基于改進平滑L0范數(shù)的壓縮感知重構(gòu)算法

趙友瑜 羅桂寧 王姣 馮俊杰

關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏信號重構(gòu)；平滑L0范數(shù)；負指數(shù)函數(shù)

0 引言

隨著信息時代的到來，如圖像、語音、視頻等信號的傳輸與處理技術(shù)已經(jīng)被廣泛應用，同時對信號傳輸、采集、處理等提出了更高的要求。因此，如何對信號進行有效的采樣壓縮，實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)，成為信號處理領(lǐng)域的重要問題。奈奎斯特采樣定理指出，如果要從采樣信號中無失真地恢復出原始信號，則采樣率至少是信號頻帶的兩倍以上。隨著信息技術(shù)的發(fā)展和對信息需求的增加，信號帶寬不斷擴大，采樣率和處理速度也隨之提高，相應地增加了信號采樣的成本以及數(shù)據(jù)存儲、傳輸?shù)拇鷥r，這導致實際應用中的硬件要求和傳輸壓力增加。傳統(tǒng)的信息獲取與處理流程通常是先對信號進行采樣，再對獲得的采樣數(shù)據(jù)進行壓縮處理，但采集與壓縮過程中去除大量冗余數(shù)據(jù)會造成采樣資源的浪費。

近年來，充分利用信號的稀疏性或可壓縮性特征，壓縮感知（Compressive Sensing， CS） 理論作為一種基于信號稀疏性的采樣理論被提出。相比傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣理論，該理論在采樣中完成了數(shù)據(jù)壓縮的過程，從而顯著降低了系統(tǒng)采樣的硬件需求和時間損耗 [1]。壓縮感知理論是基于數(shù)學優(yōu)化問題，針對海量數(shù)據(jù)進行采樣、編碼和優(yōu)化重構(gòu)的新理論。該理論指出，如果被測信號在某個變換域是稀疏的或者信號是可壓縮的，則可采用低于奈奎斯特采樣頻率的方式對信號進行測量，并能通過測量值重構(gòu)原始信號。CS理論表明，對于稀疏信號或可壓縮信號，可以同時進行數(shù)據(jù)采樣和壓縮，通過設計與稀疏基不相關(guān)的觀測矩陣將高維稀疏信號降為低維信號，然后通過最小范數(shù)優(yōu)化求解原始信號，極大地降低存儲空間和計算的復雜度，且質(zhì)量損失較小，實現(xiàn)精確重構(gòu)。該理論利用信號的稀疏性，實現(xiàn)了低采樣率采樣，從而降低了高速采樣、A/D 變換、變換編碼的成本。對于以低采樣率采樣得到的數(shù)據(jù)，壓縮感知理論通過在約束條件下對L1（或L0） 范數(shù)優(yōu)化重構(gòu)該稀疏信號。

壓縮感知理論主要分為三個步驟。首先，將信號稀疏化處理，使傳輸信號在某個稀疏域上呈稀疏表示。其次，通過設計與稀疏基不相關(guān)的矩陣，即觀測矩陣，將高維信號降維處理為低維信號。最后，利用稀疏重構(gòu)算法精確重構(gòu)出最原始的信號。CS理論一經(jīng)提出，就引起了廣泛學者的關(guān)注，成為研究的熱點，在圖像信號[2]、語音信號、陣列信號、雷達成像[3]等方面都有廣泛應用。

稀疏信號重構(gòu)是壓縮感知理論的重要步驟，主要包括凸優(yōu)化算法、組合算法和貪婪重構(gòu)算法等。對于稀疏信號重構(gòu)處理所應用的重構(gòu)算法實質(zhì)上是求解一個最小L0范數(shù)問題，但基于L0范數(shù)的稀疏求解是非凸優(yōu)化問題，求解復雜。因此，基于L1范數(shù)的算法較為常用，但基于L1范數(shù)的重構(gòu)算法計算成本很高。然而，L0范數(shù)比 L1范數(shù)更能描述稀疏性，如何得到L0函數(shù)作為代價函數(shù)的解具有非常重要的意義。由于L0范數(shù)是非光滑函數(shù)，直接基于L0函數(shù)的算法需要組合優(yōu)化，計算量呈指數(shù)級增長。因此，如何兼顧計算量和重構(gòu)性能，得到接近L0代價函數(shù)的解具有很高的研究價值。計算量是指數(shù)上升的。如何兼顧計算量和重構(gòu)性能，得到接近 L0代價函數(shù)的解是很有研究價值的。

norm， SL0） 稀疏信號恢復算法，利用連續(xù)高斯函數(shù)序列Fσ （x） =Σiexp（-x ） 2i2σ2 作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)σ 由大到小變換，使平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)。該算法采用高斯函數(shù)作為平滑函數(shù)，將求解L0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)的優(yōu)化求解問題，解決了非連續(xù)函數(shù)求導的問題，具有運算速率快、計算復雜度低、重構(gòu)精確度高等特點。

為了進一步改進稀疏信號重構(gòu)效果，在SL0算法的基礎上，本文采用了負指數(shù)函數(shù)Gσ （x） =Σi = 1N exp （-| x | ） i σ 作為平滑序列，逐漸減小控制參數(shù)，使得平滑序列逐漸趨近于L0范數(shù)。實驗結(jié)果證明所設計的算法比SL0算法具有較高的重構(gòu)精度，提高了稀疏信號重構(gòu)效果。

1 稀疏信號重構(gòu)模型

其中矩陣A 稱為感知矩陣。由于觀測值的維數(shù)M 遠小于信號維數(shù) N，直接由y 求解x 為求解欠定方程問題，無法求出其確定解。由于信號 x 是稀疏的，實際未知數(shù)的個數(shù)大大減少。運用優(yōu)化理論對信號進行重構(gòu)求解。

2 改進稀疏信號重構(gòu)算法

采用負指數(shù)函數(shù)fσ （xi ） = exp（-| x | ） i /σ 作為平滑函數(shù)，記作Fσ （x） = N -Σi = 1Nfσ （x ） i ， x 0 表示向量x 中不為零元素的個數(shù)。當σ → 0時，F(xiàn)σ （x） 趨近l0 范數(shù)的值， x0 = lim σ → 0Fσ （x）。對于任意的σ，Gσ （x）都可作為度量稀疏度的函數(shù)，較Fσ（x）具有較高的重構(gòu)概率。算法采用單循環(huán)結(jié)構(gòu)及通過控制參數(shù)σ 由大到小變化，采用遞減序列σ1，σ2，σ3…，把每個與σi 相對應的函數(shù)進行優(yōu)化求解。求Fσ （x）的梯度?Fσ （x），然后向負梯度上平移，即得到Fσ （x）的最小值。求得的最小值有可能不在可行集中，所以需要采用投影方式到可行集中。本文所設計算法稱為改進平滑L0范數(shù)重構(gòu)算法，整個重構(gòu)算法結(jié)構(gòu)如下：

在最速下降方法中，步長因子的選擇非常重要。對于較大的步長，函數(shù)可能不會收斂；而對于較小的步長，計算效率較低。當搜索點與最小值的距離較遠時，考慮較大的步長；當搜索點與最小值較近時，則考慮選擇較小的步長。最速下降法應該每一步代價函數(shù)都下降才好，但實際求解過程中不一定為下降方向。因此，對于上述算法，在每次迭代過程中增加檢查所求的解是否下降步驟。如果沒有下降，則取前一點和當前點的中點進行修正，確保搜索方向沿著最速下降方向。

3 仿真結(jié)果及其分析

仿真一：一維信號重構(gòu)

本文通過MATLAB軟件對算法進行測試，驗證其算法的重構(gòu)性。稀疏信號模型為y = Φx + n，其中為稀疏信號，Φ為觀測矩陣，稀疏信號長度為256。改變稀疏信號的稀疏性，幾種算法的重構(gòu)時間曲線、重建概率和均方誤差（MSE） 變化曲線如圖1-圖3所示。對于SL0方法，外環(huán)數(shù)量為20，內(nèi)環(huán)數(shù)量為10。本文算法循環(huán)次數(shù)為200。本文將ISL0算法與OMP算法[5]、SL0算法、Laplace算法[6]和L1-Ls算法進行了比較。

圖1表示不同信噪比情況下重構(gòu)時間的比較?？梢钥闯觯琌MP、平滑L0范數(shù)和ISL0算法的重構(gòu)時間低于Laplace和L1-Ls。圖2表示不同信噪比條件下重構(gòu)概率隨著稀疏度的變化情況。可以看出，隨著稀疏度的增加，幾種算法的重構(gòu)概率逐漸降低；而信噪比增加時，在相同稀疏度情況下，重構(gòu)概率逐漸增加。在相同稀疏度下，本文算法較其他算法具有較高的重構(gòu)概率，重構(gòu)效果優(yōu)于其他算法。圖3表示稀疏信號均方誤差的比較。可以看出本文算法較其他算法具有較低的均方誤差。雖然L1-Ls是全局最小值算法，但由于ISL0選擇的平滑函數(shù)，局部最小值方法優(yōu)于全局最小值方法。

仿真二：圖像重構(gòu)

為驗證本文算法的圖像重構(gòu)性能，利用Matlab2020a仿真平臺，對算法的二維圖像重構(gòu)性能進行了驗證，并完成實驗仿真分析。選擇輸入源圖像為256×256的barbara 圖像作為測試圖像，采樣率為0.5。選取DCT矩陣作為稀疏變換矩陣，觀測矩陣為隨機高斯矩陣。本文算法與OMP 算法、SL0 算法、SP 算法、GPSR算法對重構(gòu)結(jié)果進行比較，選取重構(gòu)時間、峰值信噪比和均方誤差作為性能指標。

如圖4所示，可以看出本文算法的圖像重構(gòu)效果優(yōu)于其他算法。表1從峰值信噪比、相對誤差和計算時間對比了幾種算法的指標，可以看出本文算法與其他算法相比，在重構(gòu)質(zhì)量和精度等各方面對傳統(tǒng)重構(gòu)算法有較大的提高。

4 結(jié)論

本文提出一種改進的平滑L0范數(shù)壓縮感知重構(gòu)算法，采用負指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)由大到小變化，逐步趨近L0范數(shù)。在每次迭代中增加一個比較步驟進行修正，以確保在傳統(tǒng)平滑L0范數(shù)重構(gòu)算法的最快下降方向上搜索到最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明，在相同的測試條件下，該算法在重構(gòu)概率和重構(gòu)精度方面均優(yōu)于傳統(tǒng)稀疏信號重構(gòu)算法。