基于楔入劈拉試驗的橡膠混凝土軟化本構(gòu)模型

收稿日期：2021-11-30""" 修回日期：2022-03-08

基金項目：國家自然科學基金資助項目（No.51868063）

通信作者：

薛剛，教授。 E-mail：xuegang-2008@126.com.

引用格式：

薛剛，馬從輝，衣笑，等．基于楔入劈拉試驗的橡膠混凝土軟化本構(gòu)模型［J］.應用力學學報，2024，41（3）：594-603.

XUE Gang，MA Conghui，YI Xiao，et al.Softening constitutive model of rubber concrete based on wedge splitting-tensile test［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：594-603.

文章編號：1000-4939（2024）03-0594-10

摘" 要：為確定橡膠混凝土的軟化本構(gòu)模型，對2種縫高比和5種橡膠摻量的混凝土試件進行楔入劈拉試驗研究和理論分析。依據(jù)試驗結(jié)果，采用規(guī)范公式及能量守恒定律計算混凝土試件的斷裂韌度和斷裂能，并求解出PETERSSON、歐洲混凝土規(guī)范、XU和REINHARDT3種軟化曲線的相關(guān)參數(shù)。根據(jù)3種軟化本構(gòu)關(guān)系得到黏聚韌度理論值，并與黏聚韌度試驗計算值進行了對比分析。研究結(jié)果表明：摻入適量的橡膠集料可提高混凝土的斷裂失穩(wěn)韌度和斷裂能；3種典型的混凝土軟化模型均不能很好地描述橡膠混凝土的黏聚韌度；對XU和REINHARDT軟化關(guān)系式進行修正后，得到了橡膠混凝土的軟化本構(gòu)模型，可用于研究橡膠混凝土材料的抗裂特性。

關(guān)鍵詞：橡膠混凝土；軟化模型；斷裂能；斷裂韌度；黏聚韌度

中圖分類號：TU528" 文獻標志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.012

Softening constitutive model of rubber concrete based on

wedge splitting-tensile test

XUE Gang，MA Conghui，YI Xiao，XU Sheng

（School of Civil Engineering，Inner Mongolia University of Science amp; Technology，014010 Baotou，China）

Abstract：To determine the softening intrinsic model of rubber concrete，wedge splitting test studies and theoretical analyses were performed on concrete specimens with two seam height ratios and five rubber admixtures.Based on the test results，the fracture toughness and fracture energy of concrete specimens were calculated using the canonical formula and the law of energy conservation，and the relevant parameters of the three softening curves of PETERSSON，Euroconcrete Code，XU and REINHARDT were solved.The theoretical values of cohesive toughness were obtained based on the three softening instantonal relationships and compared with the calculated values of cohesive toughness tests.The results show that the softening instability and fracture energy of concrete can be improved by incorporating appropriate amounts of rubber aggregate; the three typical concrete softening models cannot describe the cohesive toughness of rubber concrete well; the softening intrinsic structure model of rubber concrete is obtained by modifying the softening relations of XU and REINHARDT，which can be used to study the cracking resistance of rubber concrete materials.

Key words：crumb rubber concrete；softening constitutive model；fracture energy；fracture toughness；cohesion toughness

將廢舊輪胎粉碎成的橡膠集料摻入混凝土中制備成橡膠混凝土（crumb rubber concrete，CRC），既解決了廢舊輪胎回收再利用的問題，還可在一定程度上提升混凝土材料延性［1-3］，降低其脆性。隨著橡膠混凝土在工程中的應用越來越廣泛，其斷裂特性應予以高度關(guān)注。混凝土斷裂破壞時，混凝土中的應力并不是裂縫產(chǎn)生時就立即消失，而是隨裂縫長度的增長而減小，這種現(xiàn)象稱為軟化現(xiàn)象?；炷恋能浕Ｐ团c斷裂破壞密切相關(guān)，如斷裂時的混凝土強度、裂縫張開位移和裂縫擴展所需能量、裂縫擴展分析所用的本構(gòu)方程以及確定混凝土微裂縫的區(qū)域均可依據(jù)混凝土的軟化模型來獲得。軟化模型通常用軟化曲線來表達。

確定混凝土軟化曲線的直接方法是拉伸試驗法，該法對測試設(shè)備的要求通常較高，且難以獲得完整的軟化曲線。為此，部分學者提出了多種簡化模型，通過求解簡化模型中的參數(shù)，間接獲得近似的軟化關(guān)系方程。文獻［4］用一條直線表示混凝土的軟化特性，提出單線性軟化模型。單線性軟化曲線參數(shù)少、求解快，但是與真實的混凝土軟化特性有不小差異。文獻［5］提出了雙線性軟化曲線，并為歐洲混凝土規(guī)范［6］奠定了基礎(chǔ)。文獻［7］提出了可修正的雙線性軟化曲線，利用實驗獲得的斷裂能、裂縫張開位移及抗拉強度即可計算雙線性軟化曲線參數(shù)。后來，很多學者相繼提出了多線性、非線性［8］和混合型［9］軟化曲線，但使用較少。文獻［10］根據(jù)纖維長度和放置方法，通過反分析方法確定了超高性能纖維增強混凝土的三線性拉伸軟化曲線，研究發(fā)現(xiàn)，纖維放置方法對三性軟化曲線的第一轉(zhuǎn)折點影響很小，斷裂能幾乎不受纖維布設(shè)方式的影響。文獻［11］通過數(shù)值模擬研究了混凝土中纖維長度和取向的隨機性對軟化關(guān)系的影響，發(fā)現(xiàn)纖維長度和取向的隨機性導致軟化曲線顯著偏離具有恒定纖維長度和各向同性取向的模型所獲得的軟化曲線。文獻［12］運用

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)（digital image correlation，DIC）研究了帶預制裂縫的混凝土梁，研究表明梁一旦產(chǎn)生宏觀裂縫，其強度隨加載歷史顯著降低。文獻［13］提出了一種新的獲取拉伸軟化曲線的方法-組合試驗法，可以較簡單地獲得滿足精度要求的軟化曲線。文獻［14］對不同尺寸混凝土試件的軟化曲線進行了研究，發(fā)現(xiàn)隨著試件尺寸的增加，混凝土開裂位移也隨之增加，開裂后的應力下降速度隨混凝土強度的增大而減小。文獻［15-16］基于三點彎曲試驗和數(shù)值分析方法提出一種新的獲得軟化曲線的方法，并進一步研究了混凝土的軟化曲線，發(fā)現(xiàn)混凝土的開裂強度與斷裂能隨其強度的增加而提高。文獻［17］ 提出了一種正確估計混凝土早期斷裂能和拉伸軟化曲線演變的新方法。文獻［18］研究發(fā)現(xiàn)混凝土的軟化特性與骨料粒徑和水膠比有關(guān)，斷裂能隨骨料粒徑的增加而增加，裂縫張開位移隨水膠比的減小而減小。文獻［19］對往復荷載下斷裂力學特性進行了研究，研究表明隨縫高比的增大，起裂與峰值荷載逐漸減小。

目前，對橡膠混凝土軟化本構(gòu)模型的研究基本為空白。原有的普通混凝土軟化模型，不能準確地反映橡膠混凝土材料的軟化特性。本研究通過楔入劈拉試驗，獲得不同橡膠摻量和縫高比的混凝土斷裂能與斷裂韌度等參數(shù)，并計算得到構(gòu)造雙線性軟化曲線所需的參數(shù)。通過對比不同摻量與縫高比的橡膠混凝土試件的軟化本構(gòu)模型，深入地研究其斷裂性能。

1" 軟化曲線常見類型

單線性軟化曲線只用一條直線來描述軟化特征，雖然形式簡單，但誤差較大，適用性不強；雙線性軟化曲線對軟化特征的描述較為準確，且參數(shù)較少，研究較為成熟；多線性軟化曲線參數(shù)較多，求解復雜；非線性軟化曲線需要結(jié)合數(shù)值分析調(diào)整軟化模型的參數(shù)，適用性不強；混合型軟化曲線提出較晚，轉(zhuǎn)折點的確定方法還不夠成熟。本研究采用研究較為成熟的雙線性模型求解橡膠混凝土軟化曲線，雙線性模型如圖1所示。

雙線性軟化模型表達式為［5］

σ=ft－ft－σsω/ωs0≤ω≤ωs

σsω0－ωω0－ωsωs＜ω≤ω0

0ω0＜ω （1）

式中：ft為軸心抗拉強度；ωs為軟化模型斜率變化點的裂縫寬度; σs為斜率變化點的應力；ω0為破壞時的裂縫位移。

1.1" 雙線性軟化模型的典型表達

典型的雙線性軟化模型主要有PETERSSON軟化模型，歐洲混凝土規(guī)范CET-FIP Model Code 1990軟化模型以及徐世烺和Reinhart軟化模型等。

PETERSSON［5］軟化模型表達式為

σs=ft3

ωs=0.8GFftω0=3.6GFft（2）

式中，GF為混凝土的斷裂能。

根據(jù)歐洲混凝土規(guī)范［6］，軟化模型可表達為

σs=0.15ft

ωs=2GFft－0.15ω0

ω0=αGFft（3）

式中，α為與骨料粒徑相關(guān)的參數(shù)。

XU和REINHARDT ［7］提出的軟化模型表達式為

σs=（2－fsωs/GF）ftαfωs=DcCTOD

ω0=αfGFft（4）

式中：DcCTOD表示臨界裂縫尖端張開位移；αf表示修正系數(shù)。

系數(shù)αf按照式（5）～（7）求解［20］

fck=fc－8" （5）

λ=10－fck/2fck00.7，fck0=10（6）

αf=λ－dmax/8（7）

式中：dmax為最大骨料粒徑；fck為混凝土級配的特征強度；fc為抗壓強度；λ為混凝土變形相關(guān)的校正系數(shù)。

由式（2）～（4）可知，可用混凝土的抗拉強度、斷裂能和裂縫尖端張開位移描述軟化模型。裂縫尖端張開位移可定義為ac、x、DCMOD以及試件幾何特征的函數(shù)［7］，表達式為

ω=fx，ac，DCMOD，h（8）

式中：ac為臨界有效裂縫長度；x為裂縫擴展長度; DCMOD為裂縫口張開位移。

臨界裂縫口張開位移與x為非線性關(guān)系，函數(shù)表達式［8］為

ωDcCMOD=1－xac2+1.081－1.149achxac－xac2

（9）

當x=a0時， ω=DcCTOD，代入式（9）可求得臨界裂縫尖端張開位移DcCTOD，即

DcCTOD=DcCMOD1－a0ac2+""" 1.081－1.149acha0ac－a0ac20.5（10）

式中：h為試件高度；a0為試件預制裂縫長度，ac為臨界有效裂縫長度，用式（16）求解。

1.2" 斷裂能的確定

斷裂能表示裂縫擴展單位面積所消耗的平均能量，根據(jù)式（11）計算［22］ 。

GF=WA=W0+W1+W2+W3A （11）

式中：A=t（D－a0），A為韌帶面積（裂縫面的投影面積）；D為試件高度；a0為試件預制裂縫長度；W0+W1+W2+W3為各部分外力做的總功；W0=WV0/（2tanθ）為試驗荷載—裂縫口張開位移P-COMD曲線與坐標軸所圍面積； W1=0.5（mg）2/（2tanθKV0）；W2=mg/2tanθ×D1COMD；W1+W2為加載架和千斤頂自重做的功；m為加載架和千斤頂?shù)目傊亓?；g為重力加速度；t為試件厚度；θ為楔形角；D1COMD是P-COMD曲線下降段峰值荷載1/3處的位移值；KV0是P-COMD曲線的初始剛度，等于P-COMD曲線上升段原點的切線斜率。

一般試驗條件下，測得從開始加荷到荷載降至0時的P-COMD曲線比較困難。為得到更準確的斷裂能，需要對1/3峰值荷載后的P-COMD曲線［22］進行冪函數(shù)擬合，W3為擬合部分的包絡面積。

2 "斷裂韌度的解析表達

斷裂韌度是表征材料自身屬性且能表征宏觀裂縫擴展韌性的參數(shù)。雙K斷裂韌度準則基于線彈性斷裂力學，并結(jié)合HILLERBORG提出的虛擬裂縫模型而建立。雙K模型以起裂韌度KQIc和失穩(wěn)斷裂韌度KSIc表達材料斷裂破壞的整個過程。

起裂韌度KQIc計算公式為

KQIc=FHQ×10－3th1/2f（α）（12）

f（α）=3.675×［1－0.12（α－0.45）］（1－α）3/2， α=a0h（13）

式中：FHQ表示起裂水平荷載；a0為試件預制裂縫長度。

失穩(wěn)斷裂韌度KSIc計算公式為

KSIc=FHmax×10－3th1/2fαc （14）

f（αc）=3.675×［1－0.12（αc－0.45）］（1－αc）3/2，αc=ach（15）

ac=h+h01－13.18DcCMOD·E·tFHmax+9.161/2－h(huán)0

（16）

式中：FHmax表示最大水平荷載；t 表示試件厚度；h0表示裝置夾式引伸計刀口薄鋼板的厚度；E表示計算彈性模量。

黏聚韌度KCIc與失穩(wěn)斷裂韌度KSIc和起裂韌度KQIc的關(guān)系為KCIc=KSIc－KQIc，故可通過試驗測得的失穩(wěn)斷裂韌度和起裂韌度計算黏聚韌度。若已知軟化曲線也可按如下公式計算黏聚韌度［20］。

KCIcft=2∫1V0/VVπσUftFU，VdU（17）

FU，V=3.251－U1－V3/2－4.35－5.28U1－V1/2+

1.3－0.3U3/21－U21/2+0.83－1.76U·

1－1－UV（18）

式中：V=ach， V0=a0h， U=xac。

斷裂過程區(qū)（fracture process zone）應力與裂縫寬度的關(guān)系服從軟化關(guān)系曲線。假定臨界失穩(wěn)狀態(tài)下裂縫區(qū)黏聚應力呈線性分布（圖2所示），則

σUft=β+1－βU－V0V1－V0V （19）

式中

β=σsDcCTODfc（20）

式（20）中σsDcCTOD是雙線性軟化曲線斜率變化點對應的應力值，由所求的軟化曲線得到，將所得各參數(shù)代入式（17）可求得黏聚韌度。

fracture zone under critical instability

將試驗獲得的相關(guān)參數(shù)繪制成軟化關(guān)系曲線，利用式（17）得出黏聚韌度試驗計算值。與黏聚韌度理論計算值進行比較，判定式（2）、（3）、（4）所求軟化曲線是否適用于橡膠混凝土。

3" 橡膠混凝土楔入劈拉斷裂性試驗

3.1" 試驗概況

水泥采用P.O42.5普通硅酸鹽水泥［23］，物理性能見表1，化學成分見表2。

細集料最大粒徑為5mm，細度模數(shù)為2.6；粗集料采用5～25mm碎石，顆粒連續(xù)級配；橡膠細集料采用四川某環(huán)保新材料公司生產(chǎn)的30目橡膠微顆粒，技術(shù)指標見表3，等體積代替砂 ［23］。試件分組見表4。

楔入劈拉試驗裝置見圖3。試件制作時設(shè)置預留縫，兩根鋼軸對稱支承在試件底部的四分點處。豎向荷載通過楔形加載裝置轉(zhuǎn)化為水平力，由傳力板作用到試件上，傳力板滾軸有助于減小摩擦力，降低試驗誤差。加載時，將加載架置于兩個傳力板滾軸之間并保持水平，避免受力不均。楔型加載架受豎向作用力向下移動，推動滾軸并帶動傳力板向兩側(cè)移動，將豎向作用力轉(zhuǎn)化為水平作用力。傳力板上表面預留安裝夾式引伸計的空間，在裂縫口用YYJ-4/10夾式引伸計測量張開位移。峰值荷載對應的張開位移，即臨界裂縫口張開位移，然后通過式（10）可計算出臨界裂縫尖端張開位移。根據(jù)文獻［16］確定試件的尺寸為200mm×200mm×230mm（t×b×h），具體如圖4。

3.2" 斷裂能及斷裂韌度試驗結(jié)果與分析

試件斷裂韌度及斷裂能按照本研究第1節(jié)、第2節(jié)所述方法計算，結(jié)果如表5。由表5可以看出，由于橡膠的摻入導致混凝土的起裂韌度降低，且隨摻量的遞增而遞減。從式（12）可看出，起裂韌度與起裂荷載成正比，由于起裂荷載隨著橡膠摻量的遞增而遞減，故起裂韌度也有著相同的規(guī)律；橡膠摻量在5～10％時，混凝土的失穩(wěn)斷裂韌度明顯增大；摻量大于15%時，開裂后混凝土裂縫擴展依舊穩(wěn)定，但是材料的抗力有限，所以失穩(wěn)斷裂韌度低于普通混凝土。

由表5可以看出，橡膠摻量為5%～15%的混凝土斷裂能高于普通混凝土；摻量為10%時達到峰值，相比普通混凝土提高了25.5%；摻量為5%和15%時的斷裂能低于摻量為10%的斷裂能；摻量為20%時，橡膠混凝土斷裂能比普通混凝土低。

3.3" 劈裂法測抗拉強度

測定混凝土劈裂抗拉強度常用的方法是劈裂法?；炷僚芽估囼灨鶕?jù)《混凝土物理力學性能試驗方法標準》（GB/T 50081—2019），采用100mm×100mm×100mm的立方體試件，使用式（21）計算劈拉強度，并換算為軸心抗拉強度，結(jié)果如表6所示。

ft=2FπA（21）

式中：ft為混凝土劈裂抗拉強度；F為試件破壞荷載；A為試件劈裂面面積。

4" 橡膠混凝土軟化曲線的求解

橡膠混凝土不同于普通混凝土，為探究其開裂后的軟化關(guān)系，需要求解雙線型形式的軟化參數(shù)。

將臨界裂縫尖端張開位移DCCTOD、混凝土抗拉強度ft、斷裂能GF、骨料最大粒徑dmax等試驗所得參數(shù)分別代入式（2）、（3）、（4），可得到3種雙線性形式的橡膠混凝土軟化關(guān)系參數(shù)，結(jié)果見表7。

通過3種雙線性形式的軟化關(guān)系反求出對應的黏聚韌度KCIc1、KCIc2、KCIc3，再利用試驗計算出雙K斷裂韌度，通過式KCIc=KSIc－KQIc得到黏聚韌度試驗計算值，黏聚韌度計算結(jié)果見表8。

對比3種軟化關(guān)系式的黏聚韌度理論值與試驗計算值，不難發(fā)現(xiàn)普通混凝土的黏聚韌度理論值與試驗計算值均比較接近，但橡膠混凝土黏聚韌度理論值與試驗計算值相差較大，其主要原因在于，3種軟化關(guān)系式均以一般混凝土材料推演得到，不能準確描述橡膠混凝土軟化特性。

XU等提出的軟化關(guān)系式中，λ為針對不同材料而設(shè)立的校正系數(shù)，且5≤λ≤10。λ的求解采用文獻［7］中所提供的公式。將橡膠混凝土的黏聚韌度試驗計算值代入黏聚韌度理論公式中反求σs，再將σs代入XU等提出的軟化關(guān)系式中，即可得到橡膠摻量為0～20%時混凝土的材料校正系數(shù)λ，計算結(jié)果見表9。

縫高比為0.4時，將表9中不同橡膠摻量的混凝土試件的校正系數(shù)λ繪制成散點圖，選用多項式擬合得到λ隨摻量變化的曲線，并得到相應的變化關(guān)系式，擬合曲線如圖5所示。

縫高比為0.3時，將表9中不同的橡膠摻量代入擬合所得的關(guān)系式中得出λ，并與試驗計算值λ進行對比，驗證擬合公式的普適性和正確性，結(jié)果如表10所示。從表10可看出，橡膠摻量在0～20%時，校正系數(shù)λ的擬合計算值與試驗計算值的誤差皆小于10%，驗證了關(guān)系式的適用性。

crumb rubber concrete

λ關(guān)系式可用式（22）表示，x值為橡膠摻量。

λ=7.73－0.0035x－0.00216x2（22）

再將公式（22）代入式（4）中可得

σs=2－ftωs/GFft7.73－0.0035x－0.00216x2－dmax8ωs=DcCTOD

ω0=7.73－0.0035x－0.00216x2－dmax8GFft

（23）

式（23）為適用于橡膠摻量為0～20%的混凝土雙線性軟化關(guān)系計算式。本計算式相比于其他幾種軟化曲線的計算式，考慮了橡膠的摻入對混凝土軟化本構(gòu)的影響，并基于試驗實測數(shù)據(jù)通過計算與歸納總結(jié)，給出了橡膠混凝土校正系數(shù)λ隨摻量變化的計算式，使橡膠混凝土軟化曲線的分析能夠更

加精準，利用式（23）計算的不同摻量和不同預制裂縫長度的橡膠混凝土軟化參數(shù)結(jié)果見表11。

由圖6（a）可以看出，σs隨著橡膠摻量的遞增而遞減。橡膠摻量為0～20%時，摻量每增加5%，試件縫高比為0.4的軟化曲線轉(zhuǎn)折處應力σs依次降低了17.56%、10.21%、13.28%、23.1%。試件縫高比為0.3的軟化曲線轉(zhuǎn)折處應力σs依次降低了11.01%、10.97%、13.91%、18.40%。σs降低的原因與ft降低原因類似，但降幅沒有ft降幅大，原因在于，橡膠的變形能力強，在同一裂縫面上，混凝土應力下降時，橡膠應力降速慢，甚至還處于上升階段，延緩了混凝土應力的下降速度。

由圖6（b）和（c）可以看出，橡膠混凝土的ωs與ω0均大于普通混凝土，且隨著摻量的遞增而遞增。橡膠摻量為0～20%時，摻量每增加5%，試件縫高比為0.4的軟化曲線轉(zhuǎn)折處裂縫寬度ωs分別增加40.35%、13.75%、10.99%、2.97%，斷裂時裂縫的寬度ω0分別增加45.16%、19.14%、13.49%、12.52%；試件縫高比為0.3的軟化曲線轉(zhuǎn)折處裂縫寬度ωs分別增加31.25%、16.67%、7.87%、12.41%，斷裂時的裂縫寬度ω0分別增加32.12%、16.51%、7.87%、12.41%。橡膠混凝土的開裂過程，呈現(xiàn)出更好的變形能力。

從圖6（a）、（b）、（c）可以看出，兩種不同縫高比軟化曲線有所不同。縫高改變不會改變抗拉強度值，故不同縫高比的軟化曲線在初始開裂時具有相同的抗拉值。橡膠摻量為0～20%時，摻量每增加5%，縫高比為0.3的試件比縫高比為0.4的試件在軟化曲線轉(zhuǎn)折處的應力σs分別增加了10.97%、9.86%、9.20%、14.54%，所對應的裂縫寬度ωs分別增加了4.76%、7.14%、4.17%、24.08%，斷裂時裂縫的寬度ω0分別增大了10.55%、8.53%、3.78%、3.68%。材料開裂后的軟化行為是材料的一種特性，理論上同種材料的軟化關(guān)系是相同的，而本研究所求的軟化關(guān)系曲線由于預制裂縫長度的不同而有較小的差異。臨界有效裂縫長度隨試件尺寸的改變而變化，從而導致斷裂能發(fā)生變化，同時軟化參數(shù)和軟化曲線也均有所改變［24］。

5" 結(jié)" 論

1）橡膠改變了混凝土的軟化本構(gòu)，普通混凝土的軟化關(guān)系式不能準確地表達出橡膠混凝土的軟化特性，需依據(jù)試驗數(shù)據(jù)對其進行修正。

2）利用XU等提出的軟化關(guān)系式中校正系數(shù)λ對橡膠混凝土的軟化關(guān)系進行校正。根據(jù)黏聚韌度試驗計算值反算λ，擬合λ與橡膠摻量的關(guān)系，利用該關(guān)系式及徐世烺等提出的軟化計算模型，可推導出不同橡膠摻量的混凝土材料軟化方程。

3）橡膠混凝土的抗拉強度ft和軟化曲線轉(zhuǎn)折點的應力σs隨著橡膠摻量的增加而降低，而軟化轉(zhuǎn)折處對應的裂縫寬度和混凝土破壞時的裂縫寬度隨橡膠摻量增加而增大。

4）較小的試件尺寸使得邊界效應的作用增大，從而使斷裂過程區(qū)的長度發(fā)生變化，導致軟化關(guān)系隨縫高比的變化而略有不同。

參考文獻：

［1］" 強金鳳，黎廣，李濤，等.廢舊橡膠回收再利用方法概述［J］.橡膠科技，2020，18（12）：675-677.

QIANG Jinfeng，LI Guang，LI Tao，et al.Overview of recycling methods of waste rubber［J］.Rubber science and technology，2020，18（12）：675-677（in Chinese）.

［2］" 馬慶麗.廢舊輪胎完全還原再利用的相關(guān)做法和體會［J］.中國輪胎資源綜合利用，2020（12）：32-34.

MA Qingli.The related practice and experience of the complete recovery and reuse of waste tires［J］.China tire resources recycling，2020（12）：32-34（in Chinese）.

［3］" KHALOO A R，DEHESTANI M，RAHMATABADI P.Mechanical properties of concrete containing a high volume of tire-rubber particles［J］.Waste management，2008，28（12）：2472-2482.

［4］" HILLERBORG A，MODER M，PETERSSON P E.Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements［J］.Cement and concrete research，1976，6（6）：773-781.

［5］" PETERSSON P E.Crack growth and development of fracture zones in plain concrete and similar materials［D］.Lund：Lund University，1981.

［6］" Comité Euro-International du Béton.CEB-FIP model code 1990：design code［M］.London：Thomas Telford Publishing，1993.

［7］" XU S L，REINHARDT H W.Determination of double-K criterion for crack propagation in quasi-brittle fracture，part 2：analytical evaluating and practical measuring methods for three-point bending notched beams［J］.International journal of fracture，1999，98（2）：151-177.

［8］" GOPALARATNAM V S，SHAH S P.Softening response of plain concrete in direct tension［J］.ACI journal proceedings，1985，82（3）：310-323.

［9］" 沈建.早齡期混凝土軟化關(guān)系的數(shù)值分析［D］.杭州：浙江大學，2007.

［10］AMIN A，MARKIC＇ T，GILBERT R I，et al.Effect of the boundary conditions on the Australian uniaxial tension test for softening steel fibre reinforced concrete［J］.Construction and building materials，2018，184：215-228.

［11］MATTHES S，BALLANI F，STOYAN D.Modelling post-crack tension-softening behavior of fiber-reinforced materials［J］.Probabilistic engineering mechanics，2016，45：157-163.

［12］張俊，陳紅鳥，王德強.基于DIC技術(shù)的混凝土往復荷載下斷裂力學特性研究［J］.應用力學學報，2021，38（4）：1636-1643.

ZHANG Jun，CHEN Hongniao，WANG Deqiang.Study on fracture properties of concrete under cyclic loading by using DIC technique［J］.Chinese journal of applied mechanics，2021，38（4）：1636-1643（in Chinese）.

［13］丁曉唐，鄭艷，丁鑫.組合試驗法推求混凝土拉伸軟化曲線的研究［J］.水電能源科學，2015，33（2）：124-126.

DING Xiaotang，ZHENG Yan，DING Xin.Tension softening curve of concrete using combination test［J］.Water resources and power，2015，33（2）：124-126（in Chinese）.

［14］趙艷兵.混凝土的拉伸軟化曲線及其尺寸效應研究［D］.貴陽：貴州大學，2017.

［15］羅孫一鳴，張君，王家赫.基于裂紋長度測定求解混凝土拉伸軟化關(guān)系［J］.材料研究學報，2014，28（11）：801-808.

LUO Sunyiming，ZHANG Jun，WANG Jiahe.Determination of tension softening relationship of concrete from crack length measurement［J］.Chinese journal of materials research，2014，28（11）：801-808（in Chinese）.

［16］張君，劉騫.基于三點彎曲實驗的混凝土抗拉軟化關(guān)系的求解方法［J］.硅酸鹽學報，2007，35（3）：268-274.

ZHANG Jun，LIU Qian.A method to solve tension softening relationship of concrete from the three-point bending test［J］.Journal of the Chinese ceramic society，2007，35（3）：268-274（in Chinese）.

［17］NGUYEN D H，DAO V T N.A novel approach to estimate the evolution of fracture energy and tensile softening curve of concrete from very early age［J］.Engineering fracture mechanics，2018，196：43-55.

［18］王剛.大壩及濕篩混凝土拉伸軟化本構(gòu)關(guān)系研究［D］.杭州：浙江工業(yè)大學，2015.

［19］王德強，陳紅鳥，馬克儉，等.往復荷載下混凝土斷裂力學特性研究［J］.應用力學學報，2020，37（6）：2317-2324.

WANG Deqiang，CHEN Hongniao，MA Kejian，et al.Investigations on fracture properties of concrete under cyclic loading［J］.Chinese journal of applied mechanics，2020，37（6）：2317-2324（in Chinese）.

［20］KUMAR S，BARAI S V.Determining double-K fracture parameters of concrete for compact tension and wedge splitting tests using weight function［J］.Engineering fracture mechanics，2009，76（7）：935-948.

［21］中華人民共和國國家發(fā)展和改革委員會.水工混凝土斷裂試驗規(guī)程：DL/T 5332-2005［S］.北京：中國電力出版社，2006.

［22］徐世烺，趙艷華，吳智敏，等.楔入劈拉法研究混凝土斷裂能［J］.水力發(fā)電學報，2003，22（4）：15-22.

XU Shilang，ZHAO Yanhua，WU Zhimin，et al.The experimental study on the fracture energy of concrete using wedge splitting specimens［J］.Journal of hydroelectric engineering，2003，22（4）：15-22（in Chinese）.

［23］衣笑.基于楔入劈拉法的橡膠混凝土抗裂性能研究［D］.包頭：內(nèi)蒙古科技大學，2020.

［24］HU X Z，WITTMANN F H.Fracture energy and fracture process zone［J］.Materials and structures，1992，25（6）：319-326.

（編輯" 呂茵）