“循源而學(xué)”理論視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)：看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)

［摘 要］ 如何提高小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、體悟數(shù)學(xué)的價(jià)值是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育三大待解難題。解決之道在于讓學(xué)生看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)，“循源而學(xué)”應(yīng)運(yùn)而生。它倡導(dǎo)順著數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的“源”與“流”而學(xué)，其核心內(nèi)容包括循數(shù)學(xué)發(fā)展之源而學(xué)、循人生成長(zhǎng)之源而學(xué)、循生存生活之源而學(xué)，體現(xiàn)為從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向人生成長(zhǎng)、從人生成長(zhǎng)走向完整生活，這是一切學(xué)科學(xué)習(xí)的基本“源”與“流”，是系列內(nèi)化與外化、專與博、立己與達(dá)人、出發(fā)與歸宿、基礎(chǔ)與發(fā)展的自然生長(zhǎng)、生發(fā)、生態(tài)過(guò)程?！扒榫撑c問(wèn)題、體驗(yàn)與實(shí)踐、關(guān)聯(lián)與綜合、拓展與長(zhǎng)程、創(chuàng)造與成長(zhǎng)”是“循源而學(xué)”的五大設(shè)計(jì)與實(shí)施要義。

［關(guān)鍵詞］ 循源而學(xué)；看見數(shù)學(xué)；理解數(shù)學(xué)；學(xué)通數(shù)學(xué)；用好數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ ?G622.0 ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ?［文章編號(hào)］ 1005-5843（2024）03-0151-06

［DOI］ ?10.13980/j.cnki.xdjykx.2024.03.023

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)，也是所有學(xué)問(wèn)的靈魂”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)。”［1］

然而數(shù)學(xué)在小學(xué)生心中的印象是枯燥的、抽象難懂的，除一些計(jì)算價(jià)值外似乎沒有多大用處。如何激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、感受數(shù)學(xué)的價(jià)值是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教育亟待破解的三大難題。最終如何真正讓學(xué)生從小看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)，進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)［2］，“循源而學(xué)”理論的提出正是對(duì)此的探索與實(shí)踐。

一、“循源而學(xué)”的提出

如何提升興趣、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，本質(zhì)就是要讓學(xué)生從小感悟數(shù)學(xué)到底是什么、怎么產(chǎn)生的、如何不斷發(fā)展的、可以用來(lái)干什么，這樣才能既見樹木又見森林，既識(shí)表象又見本質(zhì)，既通術(shù)器也明道法，才能真正像學(xué)科專家一樣思考與學(xué)習(xí)，才能從知識(shí)的容器走向知識(shí)的創(chuàng)造者，才能從死記硬背走向舉一反三、活學(xué)活用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣不在外在，而在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身；數(shù)學(xué)的價(jià)值不在他處，而在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身。所以關(guān)鍵就在于學(xué)生看見數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)，知其然且知其所以然，便能從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)。

（一）提升學(xué)習(xí)的效能：因循學(xué)科發(fā)展本質(zhì)而學(xué)

要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值，首先需要讓學(xué)生看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)。學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥、抽象，是因?yàn)樗麄兛吹降氖潜涞姆?hào)，沒有看到符號(hào)背后鮮活的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)和發(fā)展過(guò)程。所以解決難、煩、雜的問(wèn)題，貴在讓學(xué)生厘清數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展脈絡(luò)，沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)、順著數(shù)學(xué)建構(gòu)的邏輯進(jìn)行學(xué)習(xí)，順藤摸瓜，而非見子打子。這樣每一次的新學(xué)并非絕對(duì)意義上的重新學(xué)習(xí)，而只是基于房屋地基、房屋框架基礎(chǔ)上的添磚加瓦，裝修美化。一線數(shù)學(xué)教育一定要破除零散碎片化地教，而要讓學(xué)生學(xué)一課通一片、學(xué)一片通全局，提升學(xué)習(xí)效能，做到遷移理解，自主建構(gòu)，舉一反三?！把炊鴮W(xué)”倡導(dǎo)順著數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的“源流”而學(xué)，正是對(duì)三大數(shù)學(xué)教育關(guān)鍵難題破解之策的高度凝練。

（二）應(yīng)對(duì)未來(lái)變化的當(dāng)下行動(dòng)：以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為載體，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容但非唯一，數(shù)學(xué)教育還應(yīng)讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)的眼光、思維、語(yǔ)言，利用從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積累的智慧應(yīng)對(duì)未來(lái)的變化。也就是說(shuō)，要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為重要的載體，去培養(yǎng)學(xué)生一生受用的關(guān)鍵能力、必備品格、正確的價(jià)值觀，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。這里的核心素養(yǎng)不應(yīng)局限于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還有其他核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)的本質(zhì)是會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)做事、會(huì)創(chuàng)造。未來(lái)沒有固定答案，但當(dāng)擁有思考力、學(xué)習(xí)力、實(shí)踐力、創(chuàng)造力時(shí)，就擁有了適應(yīng)、改造未來(lái)的普適性底層能力。所以，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)局限于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還應(yīng)觀照學(xué)生人生成長(zhǎng)?！把炊鴮W(xué)”提出的循成長(zhǎng)邏輯而學(xué)、循適應(yīng)未來(lái)而學(xué)便是對(duì)此的回應(yīng)。

（三）回歸人的完整與幸福生活：從數(shù)學(xué)教學(xué)走向數(shù)學(xué)育人

數(shù)學(xué)教育不僅應(yīng)關(guān)注育智，也要關(guān)注育人，不僅要奠基未來(lái)幸福生活，也應(yīng)觀照當(dāng)下學(xué)生的健康成長(zhǎng)與幸福生活。數(shù)學(xué)源于生活，也服務(wù)于生活。離開生活的數(shù)學(xué)是無(wú)用的，拋棄生活的數(shù)學(xué)也是乏味的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程本身也是一個(gè)不斷內(nèi)化與外化、輸出與應(yīng)用的過(guò)程。所以小學(xué)數(shù)學(xué)教育要特別關(guān)注與生活的融通讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)解決真實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的持久興趣，關(guān)注學(xué)生積極向上生活態(tài)度的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生效能感、成就感、幸福感等積極情感的累積。讓他們通過(guò)有溫度、有情感的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，從小熱愛生活、熱愛生命、熱愛世界，樹立自信，期待未來(lái)；從小培養(yǎng)良好的習(xí)慣，涵養(yǎng)良好的品格，養(yǎng)成科學(xué)精神，助力完整的生命成長(zhǎng)與幸福生活?！把炊鴮W(xué)”也關(guān)注循完整與幸福生活的邏輯而學(xué)［3］。

綜上，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向人生成長(zhǎng)，從人生成長(zhǎng)走向完整且幸福的生活，是一切學(xué)科學(xué)習(xí)的基本“源”與“流”，是系列內(nèi)化與外化、專與博、立己與達(dá)人、出發(fā)與歸宿、基礎(chǔ)與發(fā)展，是自然生長(zhǎng)、生發(fā)、生態(tài)過(guò)程，是學(xué)科育人的“源”態(tài)。所以破解數(shù)學(xué)教育三大難題的關(guān)鍵在于厘清數(shù)學(xué)自身發(fā)展源流，循著學(xué)科發(fā)展之源、人生成長(zhǎng)之源、生存生活之源而學(xué)習(xí)，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)育人。

二、“循源而學(xué)”的理論結(jié)構(gòu)

循源而學(xué)指循著本源、循著邏輯、循著通理、循著規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)，進(jìn)而看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)。其理論結(jié)構(gòu)的核心為“三循而學(xué)”。

（一）循數(shù)學(xué)發(fā)展之源而學(xué)

循數(shù)學(xué)發(fā)展之源而學(xué)就是循著數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的邏輯而學(xué)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?？茖W(xué)最顯著的特征便是有成體系的知識(shí)。知識(shí)是人們?cè)诟脑焓澜绲膶?shí)踐中所獲得的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的總和。認(rèn)識(shí)是人腦對(duì)客觀世界的反映。

數(shù)學(xué)知識(shí)就是人腦對(duì)客觀世界中的事物從數(shù)學(xué)方面的屬性進(jìn)行反映，并通過(guò)改造，形成規(guī)范的符號(hào)或概念表達(dá)。數(shù)學(xué)知識(shí)何以產(chǎn)生和發(fā)展，就是要探析為什么人腦要反映與能反映。梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)生活中，人們發(fā)現(xiàn)與提出了一些問(wèn)題，如今天的羊是不是都回到了羊圈里。需要對(duì)羊從數(shù)量多少這一屬性進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)反映，數(shù)量多少可以數(shù)一數(shù)，后產(chǎn)生了數(shù)。數(shù)產(chǎn)生后，自然就要深入研究各種數(shù)有什么性質(zhì)。數(shù)量與數(shù)量之間還會(huì)發(fā)生關(guān)系，兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系有大小、倍比關(guān)系等。數(shù)量還會(huì)發(fā)生變化，與其他數(shù)量合起來(lái)，就會(huì)得到一個(gè)新的數(shù)量?？梢杂眉臃ㄟ\(yùn)算來(lái)表示合起來(lái)的過(guò)程。計(jì)算出結(jié)果就產(chǎn)生了算式，表示合起來(lái)的過(guò)程與結(jié)果。算式不僅表示過(guò)程與結(jié)果，多個(gè)具體的算式抽象就成了部分量、部分量與合起來(lái)的數(shù)量的固定關(guān)系。算式從表達(dá)過(guò)程與結(jié)果走向表達(dá)數(shù)量關(guān)系。運(yùn)用數(shù)量關(guān)系就可以解決生活中的問(wèn)題。以此類推，產(chǎn)生減法、乘法、除法運(yùn)算。這些新的知識(shí)又成為新的“經(jīng)驗(yàn)”，助力學(xué)生反映與規(guī)范表達(dá)?？梢姟皵?shù)數(shù)、數(shù)的意義與讀寫、數(shù)的性質(zhì)、兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系、數(shù)量變化與運(yùn)算、算式、多個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系、解決問(wèn)題”是所有學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算主題內(nèi)容時(shí)都要經(jīng)歷的認(rèn)知過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)解決了數(shù)羊數(shù)量的問(wèn)題，但隨著生活的變化，又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題。如此循環(huán)往復(fù)，數(shù)學(xué)知識(shí)則不斷產(chǎn)生、關(guān)聯(lián)、發(fā)展。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的復(fù)演。復(fù)演非完全像專家一樣創(chuàng)造新知識(shí)，更多是習(xí)得已有數(shù)學(xué)知識(shí)。加之學(xué)生非“專家”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程則非純粹的數(shù)學(xué)研究過(guò)程，需要學(xué)生具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)（“四基”）經(jīng)驗(yàn)，并具備一定的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題能力，以此為主觀反映提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。同時(shí)，還要不斷累積興趣、信心、科學(xué)精神、良好習(xí)慣，以便驅(qū)動(dòng)下一次學(xué)習(xí)［4］。

所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本源與邏輯、通理與規(guī)律是以問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決為主線，以知識(shí)學(xué)習(xí)為主載體，以“四心向”“四基”和“三會(huì)”素養(yǎng)為基礎(chǔ)，推動(dòng)問(wèn)題解決與新問(wèn)題產(chǎn)生，推動(dòng)數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用，在此過(guò)程中，又進(jìn)一步獲得“四基”，提升“四心向”，發(fā)展“三會(huì)”素養(yǎng)，循環(huán)往復(fù)，螺旋上升（詳見圖1）。

可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在豐富原型知識(shí)（經(jīng)驗(yàn)型知識(shí)），構(gòu)建原生知識(shí)（如“數(shù)”）與衍生知識(shí)（如乘法由加法變來(lái)）結(jié)構(gòu)體系，不斷累積“四心向”，獲得“四基”，提升“四能”，這些發(fā)展又成為下一次新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如此螺旋上升，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

（二）循人生成長(zhǎng)之源而學(xué)

循數(shù)學(xué)發(fā)展之源而學(xué)能順藤摸瓜，直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)，每一節(jié)課都讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是如何產(chǎn)生的、發(fā)展的、關(guān)聯(lián)一體的，也能看到一類主題內(nèi)在的一致性與認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如此，學(xué)生便能看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)。但若僅停留在“四心向”“四基”上，學(xué)生只是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，還未成為一個(gè)數(shù)學(xué)建構(gòu)者、創(chuàng)造者，也未成為一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用者、實(shí)踐者，所以需要從關(guān)注會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)拓展到更好成長(zhǎng)上去。人生成長(zhǎng)一方面需要關(guān)涉學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，另一方面也需要為學(xué)生未來(lái)奠基，也就是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓他們從小會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)做事、會(huì)創(chuàng)造。首先，應(yīng)看到“三會(huì)”素養(yǎng)既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后的結(jié)果與發(fā)展。如數(shù)感，在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序；能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷；能初步體會(huì)并表達(dá)事物蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí)感受到數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象表達(dá)，數(shù)是多少個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)。后面再學(xué)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)，學(xué)生就能基于初步形成的數(shù)感更好地理解它們的意義，然后又提升了數(shù)感的發(fā)展水平。其次，數(shù)學(xué)教育中，還要充分、適切、合理挖掘該知識(shí)載體是否還可以培養(yǎng)其他核心素養(yǎng)。如人教版三“毫米的認(rèn)識(shí)”一課，可引用“英國(guó)1毫米航空事故”的素材，讓學(xué)生感悟“差之毫厘失之千里”的精益求精的科學(xué)精神，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感?？傊?，要以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為載體，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而感悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的一致性，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通理通法，從小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)做事、學(xué)會(huì)創(chuàng)造。

（三）循生存生活之源而學(xué)

數(shù)學(xué)育人是一個(gè)由內(nèi)及外、立己達(dá)人，從基礎(chǔ)到拓展的自然生長(zhǎng)、生發(fā)、生態(tài)過(guò)程。一方面，數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活；另一方面，學(xué)通數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)、最終是為了用好數(shù)學(xué)，過(guò)一種完整、健康、向上、富足、幸福的生活。生活既指當(dāng)下的兒童生活，也指未來(lái)的成人生活。馬克思認(rèn)為，人的生存與生活本質(zhì)是主體對(duì)自我、自然、社會(huì)與精神的系列價(jià)值的認(rèn)識(shí)、改造與審美活動(dòng)。由此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還應(yīng)促進(jìn)學(xué)生的完整生活、幸福生活，注重引導(dǎo)學(xué)生從小樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還要讓學(xué)生“親自下田”去實(shí)踐、去應(yīng)用、去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，去改造這個(gè)世界；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還應(yīng)讓學(xué)生累積積極的生活情感與態(tài)度，熱愛生活、熱愛生命、熱愛世界；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還應(yīng)適當(dāng)滲透審美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、一致美、嚴(yán)謹(jǐn)美、精確美等，感受數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言在生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、文化、科技、生活的聯(lián)系，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。

綜上，循數(shù)學(xué)發(fā)展之源而學(xué)旨在提升學(xué)習(xí)力，看見數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)通數(shù)學(xué)；循人生成長(zhǎng)之源而學(xué)旨在知一識(shí)百、舉一反三，會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)做事、會(huì)創(chuàng)造，學(xué)好數(shù)學(xué)，提升可遷移理解力；循生存生活之源而學(xué)則關(guān)注學(xué)生的完整生命成長(zhǎng)與幸福生活，用好數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，進(jìn)而愛上數(shù)學(xué)?！把奔仁翘綄ぁl(fā)現(xiàn)、遵循，也是數(shù)學(xué)教育的策略、原則與方法。第一，情境與問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)器與主線。第二，體驗(yàn)與實(shí)踐（經(jīng)驗(yàn)反映與規(guī)范表達(dá)的生活基礎(chǔ)）是基本的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在玩中學(xué)、做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)。第三，關(guān)聯(lián)與綜合是基本方法論，通過(guò)前后關(guān)聯(lián)，喚醒原型知識(shí)、原生知識(shí)、衍生知識(shí)，打通知識(shí)之間的壁壘，自動(dòng)溝通，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，學(xué)通數(shù)學(xué)。通過(guò)綜合，優(yōu)化思維工具，豐富經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，將其他學(xué)科、文化、科技、生活的最新發(fā)展主動(dòng)關(guān)涉、納入、拿來(lái)，助力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。第四，拓展與長(zhǎng)程是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開放生態(tài)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不要“閉關(guān)鎖國(guó)”，而要“主動(dòng)開放”，讓學(xué)生自然地進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)（如數(shù)學(xué)文化、生活中的數(shù)學(xué)、聯(lián)想同類前后相關(guān)主題的學(xué)習(xí)）與長(zhǎng)程延學(xué)、深度學(xué)。第五，最后如何檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，唯有通過(guò)系列創(chuàng)造與成長(zhǎng)予以評(píng)測(cè)，同時(shí)創(chuàng)造與成長(zhǎng)也是學(xué)習(xí)的結(jié)果與終極歸宿。所以，“情境與問(wèn)題、體驗(yàn)與實(shí)踐、關(guān)聯(lián)與綜合、拓展與長(zhǎng)程、創(chuàng)造與成長(zhǎng)”是循源而學(xué)的五大設(shè)計(jì)與實(shí)施要義①（詳見圖2）。

三、“循源而學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐：以“比的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例

比的認(rèn)識(shí)重在理解比的意義。比的本源意義是表示同類量間的倍數(shù)關(guān)系，基于本源意義表示倍數(shù)關(guān)系，兩個(gè)不同類量相比還衍生出了“產(chǎn)生新量”的“流”意義。本課重在溯本清源，厘清“源”與“流”的具象意義。其中“源”的意義是重點(diǎn)，“流”的意義是難點(diǎn)［5］。結(jié)合學(xué)情，將本課的教學(xué)目標(biāo)確定如下：第一，理解比的意義，能正確讀和寫比，知道比各部分的名稱，會(huì)求比值，理解比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系;第二，經(jīng)歷從具體情境中抽象出比的過(guò)程，通過(guò)觀察、思考，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)變與不變的數(shù)學(xué)思想;第三，能利用比的知識(shí)解釋與解決一些簡(jiǎn)單的生活問(wèn)題，感受比在生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感、符號(hào)意識(shí)與推理意識(shí)。下面基于循源而學(xué)的五大設(shè)計(jì)與實(shí)施要義，具體闡釋本課的教學(xué)設(shè)計(jì)。

（一）情境與問(wèn)題：驅(qū)動(dòng)器與主線

學(xué)習(xí)首先要驅(qū)動(dòng)學(xué)生行為參與、思維參與、情感參與，在具體情境中以大問(wèn)題貫通，小問(wèn)題串聯(lián)的教學(xué)設(shè)計(jì)可以充分激發(fā)學(xué)生的探究欲，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生。小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的情境包括數(shù)學(xué)情境、生活情境、科技情境、社會(huì)情境等。常見的問(wèn)題引出方式有提問(wèn)、追問(wèn)、反問(wèn)、互問(wèn)等。

本課始終以中華美食系列素材與大問(wèn)題“比的意義”貫通，以系列小問(wèn)題串聯(lián)整個(gè)學(xué)習(xí)。如開課時(shí)，教師設(shè)置了中華美食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的情境，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己喜歡吃哪些美食，迅速地拉近了師生距離，也引出了研究素材重慶小面，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）體驗(yàn)與實(shí)踐：學(xué)習(xí)方式

本課以自主探索性實(shí)踐為主，先后設(shè)計(jì)了4個(gè)大的體驗(yàn)與實(shí)踐環(huán)節(jié)：第一，通過(guò)和面，在變與不變中初步理解比的本源意義表示同類量之間的倍數(shù)關(guān)系；第二，對(duì)比國(guó)旗長(zhǎng)寬之比與足球比分，在辨析中深化理解比的本源意義；第三，緊接著和面，引出吃小面，通過(guò)總價(jià)與數(shù)量、路程與時(shí)間的比，理解比的衍生意義，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的非同類量相比，產(chǎn)生新的量；第四，自學(xué)感悟比的抽象意義表示兩個(gè)數(shù)相除。如：第一個(gè)環(huán)節(jié)，開篇教師提問(wèn)，要做好一碗重慶小面，最重要的是什么？學(xué)生可能說(shuō)是面。教師追問(wèn)，讓你來(lái)和面，面粉放多少克，水呢？學(xué)生隨意列舉，教師引出程師傅的經(jīng)驗(yàn)——面粉200克，水100克。教師進(jìn)一步追問(wèn)，按程師傅的經(jīng)驗(yàn)，面粉還可以放多少克，水呢？學(xué)生列舉，發(fā)現(xiàn)可以簡(jiǎn)潔說(shuō)成面粉是水的2倍或水是面粉的1/2，教師引導(dǎo)還可以用2 ∶ 1來(lái)表示。用比來(lái)表示數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系更簡(jiǎn)潔、更直觀。這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生充分體驗(yàn)與實(shí)踐，學(xué)生感受到面粉和水可以同向變化，但它們之間的倍數(shù)關(guān)系始終不變，2 ∶ 1是數(shù)量間倍數(shù)關(guān)系表征的又一次升級(jí)，進(jìn)而建立清晰的比的意義的表象。

（三）關(guān)聯(lián)與綜合：方法論

關(guān)聯(lián)指學(xué)習(xí)過(guò)程中要不斷新舊溝通、前后聯(lián)系、左右融匯，找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通理、通法、通性，基于本質(zhì)感悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的一致性；還指在學(xué)習(xí)新課后，要及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，建立清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而學(xué)通數(shù)學(xué)。綜合則是主動(dòng)溝通數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與廣域世界萬(wàn)事萬(wàn)物的關(guān)系，多開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，多應(yīng)用其他學(xué)科、其他領(lǐng)域的知識(shí)、思想與方法幫助我們分析與解決問(wèn)題，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供參考與經(jīng)驗(yàn)、智慧與營(yíng)養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

本課在新課學(xué)習(xí)的第二個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)比國(guó)旗長(zhǎng)寬之比與足球比分，在辨析中深化理解比的本源意義時(shí)，教師呈現(xiàn)視頻足球比分變化的隨機(jī)性，非呈倍數(shù)變化，借助這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生立刻就明白足球比分表示的是兩個(gè)隊(duì)進(jìn)球的具體個(gè)數(shù)，不是今天數(shù)學(xué)里所學(xué)的比。在第三個(gè)環(huán)節(jié)，緊接著和面，引出吃小面，通過(guò)總價(jià)與數(shù)量、路程與時(shí)間的比理解比的衍生意義。出示吃面情境，14元買2碗小面，讓學(xué)生寫比。學(xué)生基于同類量的比表示倍數(shù)關(guān)系，有的認(rèn)為不能寫成比，有的則認(rèn)為可以，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)量是同向變化，總價(jià)增加、數(shù)量也增加，但單價(jià)不變，具有倍數(shù)關(guān)系的特征，所以可以寫成比。這就是利用剛學(xué)習(xí)的比表示倍數(shù)關(guān)系的特征——前后項(xiàng)具體數(shù)量可以變，但比值（倍數(shù)關(guān)系）始終不變，進(jìn)行了類比遷移與推理。所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)就是不斷轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)進(jìn)行理解，也就是關(guān)聯(lián)已有經(jīng)驗(yàn)與舊知識(shí)，綜合各種經(jīng)驗(yàn)與方法進(jìn)行建構(gòu)。

（四）拓展與長(zhǎng)程：開放生態(tài)

拓展指橫向的延伸，促進(jìn)學(xué)生由此及彼、由點(diǎn)線及面體、由數(shù)學(xué)到生活（如生活中的數(shù)學(xué)）的思考，以此拓寬視野，活化知識(shí)。長(zhǎng)程指在學(xué)習(xí)過(guò)程中，自然生成的由表及里（深究）、由當(dāng)下到過(guò)去與未來(lái)（如數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)歷史等）、由延學(xué)（生發(fā)的新問(wèn)題、新主題學(xué)習(xí)）到長(zhǎng)學(xué)（對(duì)該主題進(jìn)行長(zhǎng)程研究甚至終身研究）的學(xué)習(xí)樣態(tài)，進(jìn)而激發(fā)探究欲，打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)，涵養(yǎng)科學(xué)精神，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力。不管是橫向的拓展還是縱向的延伸，它們的共同點(diǎn)是學(xué)習(xí)進(jìn)程中的自然延展、左右兼顧、承上啟下，將一節(jié)課的學(xué)習(xí)自然打開。

在新課4個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束后，追問(wèn)學(xué)生，比的意義簡(jiǎn)不簡(jiǎn)單，學(xué)生回答簡(jiǎn)單。教師順勢(shì)引出，數(shù)學(xué)家對(duì)比的研究不簡(jiǎn)單，出示比的研究歷程的微視頻，拓寬了學(xué)生的視野，厘清了比的產(chǎn)生發(fā)展歷程，也激活了學(xué)生的民族自豪感，涵養(yǎng)了科學(xué)精神，從數(shù)學(xué)教學(xué)走向了數(shù)學(xué)育人，真正讓課堂成為立德樹人的主陣地、主渠道。

（五）創(chuàng)造與成長(zhǎng)：結(jié)果、歸宿與素養(yǎng)評(píng)測(cè)

創(chuàng)造的本質(zhì)就是在繼承中發(fā)展，并非無(wú)中生有。同樣的創(chuàng)造也有很多層次，新知建構(gòu)、練習(xí)應(yīng)用、作品生成、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律等都是創(chuàng)造。成長(zhǎng)主要指核心素養(yǎng)的發(fā)展，集中表現(xiàn)為會(huì)學(xué)、會(huì)做、會(huì)創(chuàng)造、會(huì)生活。所以，創(chuàng)造與成長(zhǎng)是廣義上的學(xué)習(xí)結(jié)果、成長(zhǎng)表現(xiàn)，也是一節(jié)課的目標(biāo)指向，以及目標(biāo)達(dá)成與否的重要評(píng)測(cè)指標(biāo)。

本節(jié)課設(shè)置了3個(gè)層次的練習(xí)，最后讓學(xué)生用自己喜歡的方式來(lái)總結(jié)這節(jié)課的所學(xué)、所思、所惑以及還存在的問(wèn)題，就是通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、任務(wù)完成、作品創(chuàng)造來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)得怎么樣，成長(zhǎng)得如何。第一個(gè)練習(xí)緊接美食，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)北京烤鴨中蛋白質(zhì)、脂肪等含量一覽表來(lái)寫比，進(jìn)一步內(nèi)化比的意義，也讓學(xué)生感受比的有序性。第二個(gè)練習(xí)是三杯蜂蜜水，可以通過(guò)比值來(lái)判斷哪一杯最甜，鞏固了比值的意義，感受比的度量?jī)r(jià)值。第三個(gè)練習(xí)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)生活中還在哪些地方見到過(guò)比，再出示“生活中的比”微視頻，進(jìn)一步感受比可以直觀反映數(shù)量多少，具有度量?jī)r(jià)值，可以成為一種標(biāo)準(zhǔn)，以拓展比的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的延學(xué)探究。最后讓學(xué)生通過(guò)自己喜歡的方式來(lái)表達(dá)自己的所學(xué)所思，本質(zhì)上就是一種內(nèi)化后的外化創(chuàng)造。

注釋：

①五大設(shè)計(jì)與實(shí)施要義：是本質(zhì)概括、是目標(biāo)導(dǎo)向、是原則遵循、是要素把握、是環(huán)節(jié)參考，其特點(diǎn)為由外及內(nèi)與由表及里的深度學(xué)習(xí)、玩做用創(chuàng)結(jié)合的實(shí)踐學(xué)習(xí)、文化生活泛在學(xué)習(xí)、前中后長(zhǎng)程學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：1.

［2］李方紅.互生教育理論芻論［J］.教學(xué)研究，2021（05）：20-25.

［3］李方紅.融合教育生態(tài)下的學(xué)習(xí)變革：互生學(xué)習(xí)芻論［J］.教學(xué)研究，2022（06）：15-21.

［4］李方紅.讓數(shù)學(xué)化真正發(fā)生：“和真數(shù)學(xué)”教學(xué)理念與實(shí)踐探索［J］.現(xiàn)代教育科學(xué)，2019（11）：86-92.

［5］李方紅，黨心池.“比的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（17）：44-46.

（責(zé)任編輯：姜佳宏）

Primary School Mathematics Teaching from the Perspective of

“Learning from the Source” Theory：Seeing Mathematics， Understanding Mathematics，

Mastering Mathematics and Making Good Use of Mathematics

LI Fanghong

（Bashu Primary School in Chongqing City， Chongqing 400013，China）

Abstract： ??How to enhance the interest of primary school students in learning mathematics， enhance their mathematical learning ability， and appreciate the value of mathematics are the three major unresolved problems in current primary school mathematics education. The solution lies in letting students see mathematics， understand mathematics， master mathematics， learn mathematics well， make good use of mathematics， and fall in love with mathematics. The concept of “l(fā)earning from the source” has emerged. It advocates learning along the “source” and “flow” of mathematics's emergence， development， and application， the core cotent includa learning from the source of mathematical development， learning from the source of personal growth， and learning from the source of survival and life. The concept of “l(fā)earning by following the three principles” reflects the transition from mathematical learning to personal growth， and from personal growth to a complete life. This is the fundamental “source” and “flow” of all subject learning， and it is a natural growth， development， and ecological process that involves a series of internalization and externalization， specialization and erudition， self-improvement and mastery， starting and destination， foundation and development. The five design and implementation principles of “l(fā)earning from the source” are “context and problems， experience and practice， correlation and synthesis， expansion and long-term development， and creation and growth”.

Key words： ??learn from the source; seeing mathematics; understand mathematics; learn to master mathematics; make good use of mathematics