樓面荷載作用下圓弧形曲梁內(nèi)力

摘要：采用數(shù)學(xué)分析方法得出樓面均布荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。然后通過(guò)積分方法推導(dǎo)出單跨圓弧形曲梁典型部位上的剪力、扭矩和彎矩。進(jìn)一步運(yùn)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求出圓弧形曲梁彎矩傳遞系數(shù)，利用分層總和法計(jì)算包含圓弧形曲梁和直梁的框架在豎向荷載作用下梁柱端部?jī)?nèi)力。算例分析表明采用上述方法計(jì)算出的梁柱內(nèi)力符合工程精度要求。

關(guān)鍵詞：圓弧形曲梁； 框架結(jié)構(gòu)； 樓面荷載； 彎矩傳遞系數(shù)； 分層總和法

中圖分類(lèi)號(hào)：TU323.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

對(duì)框架結(jié)構(gòu)的建筑，設(shè)計(jì)人員通常希望結(jié)構(gòu)體系比較規(guī)則，開(kāi)間和進(jìn)深相等的等跨結(jié)構(gòu)體系經(jīng)常采用。但是，有時(shí)為追求美觀，轉(zhuǎn)角處一般做成弧形。在盡量不改變?cè)薪Y(jié)構(gòu)體系的條件下，通常去掉一個(gè)角柱，將原本與該角柱相連的兩根柱子直接用圓弧形曲梁連接。如果曲梁跨度不大，則中間一般不再另設(shè)柱子。于是，便形成如圖1所示的結(jié)構(gòu)體系。

此類(lèi)結(jié)構(gòu)形式總體比較規(guī)則，符合抗震的要求，但轉(zhuǎn)角處的梁和柱內(nèi)力計(jì)算卻比較復(fù)雜。到目前為止，現(xiàn)行建筑結(jié)構(gòu)計(jì)算手冊(cè)缺乏該種結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算公式，給結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來(lái)一定困難。設(shè)計(jì)人員要么仍按規(guī)則結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行計(jì)算，要么憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估算，或借助結(jié)構(gòu)分析軟件進(jìn)行分析，而沒(méi)有一種相對(duì)簡(jiǎn)便的理論計(jì)算方法。

關(guān)于曲梁內(nèi)力的計(jì)算，很多業(yè)內(nèi)人士進(jìn)行了研究。程翔云等［1］提出了一種在均布線荷載作用下將曲梁轉(zhuǎn)化為直梁的算法，徐皖生等［2］探討了不等跨連續(xù)曲梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，任宜春［3］、董新梅等［4］討論了帶直梁段的單跨圓弧形曲梁在垂直荷載作用下的內(nèi)力，蔣純志等［5］將傳遞函數(shù)方法運(yùn)用于單跨曲梁的內(nèi)力和變形計(jì)算。葉康生［6］、王佳佳等［7］深入分析了曲梁在彎曲平面內(nèi)的受力問(wèn)題。劉志等［8］采用多種有限元軟件對(duì)某混凝土弧形梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了受力分析。由于樓面?zhèn)鬟f到曲梁上的荷載十分不規(guī)則，造成曲梁內(nèi)力狀態(tài)相對(duì)復(fù)雜，迄今為止，關(guān)于樓面荷載作用下框架結(jié)構(gòu)中圓弧形曲梁的內(nèi)力還沒(méi)有人研究。本文通過(guò)數(shù)學(xué)和力學(xué)推導(dǎo)，給出一種樓面荷載作用下圓弧形曲梁內(nèi)力的計(jì)算方法，以供參考。

1曲梁荷載分布

要計(jì)算圓弧形曲梁的內(nèi)力，首先應(yīng)計(jì)算樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布。樓面?zhèn)鬟f到圓弧形曲梁上的荷載，既不是集中力，也不是均布荷載，須通過(guò)數(shù)學(xué)分析確定其分布函數(shù)。取圖2所示的梁板單元進(jìn)行分析。

樓面荷載通常簡(jiǎn)化為均布面荷載，設(shè)其大小為q，直梁長(zhǎng)為l。建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系。根據(jù)樓面荷載沿最短路線傳遞到梁上的原則［9］，可以大致確定樓面荷載傳遞的分區(qū)曲線如圖3所示。

直線1的方程為式（1）。

y=x（1）

設(shè)曲線3的方程為式（2）。

y=f（x）（2）

在曲線上任取一點(diǎn)（x，y），根據(jù)樓面苛載的傳遞規(guī)則可得如式（3）。

l-x2+y2=y（3）

由上式可得出該曲線的方程為式（4）。

y=l2-x22l（4）

同理可得曲線2的方程為式（5）。

y=l2-2lx（5）

設(shè)曲梁上任一點(diǎn)與原點(diǎn)之連線與x軸夾角為θ，則該直線方程為式（6）。

y=tanθ·x（6）

為求解上述直線與曲線3的交點(diǎn)，將上式變形后代入方程（4）中得式（7）。

y=l2-12lcot2θ·y2（7）

求解上述方程得式（8）。

y=cot2θ+1-1cot2θl（8）

進(jìn)而可得曲梁靠近x軸半段各點(diǎn)的線荷載密度p為式（9）。

p=cot2θ+1-1cot2θql，θ∈0，π4（9）

上式變形后得式（10）。

p=sinθcos2θ+1-1cos2θql，θ∈0，π4（10）

相應(yīng)可得出曲梁靠近y軸半段各點(diǎn)的線荷載密度見(jiàn)式（11）。

p=cosθsin2θ+1-1sin2θql，θ∈π4，π2（11）

2樓面荷載作用下曲梁內(nèi)力

求出了樓面荷載在梁上的分布之后，則可以進(jìn)一步求出相關(guān)構(gòu)件的內(nèi)力。內(nèi)力計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4所示。

2.1曲梁端部剪力

作為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，在小變形的情況下，曲梁兩端的軸力可忽略不計(jì)，剪力、彎矩和扭矩大小相等。采用積分法計(jì)算曲梁端部剪力V時(shí)，可取半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，見(jiàn)式（12）。

V=∫π2π4pldθ=π4+2-2ql2（12）

2.2曲梁端部扭矩

在框架結(jié)構(gòu)中，直梁的扭矩通常忽略不計(jì)。但是對(duì)曲梁而言，扭矩的值相對(duì)較大，不可忽略。同樣取半結(jié)構(gòu)，采用積分方法計(jì)算分析曲梁端部扭矩T，見(jiàn)式（13）。

工程結(jié)構(gòu)潘樹(shù)華： 樓面荷載作用下圓弧形曲梁內(nèi)力

T=∫π2π4pl（1-sinθ）ldθ=π4+22-2+ln1+22ql3（13）

2.3曲梁端部彎矩

曲梁的彎矩也沒(méi)有統(tǒng)一的計(jì)算公式，須采用積分方法進(jìn)行計(jì)算。同樣取半結(jié)構(gòu)計(jì)算曲梁端部彎矩M，見(jiàn)式（14）。

M=∫π2π4plcosθldθ=3-322-π4ql3（14）

3彎矩傳遞系數(shù)

計(jì)算豎向荷載作用下框架結(jié)構(gòu)梁柱的內(nèi)力，通常采用分層總和法［9］，須計(jì)算梁柱的彎矩傳遞系數(shù)。對(duì)于直梁和柱，彎矩傳遞系數(shù)容易確定。對(duì)于曲梁的彎矩傳遞系數(shù)，須采用結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方法進(jìn)行具體研究［10］。

研究曲梁的彎矩傳遞系數(shù)，應(yīng)選取整個(gè)曲梁進(jìn)行分析，并假設(shè)曲梁兩端均不能抵抗彎矩，只能抵抗扭矩和剪力。

首先求曲梁在荷載作用下的支反力。解除右側(cè)的抗扭約束，代之以扭矩Tr，取曲梁任一點(diǎn)右側(cè)截面進(jìn)行分析，基本體系及其受力圖如圖5所示。

如圖5左圖所示，在曲梁內(nèi)任一點(diǎn)，由左邊的彎矩Ml導(dǎo)致的彎矩和扭矩分別為式（15）。

ml=Mlsinθ

tl=Ml（1-cosθ）（15）

如圖5右圖所示，在曲梁內(nèi)任一點(diǎn)，由右邊的扭矩所導(dǎo)致的彎矩和扭矩分別為式（16）。

mr=0

tr=-Tr（16）

綜合采用疊加法和單位荷載法［11］，可求出曲梁右端的的扭轉(zhuǎn)角φ見(jiàn)式（17）。

φ=∫π20Ml（1-cosθ）ldθ-∫π20TrldθGIP=π2-1Mll-π2TrlGIP（17）

式中：GIP為圓弧形曲梁的抗扭剛度，單位（kN·m2）。

根據(jù)曲梁右端的位移協(xié)調(diào)條件見(jiàn)式（18）。

φ=0（18）

聯(lián)解上述兩式可得式（19）。

Tr=1-2πMl（19）

求出曲梁在彎矩Ml作用下右端的扭矩之后，便可進(jìn)一步利用疊加法求出曲梁在彎矩作用下左右兩端的轉(zhuǎn)角。

在曲梁左端作用一單位彎矩，則在曲梁內(nèi)任一點(diǎn)所產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為式（20）。

m=sinθ

t=2π-cosθ（20）

進(jìn)而可求出曲梁左端的轉(zhuǎn)角為式（21）。

φl(shuí)=MlEI∫π20sin2θldθ+MlGIP∫π202π-cosθ2ldθ

=π4EI+π2－84πGIPMll（21）

式中：EI為圓弧形曲梁的抗彎剛度，單位（kN·m2）。

若在曲梁右端作用一單位彎矩，采用同樣的方法，可求得在曲梁內(nèi)任一點(diǎn)所產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為式（22）。

m=cosθ

t=sinθ-2π（22）

進(jìn)而可求出曲梁右端的轉(zhuǎn)角為式（23）。

φr=MlEI∫π20sinθcosθldθ+MlGIP∫π20Ml2π-cosθsinθ-2πl(wèi)dθ

=12EI+4-π2πGIPMll（23）

框架結(jié)構(gòu)中，直梁彎矩傳遞系數(shù)為兩端簡(jiǎn)支梁一端受彎矩作用時(shí)，不受力端和受力端所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角之比。據(jù)此，可求出圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數(shù)k：

k=φrφl(shuí)（24）

4算例分析

某3層框架結(jié)構(gòu)平面布置如圖1所示。底層層高為4 500 mm，二、三層層高均為3600 mm。直梁長(zhǎng)度全部為6 000 mm。柱截面尺寸均為400 mm×400 mm，直梁、曲梁截面尺寸均為250 mm×600 mm。一、二層恒載為3.0 kN/m2，三層恒載為6.0 kN/m2。

計(jì)算出底層柱的線剛度為4.74×105E，二、三層柱的線剛度5.93×105E，直梁的線剛度為7.5×105E。

對(duì)于框架梁而言，線剛度可理解為懸壁梁自由端受集中力作用時(shí)，固定端彎矩與自由端轉(zhuǎn)角2倍的比值［12］。據(jù)此，求出圓弧形曲梁的線剛度為3.53×105E。

對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)，G取0.43E，可算出梁的抗扭剛度GIP為0.50EI。

將以上參數(shù)代入上述公式中，便可運(yùn)用分層總和法計(jì)算該框架結(jié)構(gòu)在樓面恒載作用下各梁端的彎矩MJ。在對(duì)該框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行手算的同時(shí)，采用PKPM軟件中的TAT—8模塊計(jì)算出該框架結(jié)構(gòu)在樓面荷載作用下的梁端彎矩MP。此處僅取曲梁端部和緊靠曲梁受影響比較大的直梁端部（如圖1中1、2、3、4四點(diǎn)）的彎矩進(jìn)行比較，計(jì)算及比較結(jié)果如表1、表2和表3所示。

從以上計(jì)算結(jié)果可以看出，采用前述計(jì)算方法得出的梁端彎矩與采用PKPM軟件得出的梁端彎矩之間的最大誤差不超過(guò)10%，與分層總和法本身的誤差處于同一水平，滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)工程的精度要求。

5結(jié)論

（1）基于樓面荷載分布原則，通過(guò)數(shù)學(xué)分析，得出了樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。

（2）得出了單跨圓弧形曲梁在樓面荷載作用下梁端剪力、扭矩及彎矩的計(jì)算公式。

（3）得出了采用分層總和法計(jì)算框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數(shù)。

（4）在工程設(shè)計(jì)過(guò)程中，對(duì)樓面荷載作用下的曲梁內(nèi)力，設(shè)計(jì)人員要么憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估算，要么借助于結(jié)構(gòu)分析軟件進(jìn)行分析。本文給出了一種簡(jiǎn)化的理論計(jì)算方法，算例分析表明，其結(jié)果誤差和分層總和法的誤差處于同一水平，滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)工程精度要求。

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［作者簡(jiǎn)介］潘樹(shù)華（1982—），男，碩士，審計(jì)師，從事建筑結(jié)構(gòu)、工程審計(jì)等方面的工作和研究。