探尋知識(shí)本原，在數(shù)學(xué)史境脈中培育數(shù)感*

【摘 要】“數(shù)感”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的核心素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)之一，它的培育與數(shù)學(xué)史息息相關(guān)。在小學(xué)數(shù)學(xué)境脈學(xué)習(xí)中，可以讓學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)發(fā)展史的境脈中，借助探究性任務(wù)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)從提出到生成再到發(fā)展的脈絡(luò)，從而探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的本原，提升核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；境脈學(xué)習(xí)；歷史文化境脈；數(shù)感；《分?jǐn)?shù)的意義》

【中圖分類號(hào)】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）17-0016-05

【作者簡(jiǎn)介】凌琦文，江蘇省蘇州市金閶新城實(shí)驗(yàn)小學(xué)校（江蘇蘇州，215008）教導(dǎo)處副主任，高級(jí)教師，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，蘇州市優(yōu)秀教育工作者。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確了核心素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)，“數(shù)感”是其中之一。新課標(biāo)指出：“數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序……”從古至今，對(duì)于“數(shù)與數(shù)的意義”，勞動(dòng)人民和數(shù)學(xué)家們一直在研究和探索，并不斷地更新與迭代，這才有了我們今天所認(rèn)識(shí)的數(shù)。可見，數(shù)感的培育與數(shù)學(xué)史息息相關(guān)。

基于境脈學(xué)習(xí)理論展開數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，可以讓學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)發(fā)展史的境脈中，借助探究性任務(wù)，經(jīng)歷一場(chǎng)數(shù)學(xué)文化之旅，感受數(shù)學(xué)家的眼光和思維，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)從提出到生成再到發(fā)展的脈絡(luò)，從而探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的本原，感悟數(shù)學(xué)思想，提升核心素養(yǎng)。下面，本文以蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的意義》一課的教學(xué)為例，具體闡釋小學(xué)數(shù)學(xué)境脈學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)新樣態(tài)。

一、在歷史文化境脈中，探尋分?jǐn)?shù)的起源

幾千年前，人類文化剛剛起步，基于生產(chǎn)、生活中測(cè)量和均分的需要， 人們發(fā)明并開始使用分?jǐn)?shù)。在拉丁文里，“分?jǐn)?shù)”一詞源于frangere，原意為“打破、斷裂”。在我國，分?jǐn)?shù)也是起源于物品的分配，《說文解字》中對(duì)“分”的解釋為：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也?！币虼?，分?jǐn)?shù)在很長(zhǎng)一段時(shí)間里也曾被人們叫作“破碎的數(shù)”，現(xiàn)在想來就是表示整數(shù)的一部分?？梢姡?jǐn)?shù)的概念是在整數(shù)概念的基礎(chǔ)上形成的，有了整數(shù)才能有部分。整數(shù)出現(xiàn)后，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生便成了必然。

回到數(shù)學(xué)史的境脈中，我們可以探尋到分?jǐn)?shù)的起源。例如，在測(cè)量中，兩個(gè)繩結(jié)之間的一段就是“1”，但是石塊的長(zhǎng)度不足“1”，就必然會(huì)再次細(xì)分“1”，于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了（如圖1，選自人教版數(shù)學(xué)三上教材）。再如，在分配物品時(shí)，為了方便計(jì)數(shù)，人們通常用一塊大石頭表示一只羊，可是這只羊是兩個(gè)人合作打獵得到的，那每個(gè)人完成的打獵數(shù)該怎樣計(jì)數(shù)呢？這時(shí)分?jǐn)?shù)便應(yīng)運(yùn)而生，把大石頭敲成兩塊同樣大的小石頭，或者選擇兩塊合起來與大石頭差不多大的小石頭來計(jì)數(shù)，細(xì)想一下，每一塊小石頭其實(shí)就是“[12]”的雛形?？梢?，無論是測(cè)量還是分物，都是在有了“1”之后，再通過均分得到分?jǐn)?shù)的。

借助數(shù)學(xué)史明晰了分?jǐn)?shù)的起源，在具體教學(xué)中就要由此出發(fā)，設(shè)計(jì)合適的情境任務(wù)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史境脈中發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)問題，培育數(shù)感。

二、感悟歷史文化境脈，經(jīng)歷知識(shí)生成過程

根據(jù)分?jǐn)?shù)的起源——由“1”再“均分”，教師教學(xué)時(shí)便要讓學(xué)生在情境任務(wù)中充分感悟和經(jīng)歷這一歷史文化的積淀過程，使其在不同的情境中加深對(duì)知識(shí)本原的理解，從而感悟數(shù)之間的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)感。

1.提出質(zhì)疑：我們需要分?jǐn)?shù)嗎？

在數(shù)學(xué)史上，分?jǐn)?shù)被稱為“破碎的數(shù)”，當(dāng)時(shí)的人們覺得分?jǐn)?shù)很難，和其他的數(shù)都不一樣，因而對(duì)分?jǐn)?shù)的使用并不是那么接受，對(duì)分?jǐn)?shù)有需求卻總想著遠(yuǎn)離它。那么，我們?cè)诮虒W(xué)中是不是可以借助數(shù)學(xué)史中的這一情境，讓學(xué)生與情境互動(dòng)，去感悟古人這一矛盾的心理和對(duì)分?jǐn)?shù)的需求呢？筆者在教學(xué)伊始便設(shè)計(jì)情境任務(wù)，讓學(xué)生充分感悟分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和使用是必需的。

播放互動(dòng)視頻：古人為了方便，就用隨手可取的石子來計(jì)數(shù)，1個(gè)石子就表示1。（出示5個(gè)石子）你知道這個(gè)獵人打了多少只羊嗎？（出示14個(gè)石子）這又是多少？（出示堆成山的石子）這又該怎么計(jì)數(shù)？

生：排列整理，數(shù)數(shù)，使用大一些的石子表示10、100……

繼續(xù)播放視頻：是的，大家通過“數(shù)”有幾個(gè)石子，就是有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位“1”，就能知道羊的只數(shù)。但是當(dāng)數(shù)變大了，“1”作為計(jì)數(shù)單位太小了，就需要更大的計(jì)數(shù)單位，因而就產(chǎn)生了十、百、千等更大的計(jì)數(shù)單位，于是我們學(xué)會(huì)了很多整數(shù)。隨著時(shí)間的推移，人們學(xué)會(huì)了合作，這兩個(gè)原始人每天都合作打獵，（出示4只羊）瞧，他們這一天每人能夠獲得幾只羊？該怎樣計(jì)數(shù)？（出示1只羊）這一天呢？

生：半只羊；[12]只羊；拿小一些的石子表示；把原來的石子敲碎。

繼續(xù)播放視頻：沒錯(cuò)，可以拿小一些的石子。也就是說，“1”作為計(jì)數(shù)單位太大了，古人就想到了再細(xì)分“1”，于是“分?jǐn)?shù)”就產(chǎn)生了。但是，當(dāng)時(shí)的人們總覺得分?jǐn)?shù)和整數(shù)很不一樣，特別難，因而十分畏懼分?jǐn)?shù)，不太愿意使用它。你覺得分?jǐn)?shù)難嗎？我們需要分?jǐn)?shù)嗎？

課始，借助互動(dòng)視頻，讓學(xué)生在情境任務(wù)中了解計(jì)數(shù)的規(guī)則和分?jǐn)?shù)的起源，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生并不是第一次接觸分?jǐn)?shù)，因此，視頻從分?jǐn)?shù)本原介紹分?jǐn)?shù)，能讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有新的感悟，從而感受整數(shù)、分?jǐn)?shù)與計(jì)數(shù)單位“1”之間的聯(lián)系。創(chuàng)設(shè)“古人畏懼分?jǐn)?shù)”這一情境，激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)的勇氣，自然而然地引入接下來的研究和探索，使他們感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然性，以及分?jǐn)?shù)與整數(shù)本質(zhì)上相通的一致性。

2.經(jīng)歷生成：在情境中體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的意義

學(xué)生有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，接下來便可以延續(xù)歷史情境的本質(zhì)，讓他們結(jié)合生活情境繼續(xù)探究分?jǐn)?shù)的意義，真正感悟分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與整數(shù)的密切聯(lián)系。上述教學(xué)中，在探索和研究中融入情境任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考的過程其實(shí)也是培育他們數(shù)感的過程，這便是境脈學(xué)習(xí)的魅力所在。

活動(dòng)1：不滿一個(gè)計(jì)量單位（1小時(shí)），自主探究分?jǐn)?shù)單位。

活動(dòng)內(nèi)容：（出示鐘面）一節(jié)數(shù)學(xué)課40分鐘，以小時(shí)為單位，怎么數(shù)呢？（需要更小的單位）

活動(dòng)思考：（1）你找到的更小的單位是什么？（2）這個(gè)單位是怎么得到的？（3）怎樣數(shù)出一節(jié)課的時(shí)間？

活動(dòng)2：不滿一個(gè)物體（1張紙條），尋找合適的分?jǐn)?shù)單位。

活動(dòng)內(nèi)容：紅色的紙條（較長(zhǎng)，14厘米）作為“1”，尋找更小的單位，表示出綠色的紙條（較短，10厘米）。

活動(dòng)思考：（1）你找到的合適的單位是什么？（2）這個(gè)單位是怎么得到的？（3）怎樣數(shù)出綠色紙條的長(zhǎng)度？

活動(dòng)3：不滿一個(gè)整體（1盒巧克力），自主創(chuàng)造不同的分?jǐn)?shù)。

活動(dòng)內(nèi)容：（出示圖片）一盒巧克力，吃了4塊，用你喜歡的分?jǐn)?shù)表示吃了這盒巧克力的幾分之幾。

活動(dòng)要求：和同桌說說你的想法，并說明你的分?jǐn)?shù)表示什么意義。

以上是為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的意義而設(shè)計(jì)的情境任務(wù)，三個(gè)活動(dòng)內(nèi)容分別是“不滿一個(gè)計(jì)量單位”“不滿一個(gè)物體”“不滿一個(gè)整體”的情況，對(duì)應(yīng)自然數(shù)“1”的不同意義，活動(dòng)內(nèi)容逐層深入，學(xué)生的體驗(yàn)也逐步提升。首先，經(jīng)歷不滿1小時(shí)的40分鐘，根據(jù)不同的平均分的方法，得到不同的更小的單位，也就是分?jǐn)?shù)單位，從而數(shù)出不同的分?jǐn)?shù)，用不同的分?jǐn)?shù)表示同一個(gè)40分鐘。通過這一活動(dòng)，學(xué)生初步感悟不滿“1”要均分，從而得到新的分?jǐn)?shù)單位，再通過數(shù)得到分?jǐn)?shù)。其次，體驗(yàn)不滿1張紙條，讓學(xué)生主動(dòng)通過測(cè)量進(jìn)行細(xì)分，得到合適的分?jǐn)?shù)單位，再通過“數(shù)”得到合適的分?jǐn)?shù)。最后，讓學(xué)生通過不滿1盒的巧克力，自主經(jīng)歷“分→數(shù)”的過程，完整地體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的意義。經(jīng)歷三個(gè)活動(dòng)后，學(xué)生一方面能初步感悟到分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，都是先使用合適的計(jì)數(shù)單位再通過數(shù)得到數(shù)，它們的本質(zhì)是一致的；另一方面，借助幾個(gè)情境主動(dòng)探索，也可以感受到分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)并沒有那么難。

3.多維延展：深化計(jì)數(shù)單位的一致性

境脈學(xué)習(xí)注重知識(shí)本質(zhì)的探索和深化。在學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)的意義并不是一節(jié)課的終點(diǎn)之后，還要引導(dǎo)他們繼續(xù)深化對(duì)計(jì)數(shù)單位一致性的理解和探索，使他們更深入地感受分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系，真正理解不同的數(shù)在本質(zhì)上的一致性。

活動(dòng)1：制作分?jǐn)?shù)墻。

活動(dòng)內(nèi)容：用同樣長(zhǎng)的紙條作為“1”，將之前發(fā)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)單位排序，組成分?jǐn)?shù)墻。

活動(dòng)思考：（1）觀察分?jǐn)?shù)單位的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）你覺得最大的分?jǐn)?shù)單位是什么？最小的呢？

活動(dòng)2：研究分?jǐn)?shù)墻。

活動(dòng)內(nèi)容：在分?jǐn)?shù)墻中，研究分?jǐn)?shù)單位與“1”的關(guān)系。

活動(dòng)要求：（1）涂一涂，任選一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，涂出“1”；（2）說一說，同桌交流“1”和這個(gè)分?jǐn)?shù)單位的關(guān)系。

活動(dòng)3：研究計(jì)數(shù)單位。

活動(dòng)要求：（1）排一排，將課堂中提到的計(jì)數(shù)單位按從大到小的順序進(jìn)行排序；（2）想一想，要讓它們和整數(shù)計(jì)數(shù)單位的進(jìn)率一致，還可以加上哪些分?jǐn)?shù)單位？（3）說一說，分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)之間有什么聯(lián)系？

在活動(dòng)1中，讓學(xué)生經(jīng)歷“分?jǐn)?shù)墻”的生成過程，通過觀察和比較發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位之間的大小關(guān)系，從而進(jìn)一步加深他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)。通過拓展提問，“延展”出最大和最小的分?jǐn)?shù)單位是什么，讓學(xué)生通過觀察得到視覺表征，形成表象，真正理解分?jǐn)?shù)單位的大小關(guān)系。

活動(dòng)2則是讓學(xué)生在之前經(jīng)歷將“1”通過“分→數(shù)”的過程得到分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，又經(jīng)歷“數(shù)分?jǐn)?shù)單位→合成‘1’”的過程，使他們深刻體會(huì)到“幾個(gè)幾分之一就是1”。通過這樣的逆向任務(wù)，能讓學(xué)生更加關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)，使他們進(jìn)一步升華對(duì)知識(shí)的理解。

活動(dòng)3讓學(xué)生在黑板上將本課提到的計(jì)數(shù)單位、分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行排序，將板書中已有的整數(shù)的計(jì)數(shù)單位“……千、百、十、一”向右延展，排列[12]到[110]以及[112]、[116]、[1100]這些在課堂中提到的分?jǐn)?shù)單位。根據(jù)整數(shù)計(jì)數(shù)單位的進(jìn)率是10，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“[1100]→[110]→[1]”的進(jìn)率也是10，他們還會(huì)自主補(bǔ)上[11000]、[110000]等，并發(fā)現(xiàn)這些計(jì)數(shù)單位就是小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，從而打通了分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)之間的聯(lián)系，體會(huì)到不管是哪種數(shù)，“數(shù)”計(jì)數(shù)單位都可以得到，這就是數(shù)的一致性，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解實(shí)現(xiàn)了升華。

在任務(wù)設(shè)計(jì)上，同樣延續(xù)了數(shù)學(xué)史情境中的知識(shí)起源。借助“分?jǐn)?shù)墻”這一工具設(shè)計(jì)情境任務(wù)，進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)單位，發(fā)現(xiàn)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的一致性，真正解決了課始的“質(zhì)疑”，帶領(lǐng)學(xué)生一步步觸摸數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)了他們數(shù)感的培育。

三、延伸歷史文化境脈，體悟知識(shí)的本原

在本課教學(xué)中，教師在研究知識(shí)的起源后，設(shè)計(jì)合理的情境任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生重走數(shù)學(xué)家的探究之路，在任務(wù)情境中研究知識(shí)的本質(zhì)，感受知識(shí)之間的聯(lián)系，培育數(shù)感。

其一，抓住知識(shí)的本質(zhì)，設(shè)計(jì)合理的情境任務(wù)。無論是分?jǐn)?shù)的意義，還是分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)計(jì)數(shù)單位的一致性，都是本節(jié)課的重點(diǎn)。在合理的情境任務(wù)中，引導(dǎo)學(xué)生不斷體驗(yàn)和探索分?jǐn)?shù)，真正理解分?jǐn)?shù)的意義——把“1”平均分，得到分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)分?jǐn)?shù)單位（先“分”后“數(shù)”）。同時(shí)，讓學(xué)生在思考、比較、操作中感受分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)之間的一致性。

其二，關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，充分利用學(xué)生的生成。課堂教學(xué)要關(guān)注前后相關(guān)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，這也是新課標(biāo)所提倡的。學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之前有整數(shù)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過情境任務(wù)回顧整數(shù)的計(jì)數(shù)方式，為后面分?jǐn)?shù)與整數(shù)的對(duì)比提供了可能。同時(shí)，利用課堂上學(xué)生的生成性資源，引導(dǎo)他們?cè)谝徊讲缴钊氲难芯恐杏|摸知識(shí)的本質(zhì)。

可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助歷史文化情境設(shè)計(jì)合適的探究性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生追尋知識(shí)本原，有助于學(xué)生數(shù)感等核心素養(yǎng)的培育。

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