基于模型預(yù)測(cè)和轉(zhuǎn)角補(bǔ)償?shù)闹悄芷嚀Q道軌跡跟蹤控制算法

李勝琴 邢佳祁

DOI： 10.3969/j.issn.1671-7775.2024.03.001

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

摘要： 為了提高自動(dòng)駕駛跟蹤過程中路徑跟蹤的精確性和車輛的操縱穩(wěn)定性，提出了一種基于模型預(yù)測(cè)控制原理并結(jié)合轉(zhuǎn)角補(bǔ)償?shù)能壽E跟蹤控制方法.將整體控制結(jié)構(gòu)分為上下兩層：上層為軌跡跟蹤控制層，根據(jù)獲得的道路信息及車輛行駛狀態(tài)，利用模型預(yù)測(cè)控制算法得出車輛的前輪轉(zhuǎn)角控制量；下層采用滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)轉(zhuǎn)角補(bǔ)償器，以汽車的橫擺角速度誤差為控制目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)精確跟蹤.結(jié)果表明：與單點(diǎn)預(yù)瞄策略相比，模型預(yù)測(cè)+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償?shù)能壽E跟蹤控制策略能更好地控制車輛實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，且橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角峰值明顯降低，穩(wěn)定性更好.

關(guān)鍵詞：? 軌跡跟蹤； 模型預(yù)測(cè)控制； 轉(zhuǎn)角補(bǔ)償； 分層控制； 滑?？刂?/p>

中圖分類號(hào)： U461.6? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：? A? 文章編號(hào)：?? 1671-7775（2024）03-0249-08

引文格式：? 李勝琴，邢佳祁. 基于模型預(yù)測(cè)和轉(zhuǎn)角補(bǔ)償?shù)闹悄芷嚀Q道軌跡跟蹤控制算法［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，45（3）：249-256.

收稿日期：?? 2022-04-03

基金項(xiàng)目：? 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2572021BG01）； 黑龍江省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（JD22A014）

作者簡(jiǎn)介：?? 李勝琴（1976—），女，黑龍江哈爾濱人，教授，博士生導(dǎo)師（lishengqin@nefu.edu.cn），主要從事車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及車輛操縱穩(wěn)定性研究.

邢佳祁（1999—），男，黑龍江綏化人，碩士研究生（2727634522@qq.com），主要從事車輛操縱穩(wěn)定性控制研究.

Trajectory tracking control algorithm of lane changing for intelligent

vehicle based on model prediction and angle compensation

LI Shengqin， XING Jiaqi

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Northeast Forestry University， Harbin， Heilongjiang 150040， China）

Abstract： To improve the accuracy of path tracking and the vehicle handling stability in the process of automatic driving tracking， a trajectory tracking control method based on model predictive control principle and angle compensation was proposed. The overall control structure was divided into two layers， and the upper layer was the trajectory tracking control layer. According to the obtained road information and the driving state of the vehicle， the front wheel steering control input was determined by the model predictive control algorithm. In the lower layer， the sliding mode control theory was used to design the angle compensator， and the yaw rate deviation of the vehicle was taken as the control target? to achieve accurate tracking. The results show that compared with the single-point preview strategy， the trajectory tracking control strategy based on model prediction and angle compensation can better control the vehicle to achieve trajectory tracking， and the peak values of yaw rate and sideslip angle are significantly reduced with better stability.

Key words：? trajectory tracking; model predictive control; steering angle compensation; hierarchical control; sliding mode control

軌跡跟蹤作為智能汽車的核心技術(shù)模塊之一，近年來一直是眾多學(xué)者的研究對(duì)象.軌跡跟蹤的目的是使車輛能夠精準(zhǔn)地按照規(guī)劃路線行駛，保證跟蹤過程中路徑跟蹤的精確性和車輛的操縱穩(wěn)定性，是智能汽車軌跡跟蹤的關(guān)鍵技術(shù).

常用的軌跡跟蹤控制方法有最優(yōu)預(yù)瞄曲率控制、比例-積分-微分（proportional-integral-differential，PID）控制、滑?？刂?、模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control， MPC）和線性二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator，LQR）控制等［1-5］.許多學(xué)者在控制方法中考慮了誤差的影響，提高控制器的精準(zhǔn)性.S. MATA等［6］提出了一種基于Tube的魯棒模型預(yù)測(cè)控制方法，該控制方法考慮了目標(biāo)軌跡的側(cè)向誤差和縱向誤差.WANG H. Y.等［7］提出了一種基于模糊自適應(yīng)控制的模型預(yù)測(cè)控制器，該控制器能夠根據(jù)橫向位置誤差和航向角誤差自適應(yīng)調(diào)整代價(jià)函數(shù)的權(quán)重從而提高跟蹤精度.許多學(xué)者在模型預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究.龔建偉等［8］根據(jù)MPC理論，設(shè)計(jì)了線性時(shí)變 MPC 的軌跡跟蹤控制器、軌跡規(guī)劃算法等.P. FALCONE等［9］開發(fā)了一種用于自動(dòng)駕駛車輛極端路況下的模型預(yù)測(cè)控制器，能保證車輛更精準(zhǔn)地跟蹤參考軌跡.WANG Z. J.等［10］設(shè)計(jì)了基于平面度的模型預(yù)測(cè)控制器（flatness-based model predictive control，F(xiàn)MPC），所提出的 FMPC在自主車輛的軌跡跟蹤性能方面大大優(yōu)于經(jīng)典的線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制（linear-time-varying model predictive control，LTV-MPC）.HOU Q. S.等［11］結(jié)合強(qiáng)化學(xué)習(xí)的優(yōu)秀自學(xué)習(xí)能力，設(shè)計(jì)了一種交互式模型預(yù)測(cè)控制算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)變道軌跡的跟蹤控制.

PID控制、模糊控制、滑?？刂频瓤刂扑惴ǘ加衅涓髯缘膬?yōu)缺點(diǎn).軌跡跟蹤過程中，采用單一的控制算法難以滿足對(duì)軌跡跟蹤精度的要求，且在復(fù)雜交通環(huán)境中，動(dòng)力學(xué)約束、換道軌跡約束和車輛執(zhí)行機(jī)構(gòu)約束等都會(huì)影響軌跡跟蹤效果.基于上述分析，筆者將整體控制策略分為上下兩層： 上層采用模型預(yù)測(cè)控制原理來控制前輪轉(zhuǎn)角，進(jìn)行軌跡跟蹤控制；下層采用滑?？刂圃韥砜刂聘郊忧拜嗈D(zhuǎn)角，使智能汽車實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡跟蹤偏差的修正.

1? 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

模型預(yù)測(cè)控制基本原理如下：根據(jù)所構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型，實(shí)時(shí)采集車輛的狀態(tài)信息，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)及相應(yīng)的約束，在當(dāng)前時(shí)刻預(yù)測(cè)未來時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)信息；被控系統(tǒng)接收并執(zhí)行控制序列，同時(shí)狀態(tài)估計(jì)部分將被控系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)信息進(jìn)行觀測(cè)和估計(jì)并輸入到模型預(yù)測(cè)控制器；模型預(yù)測(cè)控制器根據(jù)獲得的被控系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，結(jié)合上一時(shí)刻的預(yù)測(cè)控制序列，并進(jìn)行逆向修正，來計(jì)算并輸出下一組控制序列.

智能汽車主動(dòng)避障過程中的軌跡已經(jīng)規(guī)劃完成，本研究?jī)H針對(duì)軌跡跟蹤的控制策略進(jìn)行研究.構(gòu)建的軌跡跟蹤分層控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中：X、Y分別為實(shí)際軌跡縱向、側(cè)向坐標(biāo)；vx、vy分別為車輛縱向和側(cè)向車速；φ為實(shí)際橫擺角；φ·為實(shí)際橫擺角速度；Xref、Yref分別為參考軌跡縱向、側(cè)向坐標(biāo)；φref為參考橫擺角；δf為前輪轉(zhuǎn)角；φ·ref為參考橫擺角速度；Δδf為前輪附加轉(zhuǎn)角；β為質(zhì)心側(cè)偏角；δfl、δfr 分別為左前輪轉(zhuǎn)角和右前輪轉(zhuǎn)角.

上層為軌跡跟蹤控制層，通過車輛自身裝載的傳感器獲得目標(biāo)道路信息，包括軌跡規(guī)劃的縱、側(cè)向坐標(biāo)和被控車輛的行駛狀態(tài)，采用MPC控制算法，計(jì)算得出被控車輛的前輪轉(zhuǎn)角控制量；下層為轉(zhuǎn)向偏差修正層，通過建立理想車輛模型，利用滑?？刂圃?，根據(jù)上層得出的前輪轉(zhuǎn)角控制量計(jì)算出期望的橫擺加速度，再利用期望橫擺角速度和實(shí)際橫擺角速度得到偏差值作為輸入，最終計(jì)算得出附加前輪轉(zhuǎn)角控制量.根據(jù)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何模型，將得出的附加前輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行轉(zhuǎn)向角分配，最終實(shí)現(xiàn)智能汽車的換道軌跡跟蹤控制.

1.1? 預(yù)測(cè)模型控制

為保證控制器的實(shí)時(shí)性，對(duì)所建立的三自由度車輛模型進(jìn)行理想假設(shè)如下： ① 車輛在平坦的路面上行駛，不考慮車輛的垂向運(yùn)動(dòng)； ② 車輛是剛體； ③ 輪胎只考慮純側(cè)偏的情況，不考慮縱側(cè)向耦合； ④ 不考慮車輛行駛時(shí)的載荷變化； ⑤ 忽略車輛行駛時(shí)的空氣動(dòng)力學(xué)因素.

基于上述理想假設(shè)，建立縱向、側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)的三自由度車輛模型如圖2所示，其中：O1xy為車輛自身坐標(biāo)系；OXY為大地坐標(biāo)系；

a、b分別為質(zhì)心到前后軸的距離；Flf、Flr分別為前后輪胎受到的縱向力；Fcf、Fcr分別為前后輪胎受到的側(cè)向力；Fxf、Fxr分別為前后輪胎受到的x方向的力；Fyf、Fyr分別為前后輪胎受到的y方向的力；vf、vlf、vcf分別為前輪速度、前輪縱向速度和前輪側(cè)向速度；αf為前輪側(cè)偏角.

進(jìn)行受力分析，得到三自由度車輛運(yùn)動(dòng)方程為

mcx··=mcy·φ·+2Fxf+2Fxr，

mcy··=-mcx·φ·+2Fyf+2Fyr，

Izφ··=2aFyf-2bFyr，（1）

式中： mc為整車的總質(zhì)量；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，z軸垂直于O1xy平面.

車輛自身坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

X·=x·cos φ-y·sin φ，

Y·=x·sin φ+y·cos φ.（2）

建立的模型為前輪轉(zhuǎn)向，不考慮后輪轉(zhuǎn)角，輪胎在x軸和y軸上的受力與地面反作用力的關(guān)系如下：

Fxf=Flfcos δ-Fcfsin δ，（3）

Fxr=Flr，（4）

Fyf=Flfcos δ+Fcfsin δ，（5）

Fyr=Fcr，（6）

式中：δ為轉(zhuǎn)角.

車輛在換道過程中，輪胎滑移率和側(cè)偏角相對(duì)較小，輪胎力處于線性區(qū)域.對(duì)輪胎模型進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，可將輪胎受到的縱向力Fl和側(cè)向力Fc分別表示為

Fl=ClS，（7）

Fc=Ccα，（8）

式中： Cl為輪胎縱向剛度；Cc為輪胎側(cè)向剛度；S為輪胎滑移率；α為輪胎側(cè)偏角.

在換道過程中，前輪轉(zhuǎn)角很小，前后輪胎受到的側(cè)向力、縱向力分別為

Fcf=Ccfδ-y·+aφ·x·，（9）

Fcr=Ccrbφ·-y·x·，（10）

Flf=ClfSf，（11）

Flr=ClrSr，（12）

式中： Ccf為前輪輪胎側(cè)向剛度；Ccr為后輪輪胎側(cè)向剛度；Clf為前輪輪胎縱向剛度；Clr為后輪輪胎縱向剛度；Sf、Sr分別為前后輪輪胎滑移率.

將式（2）-（12）代入式（1）可得簡(jiǎn)化的車輛運(yùn)動(dòng)方程：

mcy··=-mcx·φ·+2Ccfδ-y·+aφ·x·+Ccrbφ·-y·x·，

mcx··=mcy·φ·+2Ccfδ-y·+aφ·x·δ+ClfSf+ClrSr，

Izφ··=2aCcfδ-y·+aφ·x·-bCcrbφ·-y·x·，

X·=x·cos φ-y·sin φ，

Y·=x·sin φ+y·cos φ.（13）

基于上述的非線性三自由度車輛模型，建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

ξ·=f（ξ，u），（14）

式中：ξ為狀態(tài)量，ξ=［x· y· φ φ· X Y］T；u為控制量，u=［δ］.

將式（14）在系統(tǒng)的任意點(diǎn)（ξ，u）進(jìn)行泰勒展開，同時(shí)忽略高階項(xiàng)，且保留一階項(xiàng)，則有

ξ·=f（ξr，ur）+fξξ=ξr

u=ur（ξ-ξr）+fuξ=ξr

u=ur（u-ur），（15）

式中：ξr為展開處狀態(tài)量；ur為展開處控制量.

得到新的狀態(tài)方程，即線性時(shí)變方程：

ξ·d=Ad（t）ξd（t）+Bd（t）ud（t），（16）

式中：Ad（t）、Bd（t）均為雅可比矩陣；ξd（t）=ξ-ξr；ud（t）=u-ur.

式（16）為連續(xù)狀態(tài)方程式，采用一階差商的方法進(jìn)行離散化處理，令A(yù)k，t=I+TAd（t），Bk，t=TBd（t），其中：I為單位矩陣；T為時(shí)間步長(zhǎng).得到離散的狀態(tài)空間方程為

ξd（k+1）=Ak，tξd（k）+Bk，tud（k），（17）

式中：k為常數(shù).

任意時(shí)刻的車輛狀態(tài)僅與上一時(shí)刻的控制量有關(guān)，在離散空間狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)的控制量與狀態(tài)量合并，通過車輛線性誤差模型預(yù)測(cè)車輛未來時(shí)刻的輸出.

離散空間狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換公式為

ξ（k|t）=ξ^（k|t）

u^（k-1|t）.（18）

得到新的狀態(tài)空間方程：

ξ（k+1|t）=A^k，tξ（k|t），（19）

ηk，t=C^k，tξ（k|t），（20）

式中：A^k，t=Ak，tBk，t

Om×nIm，m為控制量的維度，n為狀態(tài)量的維度；O為零矩陣；B^k，t=Bk，t

Im；C^k，t=Ck，t0.

為簡(jiǎn)化公式，假設(shè)：

Ak，t=At，t，k=1，2，…，t+N-1，（21）

Bk，t=Bt，t，k=1，2，…，t+N-1.（22）

在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)，狀態(tài)量的計(jì)算公式為

ξ（t+Np|t）=A^Nptξ（t|t）+A^Np-1tB^tΔu（t|t）+…+

A^Np-Nc-1tB^tΔu（t+Nc|t），（23）

式中：Np為預(yù)測(cè)時(shí)域；Nc為控制時(shí)域；A^Npt為系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間t到t+Np之間的轉(zhuǎn)移矩陣；A^Np-1t為系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間t到t+Np-1之間的轉(zhuǎn)移矩陣；A^Np-Nc-1t為系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間t到t+Np-Nc-1之間的轉(zhuǎn)移矩陣；ξ（t|t）為t時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值；B^t為t時(shí)刻輸入矩陣的估計(jì)值；Δu（t|t）為t時(shí)刻的控制輸入增量；Δu（t+Nc|t）為t時(shí)刻對(duì)控制輸入的預(yù)測(cè)修正，作用于時(shí)刻t+Nc.

在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)，輸出量的計(jì)算公式為

η（t+Np|t）=C^tA^Nptξ（t|t）+C^tA^Np-1tB^tΔu（t|t）+…+

C^tA^Np-Nc-1tB^tΔu（t+Nc|t），（24）

式中：C^t為系數(shù)矩陣.

智能汽車未來時(shí)刻的輸出狀態(tài)可表示為

Yt=Ψtξ（t|t）+ΘtΔU（t），（25）

式中：Y（t）=η（t+1|t）

η（t+2|t）

η（t+Nc|t）

η（t+Np|t）；

Ψt=C^tA^t

C^tA^2t

C^tA^Nct

C^tA^NPt；

ΔU=Δu（t|t）

Δu（t+1|t）

Δu（t+Nc|t）；

Θt=C^tB^t000

C^tB^tA^tC^tB^t00

C^tA^Nc-1tB^tC^tA^Nc-2tB^t…C^tB^t

C^tA^NctB^tC^tA^Nc-1tB^t…C^tB^tA^t

C^tA^Np-1tB^tC^tA^Np-2tB^t…C^tA^Np-Nc-1tB^t.

通過對(duì)非線性狀態(tài)空間進(jìn)行線性化和離散化處理，建立了線性時(shí)變的預(yù)測(cè)模型，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)可以通過當(dāng)前狀態(tài)量和控制增量的迭代循環(huán)過程完成對(duì)未來系統(tǒng)狀態(tài)量和輸出的預(yù)測(cè)，接下來主要進(jìn)行控制時(shí)域內(nèi)控制量的求解，將通過目標(biāo)函數(shù)建模方法來獲取最優(yōu)的控制量.

1.2? 約束條件與優(yōu)化求解

1） 側(cè)向位置約束.將智能汽車的側(cè)向位移限定在1個(gè)車道寬度到1.5個(gè)車道寬度的范圍內(nèi)，即

Wmin≤Ye≤Wmax，（26）

式中： Wmin、Wmax分別為側(cè)向位移的最小值和最大值，取-3.5、3.5 m；Ye為側(cè)向偏移距離.

2） 質(zhì)心側(cè)偏角約束.質(zhì)心側(cè)偏角對(duì)車輛的穩(wěn)定性影響較大，必須將質(zhì)心側(cè)偏角限定在一定的范圍內(nèi)，路面條件不同，質(zhì)心側(cè)偏角的極限值不同.質(zhì)心側(cè)偏角的約束條件如下：

-12°<β<12°，良好路面，（27）

-2°<β<2°，冰雪路面.（28）

3） 輪胎側(cè)偏角約束.由輪胎的側(cè)偏特性可知，在任意t時(shí)刻，當(dāng)輪胎側(cè)偏角小于5°時(shí)，輪胎側(cè)偏角與側(cè)偏力為線性關(guān)系.研究?jī)H考慮輪胎側(cè)偏特性在線性區(qū)域的情況，對(duì)前輪t時(shí)刻側(cè)偏角αf，t的約束條件進(jìn)行如下限定： -2.5°<αf，t<2.5°.

4） 控制量與控制增量約束.系統(tǒng)控制量為前輪轉(zhuǎn)角，有必要對(duì)控制量|δ|和控制增量|Δδ|進(jìn)行約束，據(jù)實(shí)際情況取|δ|≤10°，|Δδ|≤0.85°.

目標(biāo)函數(shù)為

J（ξ（t），u（t-1），Δu（t））=∑Npi=1‖η（t+i|t）-

ηref（t+i|t）‖2Q+∑Nc-1i=1‖ΔU（t+i|t）‖2R+ρε2，（29）

式中：Q、R為系統(tǒng)的權(quán)重系數(shù)，反映了系統(tǒng)對(duì)軌跡跟蹤精確性和穩(wěn)定性的側(cè)重程度；η（t+i|t）為系統(tǒng)輸出量;ηref（t+i|t）為參考輸出量；∑Npi=1‖η（t+i|t）-ηref（t+i|t）‖2Q反映了控制系統(tǒng)對(duì)參考換道軌跡的跟隨能力；ΔU（t+i|t）為在t時(shí)刻開始的控制輸入變化量；∑Nc-1i=1‖ΔU（t+i|t）‖2R為控制量的約束，反映了系統(tǒng)控制量的穩(wěn)定性；ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子.

綜合上述的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可以得到在每個(gè)控制周期內(nèi)的優(yōu)化問題為

min∑Npi=1‖η（t+i|t）-ηref（t+i|t）‖2Q+

∑Nc-1i=1‖ΔU（t+i|t）‖2R+ρε2，（30）

ΔUmin≤ΔU≤ΔUmax，

s.t.Umin≤AtΔUt+Ut≤Umax，

ymin≤yt≤ymax，（31）

式中：Ut、Umin、Umax分別為控制輸入、輸入的最小值和最大值；yt、ymin、ymax分別為系統(tǒng)輸出、輸出的最小值和最大值.

在每個(gè)控制周期內(nèi)完成求解后，可以得到控制時(shí)域內(nèi)的一系列控制輸入增量和松弛因子：

ΔU*t=Δu*tΔu*t+1…Δu*t+Nc-1εT.（32）

將該控制序列中第1個(gè)元素作為實(shí)際的控制增量作用于系統(tǒng)，即

u（t）=u（t-1）+Δu*t.（33）

進(jìn)入下一個(gè)控制周期后，重復(fù)上述過程，如此循環(huán)，實(shí)現(xiàn)對(duì)換道軌跡的跟蹤控制.

1.3? 轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

只考慮車輛的側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)，不考慮車輛縱向速度，以滑?？刂评碚摓榛A(chǔ)，將實(shí)際橫擺角速度與理想橫擺角速度的差值作為輸入，設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制器.

僅考慮側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)，車輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

mc（v·y+vxγ）=Fcf+Fcr，

Izγ·=aFcf-bFcr，（34）

式中：γ為車輛實(shí)際橫擺角速度.

輪胎所受側(cè)向力和側(cè)偏角的關(guān)系為

Fcf=-Ccfαf，

Fcr=-Ccrαr，（35）

式中：αr為后輪側(cè)偏角.

聯(lián)立式（30）、（31），且β=vyvx，可得微分方程：

mcvx（β·+γ）=-（Ccf+Ccr）β+（bCcr-aCcf）γvx+Ccfδf，

Izγ·=（bCcr-aCcf）β-（a2Ccf+b2Ccr）γvx+aCcfδf.（36）

當(dāng)汽車處于穩(wěn)態(tài)行駛狀態(tài)時(shí)，v·y=0，γ·=0，經(jīng)整理所得的橫擺角速度期望值和質(zhì)心側(cè)偏角期望值分別為

γ*=vxδfl（1+Kv2x），（37）

β*=av2x+mcalCcrv2xl（1+Kv2x）δf，（38）

式中： l為車輛的軸距；K為車輛的穩(wěn)定性系數(shù)，K=mcl2aCcr-bCcf.

車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受到輪胎與路面的附著力極限制約，車輛的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角最大值分別為

γmax=μgvx，（39）

βmax=μgbv2x+mcalCcr，（40）

式中： μ為路面附著系數(shù)；g為重力加速度.

理想質(zhì)心側(cè)偏角和理想橫擺角速度分別為

γd=minvxδfl（1+Kv2x），μgvx，（41）

βd=minav2x+mcalCcrv2xl（1+Kv2x）δf，μgbv2x+mcalCcr. （42）

根據(jù)滑模控制理論，將車輛的狀態(tài)參數(shù)與理想值輸入到滑模控制器中，經(jīng)計(jì)算輸出前輪附加轉(zhuǎn)角.將附加轉(zhuǎn)角與模型預(yù)測(cè)控制器的前輪轉(zhuǎn)角相加共同參與車輛的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，使車輛的控制目標(biāo)趨近于理想值.選取控制誤差為實(shí)際橫擺角速度與理想橫擺角速度之差，即e=γ-γd.

滑模面函數(shù)為

s=e+λ∫t0e（τ）dτ，（43）

式中：λ>0；λ∫t0e（τ）dτ用于限制穩(wěn)態(tài)誤差.

對(duì)式（43）求導(dǎo)可得

s·=e·+λe=γ·-γ·d+λ（γ-γd）.（44）

由式（41）代入式（44）可得

s·=aCcf-bCcrIzβ+a2Ccf+b2CcrIzvxγ-aCcfIzδ-γ·d+λ（γ-γd）.（45）

為了消除抖振并確?；＿\(yùn)動(dòng)的可達(dá)性，滑模趨近律為

s·=-k0sgn s，（46）

式中： k0為常數(shù).

設(shè)計(jì)的滑?？刂坡蔀?/p>

ua=aCcfIz-a2Ccf+b2CcrIzvxγ+aCcf-bCcrIzβ+

γ·d+λ（γ-γd）-k0sgn s.（47）

利用Lyapunov定理進(jìn)行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明，取Lyapunov函數(shù)為

V=12s2.（48）

對(duì)式（48）求導(dǎo)可得

V·=ss·=s（e·+λe）=s（-k0sgn s-E（t））=

-k0|s|-E（t）|s|<-η|s|，（49）

式中：η取正數(shù)，使k0>η；E（t）為系統(tǒng)輸出與期望輸出之間的差異.

可得等效的控制輸入為

ua=IzaCcfaCcf-bCcrIzβ+a2Ccf+b2CcrIzvxγ-γ·d+

λ（γ-γd）-s·.（50）

為了消除由控制輸入引起的高頻抖振，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，即

sat x=sgn x，|x|>1，

x，|x|≤1.（51）

最終的滑模控制律為

ua=IzaCcfaCcf-bCcrIzβ+a2Ccf+b2CcrIzvxγ-

γ·d+λ（γ-γd）+k0sat s.（52）

智能汽車沒有傳統(tǒng)的差速機(jī)構(gòu)，為實(shí)現(xiàn)換道，采用輪轂電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)內(nèi)外側(cè)車輪實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向，通過圖3所示的阿克曼（Ackermann）轉(zhuǎn)向模型來實(shí)現(xiàn)左前輪和右前輪的前輪轉(zhuǎn)角分配，從而實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)轉(zhuǎn)向.

圖3中： δ1、δ2分別為左前輪轉(zhuǎn)角和右前輪轉(zhuǎn)角；R0為車輛前軸中心點(diǎn)到轉(zhuǎn)彎圓心的距離；R1、R2、R3、R4分別為轉(zhuǎn)彎圓心到車輛各輪胎中心的距離；R為轉(zhuǎn)彎圓心到車輛質(zhì)心的距離；v1、v2、v3、v4分別為各車輪速度；v為車速；B為車輛輪距；β為車輛質(zhì)心側(cè)偏角.

由圖3可得阿克曼轉(zhuǎn)向幾何關(guān)系為

tan δfl=tan2ltan δf2l-Btan δf，（53）

tan δfr=tan2ltan δf2l+Btan δf.（54）

將求出的附加前輪轉(zhuǎn)角與模型預(yù)測(cè)控制求出的前輪轉(zhuǎn)角疊加，即可求出轉(zhuǎn)向角.

2? 軌跡跟蹤控制策略驗(yàn)證

為驗(yàn)證軌跡跟蹤控制策略效果，將模型預(yù)測(cè)（MPC）+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略與單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略對(duì)比，建立Carsim與Simulink聯(lián)合仿真模型，進(jìn)行路徑跟蹤仿真試驗(yàn).整車參數(shù)如下：車輛的簧載質(zhì)量為1 732 kg；質(zhì)心到前軸的距離為1.232 m；質(zhì)心到后軸的距離為1.468 m；車輛軸距為2.7 m；整車橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4 175 kg·m2；前輪輪胎側(cè)偏剛度為66 900 N/rad；后輪輪胎側(cè)偏剛度為62 700 N/rad.軌跡跟蹤控制器參數(shù)如下：預(yù)測(cè)時(shí)域Np=15；控制時(shí)域Nc=3；預(yù)測(cè)時(shí)間步長(zhǎng)為0.05 s；狀態(tài)變量權(quán)重矩陣Q=［2 00010 000］; 前輪轉(zhuǎn)角約束［δmin，δmax］= ［-10°，10°］.

2.1? 干燥路面試驗(yàn)

設(shè)置路面的附著系數(shù)為0.8，初始車速為108 km/h，按照文獻(xiàn)［12］規(guī)劃的路徑進(jìn)行仿真試驗(yàn)，對(duì)MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略及單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略下車輛軌跡跟蹤效果進(jìn)行分析.行駛軌跡、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角變化如圖4所示.從圖4a可以看出：在干燥路面上施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.14 m；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.62 m.從圖4b、c可以看出：施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后，橫擺角速度的峰值為-1.72 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為0.080°；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制后，橫擺角速度峰值為-3.20 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為0.130°.在MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略下的智能汽車橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角峰值更小，且側(cè)向偏差更小.

2.2? 潮濕路面試驗(yàn)

設(shè)置路面附著系數(shù)為0.6，初始車速為90 km/h，按照干燥路面引用的規(guī)劃路徑進(jìn)行仿真.行駛軌跡、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的變化如圖5所示.

從圖5a可以看出：施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.43 m；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.62 m.從圖5b、c可以看出：施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后，橫擺角速度的峰值為1.45 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為0.027°；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制后，橫擺角速度峰值為-2.77 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為0.046°.施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后，智能汽車的軌跡跟蹤效果更好，最大側(cè)向偏差為0.43 m；橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角峰值明顯減小，有效改善車輛的行駛穩(wěn)定性.

2.3? 冰雪路面試驗(yàn)

設(shè)置路面附著系數(shù)為0.2，初始車速為54 km/h，僅考慮輪胎側(cè)偏力學(xué)特性在線性區(qū)域的情況，按規(guī)劃路徑進(jìn)行仿真，對(duì)MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償策略及單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略下車輛軌跡跟蹤效果進(jìn)行分析.行駛軌跡、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的變化如圖6所示.

從圖6a可以看出：MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償策略與單點(diǎn)預(yù)瞄策略均能跟蹤軌跡，施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.22 m；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略后軌跡最大側(cè)向偏差為0.04 m.從圖6b、c可以看出：施加MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略后，橫擺角速度的峰值為1.27 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為0.070°；施加單點(diǎn)預(yù)瞄控制策略后，橫擺角速度峰值為1.21 （°）/s，質(zhì)心側(cè)偏角的峰值為-0.060°.在冰雪工況下，MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略和單點(diǎn)預(yù)瞄策略相比，MPC+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略下的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的峰值略大，但該策略下車輛的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角回歸平穩(wěn)速度更快，智能汽車進(jìn)行軌跡跟蹤時(shí)對(duì)控制系統(tǒng)的響應(yīng)更快.

3? 結(jié)? 論

1） 提出模型預(yù)測(cè)控制和轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制結(jié)合的智能汽車軌跡跟蹤控制策略，將整體控制結(jié)構(gòu)分為兩層：上層為軌跡跟蹤控制層，下層為轉(zhuǎn)向偏差修正層.

2） 利用滑?？刂圃?，根據(jù)前輪轉(zhuǎn)角控制量計(jì)算出期望的橫擺角速度，再利用期望橫擺角速度和實(shí)際橫擺角速度的差值作為輸入，得到附加前輪轉(zhuǎn)角控制量.根據(jù)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何模型，將附加前輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行轉(zhuǎn)向角分配.

3） 采用文獻(xiàn)［12］所規(guī)劃軌跡作為參考路徑，在不同路面條件和車速下分別進(jìn)行軌跡跟蹤仿真試驗(yàn).結(jié)果表明：模型預(yù)測(cè)+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略下的車輛，在干燥、潮濕和冰雪3種路面下軌跡跟蹤的最大側(cè)向偏差分別為0.14、0.43、0.22 m；橫擺角速度的峰值分別為-1.72、1.45、1.27 （°）/s;質(zhì)心側(cè)偏角的峰值分別為0.080°、0.027°、0.070°.對(duì)比分析可以看出，在干燥和潮濕路面時(shí)用模型預(yù)測(cè)+轉(zhuǎn)角補(bǔ)償控制策略的車輛軌跡跟蹤精度更高，操縱穩(wěn)定性更好.在冰雪路面時(shí)車輛的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角回歸平穩(wěn)速度更快.

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