例析排列組合問題三種不同解法

周金斤

【摘要】排列組合問題在高中數(shù)學中主要以填空、選擇題形式出現(xiàn)，主要考查學生的運算與數(shù)據(jù)分析能力.由于排列組合問題與實際生活結(jié)合較為緊密，因此一些問題較為復(fù)雜.如何對一些存在特殊且復(fù)雜要求的排列組合問題進行解答，是學生學習的重點.本文介紹3種有效的解題思路，以期幫助學生更準確地解答排列組合問題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；排列組合；解題技巧

排列組合是高中數(shù)學中一項重要的內(nèi)容，近年來在高考題目中以選擇題或填空題的形式廣泛考查.解決排列組合問題的方法多樣靈活，在解題過程中，學生常常對于排列組合問題的分析不夠明確，并且大部分學生在面對排列組合問題時都不知道從何處著手.本文通過實例介紹排列組合問題的幾種基本類型，并進行相應(yīng)的考點分析.

1 隔板處理

隔板處理思路主要解決相同元素之間的排列組合問題，如將m個相同元素分配成n組.解題思路一般為：①分析問題，理清相同元素的個數(shù)m以及需要分組的組數(shù)n；②在m－1個空格內(nèi)隨機插入n－1塊隔板，列出等式Cn－1m－1并計算，所得具體值即問題所求答案.具體解題過程如下例題所示.

例1 某學校舉行表彰大會，校領(lǐng)導(dǎo)經(jīng)討論決定將表彰的12個名額分別分配給高三年級的7個班級，要求每一個班級至少有1個名額，求12個名額分配給7個班級的分配方式有多少種？

解析 首先，分析題目信息，題目本質(zhì)將12個相同的元素隨機分配成7組，采取隔板處理思路，可以在11個空格中任意插入6塊隔板，列出等式C611并計算，即可得到具體排列數(shù)目.

解 將12個名額分配給7個班級的分配方式一共有：C611=462種.

評析 相同元素的不平均分組問題，常規(guī)解題思路通常是n組先平均分配1個名額，再把剩下的m－n個名額隨機分配，求解過程較為復(fù)雜，容易出現(xiàn)漏解多解.用隔板思路處理這類問題具有一定優(yōu)勢，需要學生熟悉并掌握.

變式 某社團召開學生會議，要將11個學生代表名額分配到高二年級的6個班級中，若高二（1）班至少要有3個名額，其他5個班級每班至少1個名額，共有__________種不同分法.

剖析 分析題意可得要將11個相同元素不平均分成6組，首先處理（1）班至少需要3個名額的要求，即總元素去除2個元素，再采取隔板思路解題，在9個元素形成的空位中隨機插入5塊隔板，列式計算即可得到答案.

解 先給高二（1）班分配2名學生，剩余9個名額分配到6個班級，每個班至少有1個名額，適用隔板法，有9個相同元素共8個空（不含兩端），插入5塊隔板，共有C58=56種方法.

評析 該題屬于相同元素不均分的問題，但存在特殊要求，要先處理特殊要求再采用隔板思路，就能列出對應(yīng)式子并運算解題.

2 插空處理

插空處理思路通常見于解答不相同元素的不相鄰排列組合問題，解題思路大致為：①根據(jù)題意找出要求不相鄰的元素，將剩余元素排列在一起，得到等式；②把特殊要求的元素隨機插入完成排列的元素形成的空格中，得到具體算數(shù)式；③通過計算，求出排列組合問題對應(yīng)的具體答案.

例2 學校排練元旦節(jié)目，一共有6個節(jié)目，其中就有3個是舞蹈節(jié)目，若要求每兩個舞蹈節(jié)目之間至少含有一個其他節(jié)目，則一共有多少種不同的安排方法？

解析 問題中含有特殊元素，即3個不相鄰舞蹈節(jié)目，按照插空處理思路應(yīng)先按照一定順序排列剩余不作要求的節(jié)目.然后將3個舞蹈節(jié)目插入4個空格中，將每一步得到的結(jié)果相乘得到排列組合問題的答案.

解 根據(jù)題意，舞蹈節(jié)目不能相鄰，首先排列剩余3個沒有作要求的節(jié)目，則有A33種不同排列方式.

由于每兩個舞蹈節(jié)目之間至少含有一個其他節(jié)目，將3個舞蹈節(jié)目插入4個空格中，有C34種不同的排列方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有C34A33=24種排列方案.

評析 插空法運用過程中，在排列無特殊要求的元素時，應(yīng)結(jié)合題意分清排列是否具有順序要求，還需要注意排列完成的元素形成的空位是否包括首尾兩端，這些都是學生在解題時應(yīng)該關(guān)注的細節(jié).

變式 為迎接期中考試，某同學要在周日上午安排5個學科的復(fù)習工作，數(shù)學學科的復(fù)習時間不安排在上午第一科，并且數(shù)學和物理學科不安排在連續(xù)時間段，那么5個學科復(fù)習時間的順序安排共有__________種.

解析 物理和數(shù)學學科不能連續(xù)排列在一起是采用插空法解題的關(guān)鍵所在，其次數(shù)學還不能安排在第一個復(fù)習科目位置，故需要根據(jù)物理學科的復(fù)習位置分類列式解題，即可得到答案.

解 根據(jù)物理學科復(fù)習時間的安排，可以分為兩大類：

①物理安排在第一科，數(shù)學安排在后三科，則有3×A33=18種方法；

②物理和數(shù)學復(fù)習時間均不在第一科，則有3×A22×A23=36種方法，

綜上，一共有18+36=54種安排方法.

3 分組處理

分組處理通常應(yīng)用于元素被分為不相等個數(shù)的組的排列組合問題.其解題思路為：①分析題意，理清需要分配的組數(shù)與每一組對應(yīng)的元素個數(shù)；②按照要求的個數(shù)，如第一組要求a個元素則有Cam，第二組要求b個元素則有Cbm－a，從所有元素中逐步挑選，直到所有元素被分配完；③由于分組處理屬于分步計算問題，故將n個組的算術(shù)式相乘，得到最終答案.

例3 小蘭有2個芭比娃娃，3個音樂盒，4個毛絨玩具，現(xiàn)在小蘭要將它們?nèi)渴者M一個儲物柜，假設(shè)這個儲物柜剛好可以讓這9個玩具擺放成一排，則有多少種不同的擺放方法？

解析 分析題目可知，問題等價于“不完全相同的元素之間不平均分組”的問題.第一組是個數(shù)為2的芭比娃娃組，即從9個元素中選出2個元素；依次按照題意挑選即可，最后按照分步計數(shù)原理相乘得到最終排列結(jié)果.

解 對于芭比娃娃來說，就是從9個元素里面任意挑選2個元素，因此有C29種方法；

對于音樂盒來說，就是從剩下的7個元素里面任意挑選3個元素，因此有C37種方法；

對于毛絨玩具來說，就是在剩下的4個元素里面任意挑選4個元素，因此有C44種方法；

所以不同位置的排法有C29C37C44=1260種.

評析 分組處理可以應(yīng)用在均分問題和不均分問題上，均分n組問題的解答過程時，需要在最后除以Ann避免重復(fù)計算；不均分問題求解則不需要，這是學生需要關(guān)注的一些細節(jié).

4 結(jié)語

在排列組合問題中，一些有特殊要求或條件較為復(fù)雜的問題需要采取一定的措施進行解決.如相同元素不均分問題應(yīng)選取隔板思路處理，不相同元素的不相鄰排列問題應(yīng)采用插空思路解決，元素不平均分組問題則需要應(yīng)用分組思路解答.排列組合問題考查形式較為靈活，學生不僅要掌握一些常見的解題思路，還要熟悉其他特殊類型問題的解題思路，才能達到高效解題的目的.

參考文獻：

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