán)上正應(yīng)力絕對值沿著圓環(huán)的上下端點到左右端點之間先減小后增大，并且當(dāng)圓環(huán)壓縮到頂部端點與底部固定端即將接觸時，在上下端點處的正應(yīng)力值相等且都為圓環(huán)壓縮變形過程中的最大正應(yīng)力值。

4） 在分段數(shù)較少時，梁約束模型的結(jié)果與橢圓積分法的結(jié)果之間的相對均方根誤差隨著分段數(shù)的增加而迅速減小，當(dāng)分段數(shù)大于12時，梁約束模型的結(jié)果與橢圓積分法的結(jié)果之間的相對均方根誤差小于2%。

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（編輯" 李坤璐）