基于調查分析 關注推理意識
——學生解決 “∠1和∠2是否相等” 問題的調查與教學啟示

□何 潔

一、問題的提出

某區(qū)四年級上冊的質量檢測卷中，出現(xiàn)了這樣一道題目（如圖1）。

本題不僅要求學生準確判斷兩個角是否相等，還要求他們說明判斷的理由。這樣的題目，有多少學生能夠正確作出判斷？學生會從哪些角度入手說明理由？對于那些無法正確說明理由的學生，他們面臨的具體困難是什么？帶著這一系列問題，筆者開展了調查與分析，從而準確把握學生說理的角度，為教師實施精準教學提供參考。

二、分析與結果

筆者在所在學校四年級中，選取不同教師執(zhí)教的三個班級共130名學生展開測評。對回收的130份試卷進行深入分析后，得出以下結論。

（一）超過九成的學生判斷∠1和∠2相等

統(tǒng)計結果顯示，有119 名學生認為∠1 和∠2 相等，占總人數的91.54%。這表明在四年級學生中，有超過九成的學生能夠正確判斷這兩個角相等。而余下的11 名學生（占總人數的8.46%）受各種因素影響，認為∠1和∠2不相等。

（二）學生主要從 “看” “量” 以及 “論證” 這三個角度說明理由

學生會從哪些角度入手說明理由，會如何表達說理的過程，是評價中的一項重要內容，也是實施精準教學的前提。通過對130份試卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)：學生主要從 “看” “量” 以及 “論證” 這三個角度入手說明理由。

1. “看” 的角度

“看” 是指觀察題目給出的示意圖，通過目測，判斷∠1 和∠2 的大小關系。采用這種方法的學生共有18 人，占總人數的13.85%。從 “看” 的角度說理可分成兩種情況。

一是借助 “第三個量” 判斷兩角相等。這里的 “第三個量” 指的是與∠1和∠2都相等的量。例如，有學生利用 “看起來∠1和∠2都是90°的一半” 這一觀察結果，得出∠1=∠2 的結論。這里的 “90°的一半” 就是 “第三個量” 。部分學生為了進一步驗證 “看” 的結果的合理性，還運用算式計算出角的度數，從而證明兩角相等。具體來說，學生是先看出∠1和∠2都是45°，再通過算式90°÷2=45°來 “有力” 說明∠1和∠2兩角的確是相等的。

二是通過 “移動重合” 判斷兩角相等。 “移動重合” 是指將∠1或∠2進行移動，看它們是否重合，從而得出結論。例如，有學生寫著： “相等，因為把陰影部分向下移，∠1和∠2是重合的?！?還有學生的理由是： “因為它們（指∠1和∠2）可以重疊在一起?！?這部分學生是運用長方形紙片進行實際操作得出結論的，還是沒有操作通過想象得出結論的呢？訪談發(fā)現(xiàn)，這些學生是在頭腦中利用表象通過想象旋轉∠1或∠2使兩角重合，進而判斷兩角相等。

2. “量” 的角度

“量” 是指學生通過使用量角器測量出∠1和∠2的度數來判斷它們是否相等的結論。采用這種方法的學生僅有3 名，占總人數的2.31%。其中兩名學生測量得到的結果是∠1與∠2相等，而另一名學生因為測量時的誤差，得到不相等的結果。

3. “論證” 的角度

“論證” 是指學生運用已知條件，有根有據地進行推理，從而得到∠1和∠2相等。采用這種方法的學生占總人數的36.92%。說理過程主要有以下兩種形式。

第一種是利用 “兩角之和相等” 進行論證。這些學生先將∠1和∠2之間的角命名為∠3，并在圖上標注出來（如圖2）。然后利用∠1 與∠3、∠2 與∠3 “兩角之和” 都是90°這一事實得出結論。即：因為∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2。雖然四年級學生尚未學過 “等式的性質” 或 “余角的性質” ，但仍有35 名學生（占總人數的26.92%）采用 “兩角之和” 的思路來論證。

圖2

第二種是利用 “兩角之差相等” 進行論證。學生同樣先將∠1和∠2之間的角命名為∠3，在圖上標注出來。然后利用∠1=90°-∠3、∠2=90°-∠3，得出∠1=∠2的結論。這種論證思路與 “兩角之和” 的論證思路類似，但更直接地運用了 “等量的等量相等” 這一原理，共有13 名學生（占總人數的10.00%）采用這種思路。

（三）學生遇到的主要困難是 “不知道度數” 和 “不知道怎么說明理由”

針對學生在解題過程中遇到的困難，筆者也展開了調查。調查結果顯示，在130 名學生中，有70名學生表示未遇到困難或未書寫困難，另外60 名學生則詳細描述了他們在解題過程中遇到的困難。其中， “不知道度數” 和 “不知道怎么說明理由” 是學生遇到的主要困難。

1.不知道度數

“不知道度數” 是指學生不知道∠1、∠2和∠3的度數，所以無法判斷兩角相等。學生的描述有： “不清楚∠1 和∠2 是多少度?！?“不知道∠3 是多少度，所以不能確認∠1 到底等不等于∠2?！?“不知道旋轉的度數，沒有確切的度數，不好算?！?在60名詳細描述遇到的困難的學生中，有31名學生表達了這種 “不知道度數” 的困惑。這些學生認為，判斷兩個角的大小首先要知道它們各是多少度。

2.不知道怎么說明理由

“不知道怎么說明理由” 是指學生不知道怎么來表達∠1 和∠2 相等或不相等的理由。學生的描述有： “不知道怎樣詳細說明理由。” “想到了卻寫不出來，不知道怎么表達?！?“沒有辦法清楚直觀地寫出自己想要表達的觀點?！?在60名詳細描述遇到的困難的學生中，有13名學生表達了諸如 “不知道怎么說明理由” 的困惑。事實上，四年級學生在之前的學習經歷中確實較少遇到這樣需要寫出說理過程的問題，所以他們不知道怎么說明理由也在情理之中。

三、教學實施

經過上述深入細致的調查與分析，筆者已經較為清晰地掌握了學生在判斷兩個角是否相等問題上的正確率。同時，也明確了學生會從哪些角度說理以及如何說理，知道了他們在解決這個問題時遇到的主要困難是什么。基于這些信息，筆者設計了更加精準的教學過程，以確保教學目標的順利實現(xiàn)。

（一）教學過程

1.讓學生獨立思考并解決這個問題，為小組交流做準備

（1）根據你的判斷，∠1和∠2相等嗎？

（2）你的理由是什么？

這個環(huán)節(jié)主要是讓學生對相關內容進行回顧與梳理，重點準備在小組交流中怎么說。

2.學生以四人小組為單位，分別在小組中說一說自己的結論與理由

根據前期調查，預計有超過三分之一的學生會采用 “論證” 的方法。本環(huán)節(jié)旨在讓學生通過交流了解不同的說理方式，學習如何運用已知的條件有根有據地講道理，即運用論證的方法說理。

3.要求學生做好在全班交流的準備

（1）你們小組有沒有形成統(tǒng)一的結論？

（2）你們小組采用了哪幾種說理的方法？

（3）你們小組認為哪一種說理的方法是比較可靠的，為什么？然后推薦一名同學為小組代表，向全班匯報。

從前面的調查分析中可知，學生主要采用 “看” “量” 以及 “論證” 的方法進行說理。所以在一個小組中，有可能會出現(xiàn)兩種或兩種以上的說理方法，因此，本環(huán)節(jié)要求學生對幾種說理方法進行初步比較，以便在全班交流，讓學生通過生生交流和師生交流提升說理的嚴密性。

4.全班交流

先由一名小組代表發(fā)言，匯報準備的內容，其他小組進行補充。然后在教師的引導下，歸納出 “看” “量” 與 “論證” 三種說理方法。接著，通過實物操作與課件動態(tài)演示，引導學生觀察長方形的旋轉過程，看到兩個長方形完全重合。最后，讓學生比較三種說理方法的可靠性，體會論證方法的嚴密性，從而得出以下結論。

（1）觀察∠1 和∠2 是否相等的確重要，但僅憑觀察得出的結論是不可靠的。即使先觀察到∠1和∠2 都是直角的一半，再用算式算出∠1 和∠2 都等于45°，這樣的說理方法仍然不可靠。

（2）量的方法相對可靠，但存在誤差。不同的人或同一個人多次測量同一角度，可能會得到不同的結果。比如，可能一個人量出來都是45°，說∠1與∠2 相等，而另一個人量出∠1 與∠2 相差1°，說兩角不相等。因此，僅憑量的結果判斷∠1與∠2是否相等也沒有那么可靠。

（3）運用已知條件有根有據地說理論證是最可靠的方法。題目要求判斷 “∠1和∠2是否相等” ，因此需先尋找∠1（或∠2）與已知條件之間的關系，再進行說理。已知長方形的角是直角（90°），∠1和∠2都比直角（90°）要小，且∠1（或∠2）與兩個角之間未標注的角（學生將其命名為∠3）之和正好等于直角?；谶@一發(fā)現(xiàn)，學生可以得到：∠1+∠3=90°和∠2+∠3=90°。由于兩個等式中都有∠3，因而可以得出∠1=∠2的結論。另一種表達方式是：∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，得出∠1=∠2?？傊瑹o論使用 “和相等” 還是 “差相等” 的方式來說理論證，其思路都是類似的，都是基于已知條件和數學原理進行嚴謹推導的過程。

5.回顧與小結（略）

（二）后測的試題、結果與分析

上述教學過程是否真正促進了學生的發(fā)展？是否有效幫助更多學生掌握論證的方法？這樣教學后，學生是否學會了遷移應用？為了驗證這些猜測，筆者對學生進行了后測。以下是后測試題、所得結果以及對結果的簡要分析。

1.后測試題

原來的后測試卷是在試卷中增加了以下三道題。

（1）下圖（如圖3）由直角三角形ABC旋轉而成。圖中∠4與∠5相等嗎？請說明理由。

圖3

（2）下圖（如圖4）由三角形ABC旋轉而成。圖中∠6與∠7相等嗎？請說明理由。

圖4

（3）下圖（如圖5）是一個長方形ABCD繞點A旋轉的示意圖。觀察它的旋轉過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？寫一寫。

圖5

2.測試結果

共有130名學生參與后測，新增三題的測試情況如表1所示。

表1

3.結果分析

從所得數據可以看出，經過這樣的教學過程，學生采用論證方法說理的正確率從原來的36.92%提升至90%以上。特別是第（1）題和第（2）題，超過90%的學生成功遷移了解決問題的方法。此外，進一步對第（3）題進行分析，發(fā)現(xiàn)有超過70%的學生發(fā)現(xiàn)了 “不管在什么情況下（怎么旋轉），∠1 和∠3的度數始終保持一致（因為∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°）” 的規(guī)律。

四、研究啟示與建議

（一）學生習慣用 “具體的數或數的運算” 說理，不習慣用抽象的符號說理

通過上面的調查與分析可知，為了說明∠1=∠2，學生希望知道它們各是多少度，或者用算式計算出它們的具體度數來說明這兩個角相等，而不習慣用 “等量的等量相等” 這樣的原理以及抽象的符號說理。如圖6所示，學生在得出 “∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3” 后，并未立即意識到∠1=∠2，而是繼續(xù)計算兩角的具體度數，直至得出 “40°=40°” 的結論，才確認兩角相等。這表明學生在沒有具體數值支撐的情況下，對結論的可靠性存在疑慮。只有當他們通過測量或觀察得出具體度數，并通過計算驗證兩角度數相等后，才會對結論感到 “安全” 。

圖6

（二）對學生認知水平的評價不僅要關注結果的正確性，也要關注過程表達的邏輯性

根據調查統(tǒng)計，雖然超過90%的學生能夠正確判斷∠1和∠2相等，但能夠清晰說明理由的學生比例卻不足60%。這意味著在認知過程中有超過30%的學生存在說理障礙。若僅依據結果進行判斷，就無法全面了解這部分學生的真實認知水平。例如，學生甲僅憑觀察就得出了∠1 和∠2 相等，而學生乙在觀察后還用量角器進行了測量，結果由于測量的誤差，得出了∠1和∠2不相等的結論。如果只看結果，容易誤認為學生甲比學生乙的認知水平高。而事實上，學生乙的認知水平是高于學生甲的。因此，在評價學生的認知水平時，必須同時關注結果的正確性和過程表達的邏輯性。

（三）從調查入手，仔細分析學生的認知現(xiàn)狀是實施精準教學的前提

上述調查與分析幫助教師了解了學生的真實起點和需求，使教師對學生的認知現(xiàn)狀有了更為清晰的認識，這為他們后續(xù)實施精準教學提供了有力的支撐和依據。從后測結果可知，四年級學生已經具備推理的能力。只要教師的引導方法得當，學生就能夠達到 “有根有據、有條有理” 的說理水平。