深挖條件 細(xì)悟思想

楊波

［摘? 要］ “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的這句話，常被教師用來(lái)提醒學(xué)生分析問題時(shí)要數(shù)形結(jié)合. 長(zhǎng)久下來(lái)，學(xué)生確實(shí)會(huì)在很多情境中嘗試從數(shù)與形的角度分別去思考問題，優(yōu)化問題解決過(guò)程.數(shù)學(xué)需要簡(jiǎn)中求道，而數(shù)形結(jié)合恰恰做到了這點(diǎn)，但必要性有多強(qiáng)呢？文章用幾個(gè)例子做淺析.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合；細(xì)化；優(yōu)化；深化；深度思維

數(shù)形結(jié)合作為一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，尤其在高中，解析幾何的學(xué)習(xí)更是讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)與形結(jié)合起來(lái)的重要性與便捷性：從代數(shù)角度難理解的問題通過(guò)一張直觀的圖形可能就明顯簡(jiǎn)化了；幾何上不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法，通過(guò)代數(shù)的呈現(xiàn)方式可以讓其從“合情”演變?yōu)椤昂侠怼? 但是，反觀我們的教學(xué)過(guò)程，似乎很多時(shí)候都是偏重于數(shù)與形結(jié)合起來(lái)的結(jié)果，而忽視了為什么我們要將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，按照我們平時(shí)在教學(xué)過(guò)程中所講的，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，這樣做的必要性有多強(qiáng)呢？筆者通過(guò)以下幾個(gè)問題做一些淺析（所有的例子都源于蘇教版教材）.

以數(shù)解形，細(xì)化分析

其實(shí)我們會(huì)在解析幾何的學(xué)習(xí)中感覺到，幾何方法的滲透往往可以簡(jiǎn)化問題，所以很多學(xué)生就形成了固定套路，只要遇到這類問題，就一定要找到幾何方式簡(jiǎn)化問題. 從初衷上講是不錯(cuò)的，先從幾何的角度試探下，即使沒有完全解決問題，也能為后續(xù)代數(shù)解決提供思路，但這也有一定風(fēng)險(xiǎn)，比如思考問題的全面性.

當(dāng)然，即使考慮到了上述兩種情況，如果從代數(shù)角度來(lái)看，是不是還存在別的情況呢？所以，我們要再次嘗試以下思考.

思考2從代數(shù)角度直接呈現(xiàn)了參數(shù)k與m之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)代數(shù)恒等式求出定點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)算量相對(duì)于三角形相似的幾何解法或許要多一些，但是我們發(fā)現(xiàn)，其結(jié)果呈現(xiàn)的全面性更加清晰，不容易出現(xiàn)丟根的情況. 其實(shí)原始圖形關(guān)于x軸的上下對(duì)稱性，也可以幫助我們分析出直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)一定在x軸上.

以形助數(shù)，優(yōu)化思考

解析幾何中的軌跡問題經(jīng)常困擾著學(xué)生，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們需要以這樣的軌跡作為接下來(lái)解決問題的基礎(chǔ)，但是找尋軌跡又不是簡(jiǎn)單的事情. 一般情況下，軌跡的發(fā)現(xiàn)就是兩個(gè)渠道：代數(shù)角度，找到軌跡上任意一點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，即用“方程”確定“曲線”；幾何角度，通過(guò)定義等幾何方式確定軌跡的形狀，進(jìn)而用“曲線”確定“方程”，再解決相關(guān)問題.

這兩種思考一比較，就能發(fā)現(xiàn)代數(shù)的切入口更加符合解析幾何中用代數(shù)法解決幾何問題的思路，而幾何法的引入，很明顯在一定程度上減少了運(yùn)算量，同時(shí)也能深入思考問題，讓數(shù)學(xué)思想滲透得更為廣泛，再次體現(xiàn)“數(shù)”與“形”結(jié)合的必要性.

數(shù)形結(jié)合，深化應(yīng)用

問題來(lái)了，為什么要用這樣一個(gè)定義方式來(lái)呈現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，而不是看函數(shù)圖象上升或下降呢？回答這個(gè)問題的一種比較經(jīng)典的方式就是舉一些圖象變化趨勢(shì)不明顯或圖象不太容易得到的函數(shù). 例如函數(shù)f（x）=0.000001x或f（x）=x+，尤其是函數(shù)f（x）=0.000001x，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件畫出其圖象（不給解析式），學(xué)生就不太能明確其圖象是上升的還是下降的，更多會(huì)認(rèn)為這是一條水平線. 通過(guò)這樣的“陷阱”設(shè)置，可以讓學(xué)生明白代數(shù)式定義的必要性. 這樣的認(rèn)知過(guò)程同樣適用于后續(xù)的奇偶性和對(duì)稱性的代數(shù)式定義.

上述概念的代數(shù)化過(guò)程讓我們感覺到了“以數(shù)解形”的必要性，反過(guò)來(lái)看看這個(gè)問題：

已知函數(shù)f（x）=（3－a）x－3，x≤7，ax-6，x>7在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 這是一個(gè)分段函數(shù)，如果只是按照單調(diào)遞增的代數(shù)式定義去分析這個(gè)問題就有點(diǎn)不合適了.

從上述兩個(gè)問題可以看出，“以形助數(shù)”的必要性不言而喻，這也是單調(diào)性定義應(yīng)用過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的，所以需要教師去挖掘這樣的資源，通過(guò)這樣的資源整合讓學(xué)生真正理解到“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)的必要性，它的作用不僅僅是做對(duì)一道題，而是滲透數(shù)學(xué)思想方法.

通過(guò)上述幾個(gè)問題的梳理，可以明確的是，“數(shù)”與“形”的結(jié)合不是“偶然”的過(guò)程，而是根據(jù)題設(shè)條件與待求結(jié)論來(lái)解決問題的“必然”過(guò)程. 所以，在平時(shí)教學(xué)中，教師的確要摒棄數(shù)形結(jié)合的結(jié)論性小結(jié)，充分引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目條件，分析解決方案，尤其在類似的問題中，探析用“數(shù)”解決問題的難點(diǎn)、切口在哪里，用“形”分析問題起到的輔助作用是什么. 數(shù)形結(jié)合不是僅為了追求簡(jiǎn)化，而是真正結(jié)合數(shù)與形，多問幾個(gè)“為什么”. 這樣解決問題，才能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的深遠(yuǎn)性與延展性，引領(lǐng)學(xué)生思維朝著更遠(yuǎn)大的方向發(fā)展.