矩形加肋板肋條布置的無網(wǎng)格優(yōu)化

，

(1.大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 遼寧 大連 116024； 2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 廣西 南寧 530004；3. 廣西大學(xué) 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣西 南寧 530004)

0 引言

加肋板由于具有輕質(zhì)高強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用在橋梁、海洋、船舶、高鐵和航空航天等領(lǐng)域中.在最初的研究中，主要利用梁格模型和正交各向異性板模型來模擬加肋板，而后發(fā)現(xiàn)這些模型僅適用于肋條布置較密的加肋板.之后的研究更傾向于將加肋板考慮為一個(gè)混合結(jié)構(gòu)，肋條被看作是梁[1].在對加肋板的彎曲分析中，文獻(xiàn)[2]利用能量的標(biāo)準(zhǔn)對加肋板在受均布荷載作用下的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[3]對有縱向肋和橫向肋的情況下加肋板受幾種不同的彎曲荷載進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]利用一階剪切變形理論和移動最小二乘近似求解了矩形加肋板的線性彎曲問題.無網(wǎng)格法因利用一系列節(jié)點(diǎn)而非網(wǎng)格離散結(jié)構(gòu)，相較有限元法更多了一些靈活性.在對加肋板進(jìn)行計(jì)算時(shí)，肋條上的節(jié)點(diǎn)分布并不需要與板上的節(jié)點(diǎn)對齊，肋條位置變化也不需要對板節(jié)點(diǎn)重新分布.文獻(xiàn)[5]通過迭代優(yōu)化算法得到了實(shí)心變厚度薄板優(yōu)化問題的最優(yōu)解是一個(gè)具有無限細(xì)、無限密的加肋結(jié)構(gòu).本文基于無網(wǎng)格法，采用移動最小二乘近似和一階剪切變形理論得到加肋板的位移場函數(shù)，構(gòu)造加肋板應(yīng)變能，獲得計(jì)算板撓度的控制方程，再利用約束隨機(jī)方向法對加肋板的肋條位置進(jìn)行優(yōu)化，使加肋板中心點(diǎn)的撓度最小.最后用算例驗(yàn)證了本文方法的有效性，并對不同荷載作用下的加肋板肋條布置進(jìn)行了優(yōu)化分析.

1 加肋板的無網(wǎng)格模型

加肋板的無網(wǎng)格模型如圖1所示.可以看出，x向肋條上的節(jié)點(diǎn)和y向肋條上的節(jié)點(diǎn)布置并沒有沿著板上節(jié)點(diǎn)的位置布置，而是分布在板上兩行或者兩列節(jié)點(diǎn)之間.根據(jù)移動最小二乘近似[6-7]，可得形函數(shù)的表達(dá)式為

圖1 加肋板的無網(wǎng)格模型Fig.1 The meshfree model of stiffened plate

(1)

式中：P(x)代表基函數(shù)矩陣；A(x)、B(x)分別是由權(quán)函數(shù)和基函數(shù)組成的矩陣.由移動最小二乘近似和一階剪切變形理論可以得到加肋板的位移場函數(shù)為

(2)

式中：u0pI、φpxI、v0pI、φpyI、wpI是板的節(jié)點(diǎn)參數(shù)；n代表板節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù).

x向肋條的位移場函數(shù)可以表示為

(3)

式中：u0sI、φsxI、wsxI是x向肋條上的節(jié)點(diǎn)參數(shù)；N是肋條上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；φxI是肋條上節(jié)點(diǎn)由移動最小二乘近似計(jì)算出來的形函數(shù).

同樣地，y向肋條也有相似的表達(dá)式.

1.1 位移協(xié)調(diào)條件

圖2 加肋板的位移協(xié)調(diào)條件Fig.2 The displacement compatibility of stiffened plate

加肋板的位移協(xié)調(diào)條件如圖2所示.雖然加肋板在計(jì)算時(shí)將肋條考慮為梁，但是加肋板的肋條和板是結(jié)合在一起的一個(gè)整體，所以在肋條上的某一個(gè)節(jié)點(diǎn)必有與之相對應(yīng)的板上的點(diǎn)，使得它們的位移有如下關(guān)系：

[wp]p=[wsx]s,

(4)

[φpx]p=[φsx]s,

(5)

[up]c=[usx]c,

(6)

式中：p點(diǎn)是與肋條上節(jié)點(diǎn)s相對應(yīng)的板上的點(diǎn)；c點(diǎn)是肋條上節(jié)點(diǎn)s與板上的點(diǎn)p之間的連線與接觸面的交點(diǎn).

將式(2)、 (3)帶入式(4)～(6)中，可得到用矩陣形式表示的位移協(xié)調(diào)關(guān)系為

Tpδpw=Tsxδsxw,

(7)

Tpδpφ=Tsxδsxφ,

(8)

Tpδpu+esTpδpxφ=Tsxδsu.

(9)

δsx=Tspxδp，

(10)

其中：δsx=[u0s1,wsx1,φsx1,…,u0sN,wsxN,φsxN]T，δp=[u0p1,v0p1,wp1,φpx1,φpy1,…,u0pn,v0pn,wpn,φpxn,φpyn]是一個(gè)3N×3n的矩陣，當(dāng)加肋板上肋條位置改變時(shí)只需要重新計(jì)算T即可.

1.2 控制方程

根據(jù)一階剪切變形理論，加肋板的勢能可以表示為

.

(11)

x向肋條的勢能可以表示為

.

(12)

則加肋板的總勢能可以表示為U=Up+Usx+Usy，根據(jù)虛功原理可得加肋板的控制方程為Kδp=f.

1.3 完全轉(zhuǎn)換法

由于形函數(shù)并不滿足N1J=δ1J的條件，所以并不能直接施加邊界條件,而是需要通過一些方法使得剛度方程中的位移表現(xiàn)出的是真實(shí)的位移，以便施加邊界條件.通過完全轉(zhuǎn)換法[8]之后的節(jié)點(diǎn)形函數(shù)滿足N1J=δ1J的條件，可以像有限元法那樣直接施加邊界條件.

2 約束隨機(jī)方向法在肋條布置優(yōu)化中的程序流程

約束隨機(jī)方向法是在滿足約束條件的可行范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生方向進(jìn)行搜索的一種方法.這種方法主要依靠的是隨機(jī)生成的點(diǎn)與向量，并利用隨機(jī)生成的點(diǎn)與向量找到近似于目標(biāo)函數(shù)的最速變化方向進(jìn)行求導(dǎo)操作.因?yàn)槔邨l位置優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是選取剛度方程作為目標(biāo)函數(shù)，而對剛度方程進(jìn)行求導(dǎo)是非常耗費(fèi)時(shí)間的一項(xiàng)操作，所以選取約束隨機(jī)方向法進(jìn)行近似.

利用無網(wǎng)格法和約束隨機(jī)方向法對加肋板進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,具體的程序流程如圖3所示.

圖3 基于無網(wǎng)格法和約束隨機(jī)方向法的程序流程Fig.3 Program flow based on meshfree method and constrained random direction method

3 算例分析

3.1 驗(yàn)證分析

圖4 單根肋條加肋板受均布荷載作用(單位：m)Fig.4 Single rib stiffened plate under uniform loads (unit: m)

序號肋條位置y/m板中心點(diǎn)撓度/10-4m優(yōu)化結(jié)果的相對誤差/%10.512 9091.499 051.7420.489 8981.489 441.0930.498 8101.474 450.0740.442 5721.967 2233.5250.608 4482.906 1897.2560.493 4711.480 600.4970.498 0201.474 820.1080.446 2031.906 9729.4390.248 8178.741 17493.27100.495 2731.477 570.28

對約束隨機(jī)方向法進(jìn)行了驗(yàn)證分析.當(dāng)加肋板受到均布荷載時(shí)，單根肋條在板中間時(shí)加肋板的撓度最小.取邊長L=1 m，板厚h=0.01 m的正方形加肋板,肋條高度hs=0.1 m，肋條寬度ws=0.01 m,彈性模量E=1.7×107Pa，泊松比為0.3，受z向均布荷載1 Pa的作用，單根肋條加肋板受均布荷載作用如圖4所示.

無網(wǎng)格模型采用9*9的均布節(jié)點(diǎn)離散，四邊固支邊界條件.采用二次基函數(shù)，權(quán)函數(shù)的支撐域大小取4倍的相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的距離.當(dāng)兩次相鄰計(jì)算結(jié)果的差值小于0.01 m時(shí)，迭代終止.當(dāng)肋條位于板中間時(shí)，加肋板中心點(diǎn)的撓度為1.473 38×10-4m.

為了驗(yàn)證約束隨機(jī)方向法的尋優(yōu)效果，對加肋板受到均布荷載的情況進(jìn)行了優(yōu)化分析.表1為單根肋條受到均布荷載時(shí)中心點(diǎn)撓度的優(yōu)化結(jié)果.

由表1可以看出，有些計(jì)算結(jié)果的相對誤差很大，這是因?yàn)榧s束隨機(jī)方向法的局部尋優(yōu)能力較強(qiáng),隨機(jī)選取的初始點(diǎn)對于尋優(yōu)的整個(gè)過程以及尋優(yōu)的效率起到非常關(guān)鍵的作用.隨機(jī)初始點(diǎn)的值對于約束隨機(jī)方向法來說是很重要的，往往要進(jìn)行很多次計(jì)算來確定一個(gè)適用的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案.

選取結(jié)果較優(yōu)的一組數(shù)據(jù)和較差的一組數(shù)據(jù)對尋優(yōu)過程進(jìn)行模擬，其中第7組和第9組的數(shù)據(jù)尋優(yōu)過程分別如圖5、圖6所示.圖中虛線為y=0.5 m的標(biāo)準(zhǔn)線，當(dāng)初始點(diǎn)的取值很接近最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，得出的優(yōu)化結(jié)果有極大概率為近似最優(yōu)解.因此，對于約束隨機(jī)方向法的優(yōu)化需要進(jìn)行多次計(jì)算.

另外，通過圖形的中心點(diǎn)撓度曲線可以看出總趨勢是趨于下降的，這就證明了約束隨機(jī)方向法的迭代過程是具有優(yōu)化意義的，最終得到的點(diǎn)一定會比初始點(diǎn)的值更優(yōu)秀.但是，約束隨機(jī)方向法僅僅可以在局部進(jìn)行尋優(yōu)，全局尋優(yōu)能力較弱，容易找到局部最優(yōu)點(diǎn).

圖5 第7組數(shù)據(jù)尋優(yōu)過程Fig.5 The seventh set of data optimization process

圖6 第9組數(shù)據(jù)尋優(yōu)過程Fig.6 The ninth set of data optimization process

圖7 單根肋條加肋板受矩形局部荷載作用(單位：m)Fig.7 Single rib stiffened plate under rectangular partial loads (unit: m)

序號肋條位置y/m板中心點(diǎn)撓度/10-5m10.425 1391.509 9320.421 5411.524 5530.379 7652.451 3340.380 8942.408 5850.530 4805.815 5660.443 6591.609 5570.432 9791.515 9480.426 8171.506 8290.422 7311.518 52100.358 7373.417 39

3.2 加肋板肋條位置優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.2.1局部荷載下肋條的最佳位置 利用約束隨機(jī)方向法對單根肋條加肋板受到局部荷載的狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).加肋板受到的矩形均布荷載仍為1 Pa，方向?yàn)閦向，分布在左下角的正方形區(qū)域中，其他條件不變.單根肋條加肋板受矩形局部荷載作用如圖7所示.

同樣對受到局部荷載的加肋板進(jìn)行了優(yōu)化分析，分別取其中10次計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行分析對比，結(jié)果如表2所示.

由表2可以看出，當(dāng)肋條位置在0.43 m附近時(shí)，板中心點(diǎn)的撓度是最小的，最小值為1.506 82×10-5m，是由第8組數(shù)據(jù)得出的.第1組、第2組、第7組和第9組數(shù)據(jù)都很接近第8組的計(jì)算結(jié)果，也從側(cè)面印證了第8組計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.由此可以得出，當(dāng)單根肋條加肋板受到左下角局部荷載作用時(shí)，肋條的最佳擺放位置為0.43 m，此時(shí)加肋板中心點(diǎn)的撓度值為1.506 82×10-5m.

3.2.2雙平行肋條加肋板位置優(yōu)化 當(dāng)平板中有兩根肋條時(shí)，約束隨機(jī)方向法的設(shè)計(jì)變量就變成了2個(gè)，且兩根肋條相互平行，間距為0.3 m，受到正方形局部荷載的作用.雙平行肋條加肋板受局部荷載作用如圖8所示,得到的10組結(jié)果見表3.

由表3可以看出，有兩根平行肋條的加肋板當(dāng)固定肋條之間的距離為0.3 m，優(yōu)化得到的結(jié)果是兩根肋條的位置分別位于0.4 m和0.7 m時(shí)，加肋板中心點(diǎn)的撓度最小.

3.2.3雙垂直肋條加肋板位置優(yōu)化 當(dāng)有兩根相互垂直的肋條共同作用在板上時(shí)，同樣只是對固支邊界條件的加肋板進(jìn)行了分析，雙垂直肋條加肋板受局部荷載作用如圖9所示.

圖8 雙平行肋條加肋板受局部荷載作用(單位：m)Fig.8 Double parallel ribs stiffened plate under partial loads (unit: m)

圖9 雙垂直肋條加肋板受局部荷載作用(單位：m)Fig.9 Double vertical ribs stiffened plate under partial loads (unit: m)

加肋板為1 m×1 m×0.01 m的正方形薄板，兩根肋條的尺寸為1 m×0.01 m×0.1 m.受力占整個(gè)板面的四分之一，位置在加肋板的左下角.計(jì)算得到的10組結(jié)果如表4所示.

由表4可以看出，當(dāng)x向肋條位于0.78 m左右、y向肋條位于0.43 m左右時(shí)，得到撓度最小的第5組數(shù)據(jù)，第9組數(shù)據(jù)也證明了在0.7 m和0.4 m附近擁有近似精確解的可能性大.所以，當(dāng)雙垂直肋條加肋板受到矩形局部荷載作用時(shí)，兩根肋條的擺放位置在0.43 m和0.78 m處為佳.

表3 雙平行肋條加肋板優(yōu)化結(jié)果

表4 雙垂直肋條加肋板優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

用約束隨機(jī)方向法研究了加肋板肋條位置優(yōu)化的問題.對3個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算，得出了肋條擺放位置的近似最優(yōu)解.利用無網(wǎng)格法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，由于約束隨機(jī)方向法的局部性需要進(jìn)行多次計(jì)算，但是增加的計(jì)算時(shí)間多是優(yōu)化方法的計(jì)算時(shí)間；而利用有限元法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，在重復(fù)計(jì)算的過程中增加的不僅僅是優(yōu)化的時(shí)間，還有因網(wǎng)格重構(gòu)而增加的有限元計(jì)算時(shí)間.因此，利用無網(wǎng)格法進(jìn)行計(jì)算可以提高計(jì)算效率，效率提高程度依賴于初始點(diǎn)的選取.約束隨機(jī)方向法計(jì)算方法簡單，不需要太大的計(jì)算量，是進(jìn)行小規(guī)模優(yōu)化的有效計(jì)算方法.

算例中加肋板被當(dāng)作板與梁的結(jié)合體，板與梁均為考慮剪切變形影響的Midlin板模型與Timoshenko梁模型.通過算例計(jì)算可以得到，在以固支邊界為前提的條件下，雙平行肋條加肋板在固定肋間距離為0.3 m時(shí)，兩根肋條的擺放位置分別在0.4 m和0.7 m處；雙垂直肋條中x向肋條的擺放位置在0.78 m、y向肋條的擺放位置在0.43 m時(shí)，加肋板中心點(diǎn)的撓度值最小.此方法計(jì)算簡單且容易操作，但是比較容易陷入局部死點(diǎn)，需要通過大量的重復(fù)計(jì)算來確定優(yōu)化的最終方案.